книги / Моделирование переходных процессов в полюсопереключаемых асинхронных двигателях

4.Уравнение электромагнитного момента

Ввыражении для электромагнитного момента асинх­ ронного двигателя (2.26) производная от магнитной коэнергии по углу поворота ротора определена с помо­ щью интегралов. При выводе выражения для электромаг­ нитного момента в установившемся режиме с целью упрощения эти интегралы вычислим способом, приня­

тым при линейной постановке задачи — как половину произведения подынтегральной функции на величину} стоящую под знаком'дифференциала. Получим выражен­ ную через временные комплексы зависимость электро­ магнитного момента асинхронного двигателя с совме­ щенной обмоткой статора и короткозамкнутым ротором в установившемся режиме работы, подставив (3.3) в (2.26):

Первое слагаемое в формуле (3.12) представляет собой постоянную составляющую момента (асинхронный мо­ мент), обусловленную статорными и роторными прямо-

и обратновращающимися гармониками одного порядка

свызвавшими их статорными. Эти же гармоники созда­ ют составляющую момента, пульсирующую с частотой 2<о0, описываемую вторым слагаемым. Третье и четвер­ тое слагаемые — пульсирующие составляющие момен­ та, обусловленные гармониками статора и ротора, по­ рядок которых не равен порядку вызвавших их статор­ ных гармоник. Составляющие, определяемые третьим слагаемым, пульсируют с частотами iz2a>r и являются синхронными моментами при ю, = 0. Четвертое слага-

емое описывает составляющие с частотами iz2a>r ± 2to0. Они становятся синхронными моментами при частотах

ваемого асинхронным двигателем в установившемся ре­ жиме, определяемые с помощью выражения (3.12), ана­ логичны составляющим момента, найденным при исполь­ зовании в качестве переменных комплексов ампер-вит­ ков по прямому и обратному полям [2]. Это подтверж­ дает правильность полученных результатов.

Значения временных комплексов токов и параметров в формуле (3.12) определяются в последнем итерацион­ ном цикле решения системы уравнений электрического равновесия установившегося режима (ЗЛО) или, при учете внешней цепи, (3.11). Если насыщение магнитной цепи значительно и необходимо принять во внимание влияние нелинейности электромагнитных параметров на запас магнитной коэнергии, следует уточнить значе­ ние электромагнитного момента, определив численным способом интеграл в выражении для магнитной коэнер­ гии (параграф 3 четвертой главы).

АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ И ВЛИЯНИЕ

ИХ ОСОБЕННОСТЕЙ НА РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В предыдущих главах для анализа установившихся и переходных процессов разработаны математические модели асинхронного двигателя с обмоткой статора слож­ ной структуры и короткозамкнутым ротором. Специ­ фика разработанных моделей заключается в возможнос­ ти учета некоторых дополнительных факторов, характер­ ных для исследуемых двигателей. При проведении ряда тестовых расчетов ниже получена оценка влияния этих факторов на результирующие характеристики переход­ ных процессов. На базе созданных математических мо­ делей асинхронных двигателей построены алгоритмы расчетов прямых и ступенчатых пусков, переключения полюсов, реверсирования, установишихся и квазиустановнвшихся режимов и др. Для определения начальных условий таких переходных процессов, которым пред­ шествовал установившийся режим работы, применяется математическая модель двигателя при установившихся процессах, что позволяет повысить эффективность ис­ пользования машинного времени.

1. Разработка алгоритмов

На основании полученных выше результатов составлен алгоритм расчета переходных процессов в асинхронных двигателях с совмещенной обмоткой статора и коротко­ замкнутым ротором с помощью ЦВМ на языке ФОРТРАНIV. Использована стандартная подпрограмма RK.GS [74] численного решения системы обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений первого порядка. С ее помощью вычисление проводится по формуле Рунге — Кутта чет­ вертого порядка с модификацией Гилла. Точность про­ веряется в результате сравнения результатов счета, полученных в одной и той же точке с разными шагами

интегрирования. Подпрограмма RKGS автоматически регулирует шаг, деля его пополам или удваивая, в те­ чение всего процесса вычислений. Для нее пользова­ телем составляются две вспомогательные подпрограммы: расчета правых частей дифференциальных уравнений, приведенных к форме Коши, и вывода па печать резуль­ татов счета. Кроме этого задаются длительность пере­ ходного процесса, начальный шаг интегрирования, по­ грешность, количество уравнений в системе, начальные условия.

Исходными'даиными для подпрограммы расчета правых частей дифференциальных уравнений являются пара­ метры в уравнениях электрического и механического равновесия (2.20) и (1.9), а также текущие значения ис­

шаге расчета переходного процесса. Изменения парамет­ ров.в функции значений токов и частоты вращения опре­ делены заранее. После корректировки в подпрограмме вычисляются момент и ускорение в соответствии с вы­ ражениями (2.26), (1.9) и формируется матрица коэф­ фициентов. на основании уравнений (2.28), (2.29), ис­ ходная для решения системы линейных алгебраических уравнений относительно производных статорных токов. Эта система решается в результате обращения к стан­ дартной подпрограмме решения системы линейных алгеб­ раических уравнений методом Гаусса. С помощью полу­ ченных значений производных статорных токов в соот­ ветствии с уравнениями (2.28) определяются величины производных роторных токов. Затем управление пере­ дается подпрограмме RKGS. При учете элементов во внешней цепи уравнения (2.29) заменяются уравнения­ ми (2.33) и после определения ускорения рассчитывается матрица производных от напряжений на конденсаторах на основании выражения (2.34).

Исходными данными для расчета переходных процес­ сов в двигателе с совмещенной обмоткой статора и ко­ роткозамкнутым ротором являются обмоточные данные, характеристики электротехнических материалов, по­ рядки пространственных гармоник статора, подлежа­ щих учету, параметры привода, характер переходного процесса. Кроме того, следует проанализировать схемы обмотки статора и составить матрицы преобразования [к*] (1.5) и [кн] (1.7), а также в случае необходимости уче­

метры по ветвям обмотки для каждой из учитываемых

(2.20). Характер исследуемого переходного процесса определяет последовательность дальнейших вычислений. При рассмотрении переходного процесса, не связанного с изменением схемы соединения ветвей обмотки статора* управление передают подпрограмме. RKGS численного решения системы дифференциальных уравнений; проис­ ходит счет и вывод результатов на печать.

Если переходный процесс связан с изменением схемы соединения ветвей после расчетов для первой схемы,, параметры преобразуются в соответствии с новыми мат­ рицами [к*] и [K J к новой схеме соединений ветвей. За­ тем значения переменных в конце переходного процес­ са с предыдущей схемой применяются для определения начальных условий переходного процесса с новой. Пос­ ле этого при использовании новых введенных парамет­ ров переходного процесса с помощью подпрограммы RKGS проводятся вычисления. Это относится к схемам обмоток без перерыва питания (переключение происхо­ дит в один этап). Для других схем обмоток, если при переключении полюсов имеет место пауза, алгоритм рас­ чета дополняется элементами, описывающими переход­ ный процесс в этот период. Статорные уравнения при этом соответствуют процессам в замкнутых контурах совмещенной обмотки или, при отсутствии таких конту-. ров, не учитываются в расчетах. В последнем случае анализируется свободный выбег ротора, сопровождаю­ щийся затуханием токов в его контурах. Если промежу­ точных состояний схемы соединения ветвей обмотки несколько, соответственно возрастает и число этапов расчета переходного процесса.

Алгоритм расчета переходных процессов применяют для получения статической механической характерис­ тики. Это особенно важно при питании двигателя неси­ нусоидальным напряжением, наличии пульсирующих электромагнитных моментов, работе двигателя на пере­ менную нагрузку. В данных случаях об установивших­ ся процессах говорить можно лишь условно, поскольку двигатель все время работает в повторяющихся переход­ ных режимах. Для расчета такой квазистатической меха­

нической характеристики, в дополнение к обычным ис­ ходным данным, задается массив фиксированных частот вращения ротора, определяющих исследуемые точки на статической механической характеристике. Фиксация данных частот вращения обеспечивается заданием мак­ симально большого момента инерции ротора либо приме­ нением при расчете момента сопротивления, соответству­ ющего исследуемой частоте вращения.

После вычисления параметров по ветвям обмотки и •преобразования их с помощью матриц IKJ и [KJ при последовательном задании необходимых частот вращения ротора рассчитывают переходный процесс и определяют значение электромагнитного момента, соответствующего данной частоте вращения. Начальными условиями для переходного процесса в каждой последующей точке ста­ тической механической характеристики служат зна­ чения переменных, полученные при расчете предыдущей. Это позволяет уменьшить время счета, поскольку в кон­ це переходного процесса на каждой фиксированной ча­ стоте вращения значения токов близки к установившимся, а возмущение, вызванное некоторым увеличением час­ тоты вращения, незначительно. При нулевых началь­ ных условиях в каждой точке статической механической характеристики времени, затрачиваемого на вычисления, потребовалось бы в несколько раз больше. В связи^этим целесообразнее в качестве начальных условий применять значения токов, полученные в результате расчета уста­ новившегося режима. В этом случае временные векторы установившихся процессов пересчитываются к перемен­ ным (2.18) в соответствии с зависимостями (3.3).

При расчетах переходных процессов и статической механической характеристики с учетом только асин­ хронных моментов достаточно принимать во внимание лишь взаимные пространственные гармоники статора и ротора. При этом получаемые уравнения не содержат коэффициентов, зависящих от угла поворота ротора. Необходимость расчета синхронных моментов при ча­ стотах вращения, определяемых на основании выражения (3.12), приводит к учету невзаимных гармоник и появ­ лению в уравнениях электрического равновесия перио­ дических коэффициентов, зависящих от угла поворота ротора (2.14).

Если исследуется переходный процесс, которому пред­ шествовал установившийся режим работы (переключе­ ние полюсов, торможение и т. д.), при этом, как и в слу­ чае квазиустановишихся режимов, используется мате­

матическая модель как переходных, так и установив­ шихся процессов. Анлиз начинается с расчета устано­ вившегося режима, затем с помощью зависимостей (3.3)

ипараграфа б второй главы определяются начальные условия переходного процесса и проводится его расчет.

2.Сравнительный анализ результатов физического

иматематического моделирования

Исследование параметров переходного процесса воз­ можно на основе физического и математического модели­ рования. Результаты, полученные при изучении пере­ ходных процессов на физической модели при коррект­ но поставленном эксперименте, обладают большей до­ стоверностью. Однако физический эксперимент требует значительных затрат, связанных с созданием макетного образца, комплекса измерительной и регистрирующей

в результате исследований получают интегральную ха­ рактеристику, по которой трудно выделить и изучить влияние отдельных факторов.

Для экспериментальной регистрации токов переход­ ных режимов обычно используют осциллографы и дат­ чики тока в виде шунтов или трансформаторов тока, что не вызывает больших затруднений. Получить информа­ цию об электромагнитном моменте, развиваемом двига­ телем в переходных режимах, значительно сложнее. Момент непосредственно измеряют с помощью крутиль­ ных моментомеров. Датчики, регистрирующие усилия скручивания, размещаются в элементе, соединяющем вал двигателя с нагрузкой [5, 40, 73]. Применяются так­ же балансирные моментомеры, измеряющие реактивный момент, действующий иа статор двигателя-, связанный с фундаментом с помощью упругих элементов [40]. Од­ нако такие способы, ввиду инерционности регистрирую­ щих и преобразующих устройств, малопригодны для определения моментов при быстротечных переходных ре­ жимах. Электромагнитный момент также получают в результате перемножения сигналов, пропорциональных значениям суммарных векторов тока и потока. Этот спо­ соб дает удовлетворительные результаты при исследова­ нии процессов, ограниченных действием основной про­ странственной гармоники магнитного поля [59]. Широко используется метод определения момента как величины,

пропорциональной угловому ускорению ротора. Для измерения ускорения применяются акселерометры [59J, регистрирующие усилия, действующие на специальную, упругосоединенную с ротором двигателя инерционную массу. Информацию об ускорении получают также, дифференцируя скорость по времени. Дифференцирова­ ние осуществляют с помощью физических устройств ли­ бо расчетным путем, обрабатывая информацию об изме­ нении скорости. При первом способе точность определе­ ния кривой момента невысока, при втором — зависит от точности измерения скорости. Достаточно надежные результаты получают при использовании цифровых измерителей, содержащих фотоэлектрические датчики высокой разрешающей способности [67].

О достоверности результатов математического моде­ лирования можно судить после сравнения их с данными физического эксперимента. С этой целью рассмотрим ди­ намическую механическую характеристику пуска дви­ гателя А62/4. Результаты ее экспериментального ис­ следования с помощью тензометрического акселеромет­ ра приведены в работе [59]. При математическом модели­ ровании исходной информацией для расчета характерис­ тик двигателя А62/4 являлись его обмоточные данные [64] и другие величины, перечисленные в предыдущем параграфе (учитывалась лишь основная гармоника поля, v = 2). Результаты расчета статических режимов, в сравнении с каталожными данными, получены с по­ грешностями до 10 %.

Расчет зависимости изменения 'электромагнитного момента двигателя А62/4 в процессе пуска проведен при условиях, аналогичных экспериментальным исследова­ ниям [59] (при пуске двигателя вхолостую). На рис. 4 показана зависимость изменения электромагнитного момента двигателя в процессе разгона (кривая 7), рас­ считанная с помощью математической модели, предло­ женной в данной работе; изображена экспериментальная осциллограмма изменения момента в течение пуска дви­ гателя А62/4 (кривая 2), полученная в работе [59]. Здесь же приведена зависимость изменения момента в про­ цессе пуска, рассчитанная при постоянных параметрах, соответствующих режиму короткого замыкания (кривая

составляет около 310 Н м. Сразу же за максимальным броском пускового момента возникает отрицательный бросок, равный примерно 90 Н м. За время пуска за­ фиксировано два таких отрицательных броска момен­ та. На обеих расчетных кривых 1 и 3 значения первых положительных и отрицательных бросков момента при­ мерно соответствуют экспериментальным. Второй отри­ цательный бросок момента имеется лишь на расчетной

Рис. 4. Изменение электромагнитного момента двигателя А62/4 в процессе пуска:

/ —^расчет при переменных параметрах; 2 — эксперимент; 3 — рас­

чет при параметрах короткого замыкания.

отрицательного броска момента на кривой <?, почти пол­ ное отсутствие колебаний момента при достижении син­ хронной скорости и значительное различие кривых 2 и 3 на заключительном этапе разгона.

Влияние момента инерции ротора на изменение элек­ тромагнитного момента двигателя при переменных па­ раметрах и параметрах короткого замыкания в процес­ се разгона можно оценить по рис. 5. Изменение момента инерции практически не сказывается на величинах пер­ вых бросков электромагнитного момента и, несмотря на существенное изменение времени разгона, на колебаниях момента при достижении синхронной скорости. Выпол­ ненные вычисления и построенные графики показыва­ ют, что учет нелинейности электрических параметров

М9,Н~м

Рис. 5. Изменение электромагнитного момента двигателя А62/4 в процессе пуска при различных моментах инерции ротора:

позволяет существенно повысить точность динамических характеристик. Точность вычислений, проводимых о помощью разработанной модели, составляет 5— 10 %.

3. Влияние нелинейности электромагнитных параметров на электромагнитный момент и магнитную коэнергию

Электромагнитный момент, развиваемый асинхронным двигателем, определяется как частная производная по перемещению от запаса магнитной коэнергии (1.13), получаемой в виде суммы интегралов (2,26). Нелиней­ ность электромагнитных параметров не позволяет вы­ числять их способом, принятым при линейной постанов­ ке задачи, и приводит к необходимости вычислений с учетом зависимости подынтегральных функций от токов, стоящих под знаком дифференциала, при изменении последних от нуля текущего значения. Определить дан­ ные зависимости аналитически весьма сложно. Поэтому при составлении алгоритма численного определения ин­ тегралов в выражении для магнитной коэнергии принят подход, используемый для получения выражения запа­ са магнитной энергии (см. параграф б первой главы). В соответствии с ним предложен способ вычисления ин­ тегралов в выражении для магнитной коэнергии (2.26)

ПО