книги / Моделирование переходных процессов в полюсопереключаемых асинхронных двигателях
..pdfдексами «з». Система уравнений электрического равно весия (1.4), преобразованная с учетом (1.5), состоит из V уравнений статора, а Число неизвестных статорных токов равно h:
ks..] + [г$э] [к,]
Гг
I^'SSII] Н~ l^ssa] [К/] |
(1.6> |
||
[Lrs..l |
l^TS3l [KJ] |
||
Lrr |
|||
В системе (1.6) число уравнений статора больше числа неизвестных статорных токов. Кроме того, напряжения, приложенные к ветвям обмотки, могут быть неизвест ными. Проанализировав схему совмещенной обмотки, по второму закону Кирхгофа запишем соотношение, связывающее известные (сетевые) напряжения (их чис ло должно быть равно числу независимых токов статора) и напряжения, приложенные к ветвям обмотки:
= IKJ |
(1.7) |
где [ис] — матрица известных напряжений; [кы1— мат рица преобразования напряжений, приложенных к вет вям совмещенной обмотки, в известные напряжения. Преобразовав (1.6) с учетом (1.7), получим систему урав нений электрического равновесия, связывающую из вестные напряжения и искомые переменные — неза висимые токи:
Гsft
Гг
Здесь
\fsftj — [Kw] |
X ([ГSH] |
"I" f^sal flfy]) |
/•sll |
f s \ 2 |
Гsift |
T S2I |
f s 22 |
Г s2h |
f sAI |
rshi |
Г shh
I^ssfiJ — [KhJ X |
([T'SSIJ] 4 * |
l^sse] IK/]) — |
Bssl 1 |
L>S S \2 |
L>ss\h |
Z/ss2l |
L SS 2‘2 |
L s$ 2 h |
|
L s s h l |
L rsshl |
|
|
L s s h h |
|
|
|
(см. матрицы |
на |
с. 33, |
34) |
|
|
|
|
\£>rsh\ —* l-^rsn] 4" \^г& э\ [Kf] |
|
|||||
|
— [Lr\shi L>r2$h> |
|
t |
Lrvshi |
» LrNsh]6 |
|
|
\L>shr\ |
t^sr] — I^S/WK» L$hrK$ |
• • • t |
^sAric» |
■^аАгк]* |
|||
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
[^shric] — |
2 |
I^sArt]]* |
|
|
||
|
|
|
n=i |
|
|
|
|
При преобразовании матриц [£*] и [L«] проводятся -операции типа
Л cos (а — a) 4* В cos (а — 6) — D cos (а — d),
где D = ]/ а2 4- /2; d = arctg-£- ; а = A cos а 4- В cos 6;
/= A sin а 4- В sin b.
Вкачестве примера проанализируем несколько схем соединения ветвей обмоток. Для схемы, изображенной на рис. 2, а, сформируем матрицы [к*] и [KJ . Обмотка
состоит из шести ветвей. Выбранные положительные направления токов ветвей показаны стрелками. Неза висимыми примем токи в ветвях 7, 2, 3> зависимыми — в ветвях 4, 5, 6. Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа: к = i 8 — h, h — к — hi к = h — *з- Ис-
|
«Mrvs/i COS (v© ^rvsft) |
|
MrvshCOS (v0 — 6rVsft + v6K) |
V •• |
M-ryshCOS (V© &rvshH~ 2v6ic) |
* » ■ |
|
•* * |
Mrvshcos [vB — brvsh4- (za — 1) v6K] |
С0
о>
со
^ s l r q COS ( Т |0 |
— |
|
M s l m COS (110 — |
b s l n ) |
4 - |
T|6 K) |
M s i n \ COS (11© — |
6 s irT) 4 |
- |
2 T] 6k) |
Л^ЙГТ] COS (Г) 0 |
— |
6S2m ) |
M s2r n COS (r] 0 — |
652^ |
- h |
TlSK) |
М $ 2гц COS (T] 0 |
6 S2rr| 4 |
~ |
2 r)6K) |
[£ sfcn i] =
M s h r x ] COS ( r |0 — 6 s/irTl) M s h r v COS (T )0 — d s h r v 4 - T)6K) M s h m COS ( i i © — b s h m 4 - 2 r | 6K)
|
M s irT, cos [ ф — 6slnl 4 |
- (z2 — |
1) 116J |
• *m |
M s2rr| COS [r]0 — 6S2rn 4 |
- (r2 — |
1) Ф к] |
M shry] cos [T|0 — bshrr\ 4 - (za — 1) V U
Рис. 2. Схема соединения ветвей трехфазной двухскоростиой об мотки (а) и диаграмма напряжений сети и напряжений, приложенных к ветвям обмотки (б).
ходя из диаграммы напряжений (рис. 2, б), получаем
U-AB— W5 |
W4t |
UBC — |
|
^5* |
|
|
Мел = |
“b |
— we. |
|
|
В этом случае м атрицы [KJ |
и |
[к и] вы гл я д я т |
так: |
||
|
— 1 |
|
I |
|
|
|
1 |
— 1 |
|
|
|
|
|
|
1 — 1 |
|
|
1 |
|
|
— 1 |
1 |
|
К ] = |
1 |
|
|
— 1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
— 1 |
Для трехфазной обмотки, имеющей по две параллель |
|||||
ные ветви в каждой фазе, возможные схемы соединения ветвей без нулевого провода представлены на рис. 3, а%
б, в. Составим для них |
матрицы [к<] и 1кц]. Нумерация |
ветвей и положительные |
направления токов. показаны |
на рисунках. |
|
Рис. 3. Схемы соединения ветвей обмотки статора с двумя парал. лельными ветвями в каждой фазе-
В схеме (рис. 3, а) все шесть токов ветвей независи мы, поэтому нет необходимости корректировать систему
уравнений с помощью матрицы |
[кJ . Может быть не |
сколько вариантов матриц [KJ |
и [ис]: |
1 |
Пав |
1 |
Пав |
1 |
Яве |
[к«1- |
; [вс] - |
1 |
иве |
1 |
пса |
1 |
Пса |
1 |
и>АВ |
1 |
UBC |
1 |
UCA |
1к„]= |
; i“J - |
1 — 1 |
0 |
1 — 1 |
0 |
1 — 1 |
0 |
Для схемы (рис. 3, б) число независимых токов рав но 4. Матрицы [кД [ки], [ис] имеют вид
— 1 |
— 1 |
[К(] = |
|
— 1 |
— 1 |
1 |
— 1 |
|
UAB |
[к„] |
1 |
— 1 |
U-BC |
— 1 |
|
; [«ci= |
|
1 |
|
Пав |
|
|
1 |
— 1 |
иве |
Для схемы (рис. 3, в) число независимых токов рав но 5. Матрица [к;] представлена в виде
[к,] = — 1 — 1 — 1 — 1 — 1
Матрицы [ки], [мс] можно записать в нескольких вариан тах:
1 |
— 1 |
|
|
U A B |
|
I |
|
— 1 |
и ВС |
[к0]= |
1 |
— I |
|
; 1«с] = UAB |
|
|
1 |
— 1 |
и ПС |
1 |
|
— 1 |
|
Пав |
1 |
— 1 |
|
|
Пап |
|
1 |
— 1 |
|
Пвс |
(к„1= |
1 — 1 |
|
|
; [«J - О |
|
1 |
— 1 |
|
О |
|
|
1 |
— 1 |
О |
Система уравнений электрического равновесия (1.8) разработана в соответствии со сформулированной выше системой допущений и удовлетворяет требованиям, предъявляемым к математическим моделям асинхрон ных двигателей с совмещенными обмотками. Однако при ее решении возникают значительные трудности, обу словленные большим числом уравнений и сложной структурой матриц взаимоиндукции статор — ротор (на личие периодических коэффициентов, зависящих от уг ла поворота ротора). Упрощению системы (1.8) с помощью замены переменных посвящена следующая глава.
6. Уравнения механического равновесия и электромагнитнбго момента
Для |
анализа переходных |
процессов в |
двигателе при |
||
переменной |
частоте вращения |
ротора, |
кроме системы |
||
уравнений |
электрического |
равновесия, необходимо |
|||
уравнение |
механического |
равновесия |
|
||
|
|
dMjdt = |
(Мэ — МС)Л/, |
(1.9) |
|
где |
со, — dQldt. |
|
|
|
|
Выражение для электромагнитного момента двигателя получим как производную от магнитной коэнергии по перемещению [68, 34], Для этого преобразуем систему уравнений электрического равновесия (1.4):
VI [и] dt = [i)t И U\dt + V]t d ([L] [£]). |
.(1.10) |
Левая часть уравнения (1.10) описывает работу |
источ |
ника энергии за время dt. Первое слагаемое правой час ти представляет собой энергию, теряемую в электроме ханическом преобразователе в связи с необратимыми процессами выделения тепла. Для второго слагаемого в соответствии с законом сохранения энергии запишем
[/], d ([L] [ф = ДМ© + dWHt |
(1.11) |
где МadS — механическая работа, совершаемая электро механическим преобразователем энергии; dW№— при ращение запаса энергии в магнитном поле.
С целью получения выражения для запаса магнитной энергии [65, 68] рассмотрим уравнение электрического равновесия (1.4). Под действием приложенных напря жений [и] в контурах протекают токи [г], создающие в магнитном поле запас энергии WM. Отключив питающее напряжение и закоротив входные клеммы, запишем систему уравнений электрического равновесия для это го случая:
И И = - - $ Г (Ю ['!)• |
(1-12) |
Токи будут протекать до тех пор, пока весь запас маг нитной энергии не рассеется в виде тепла в активных сопротивлениях [г]. Определив эти потери, найдем за пас энергии в магнитном поле. Для этого умножим ле вую и правую части выражения (1.12) на [i\t d tn проин
тегрируем по времени, за |
которое |
токи уменьшаются |
до пренебрежимо малых величин: |
|
|
' |
Ip |
|
О |
) |
W,d([L]M). |
[ВД |
|
|
Поменяв пределы интегрирования, после преобразова
ния получим |
|
|
|
|
|
|
щ п |
|
|
V' |
d (Иг) [Ц и . |
||
Wu = |
V ii]t d т [I]) = W, 1Ц U] - |
\ |
||||
[01 |
d (Ii]t)ld® = [0] |
|
Ю |
|
|
|
Учитывая, |
что |
[68], |
выражение |
(1.11) |
||
представляем в виде [61] |
|
|
|
|
||
|
\t\ |
1*к |
|
|
|
|
М9 = |
J |
d (Uh) [L] [i] = ^ |
d ([/]/) |
[0* |
(М3) |
|
Здесь и ниже кое-где нарушена привычная условность формы записи интеграла — выражение под знаком диф ференциала (взято в круглые скобки) опережает подын тегральную функцию. Причина этого — правила мат ричной алгебры, в соответствии с которыми результат произведения изменяется при перестановке сомножите лей местами. Для исключения зависимых токов статора преобразуем выражение .(1.13) с учетом матрицы [к,] (1.5), представив для этого (1.13) в виде
Мэ = |
^ |
d (USH]*) ~щ - (Мн]) Ur] 4* |
|
ttsslt |
|
+ |
I |
d a«»w ж o i« i) [ у + |
iм |
№ |
|
|
|
H" J ^ (Hr!) {"0 0 “ (I^ 'SH]) r^sii] H ^0 “ ([^*Л$з]) [*S3l | »
(0]'
■где [ Ь $ Г ц ] , [ L бгз) “ “ ПОДМЗТрИЦЫ, ПОЛуЧСННЫв В рбЗуЛ Ь -
тате разбиения матрицы [Lsr] по строкам. Подматрица, состоящая из строк с номерами от 1 до h, обозначена индексом «н», а состоящая из строк с номерами от h -j- 1 до V имеет индекс «з». Учитывая, что
[*5з1 [К,] [I*SH1» [Mr ~ Usn]t [K{]f,
получаем
t'Л
J d ([*/■]/) "g0“ d^S/l]) USH] ~\- [0J
+ |
I d |
ж (lZ-^l) [''!• |
(1.14) |
|
I0| |
|
|
ГДе \.L>shr] = |
“Ь [fyl/ |
l^sral* |
|