книги / Моделирование переходных процессов в полюсопереключаемых асинхронных двигателях

ветви статора. В матрицах [F%v], U£vl, tLnrvL [ДгУтоЬ

l^rvsmol, [L'rrvmo] не равны нулю элементы, соответ­ ствующие только гармонике v.

При получении выражений frv и inrv учитывается, что амплитуда МДС ротора по гармонике v равна моду­ лю суммы пространственных векторов МДС короткозамкнутых контуров ротора по рассматриваемой гармо­ нике. МДС контура ротора определяется в соответствии с выражением (1.2). Сумма пространственных векторов токов короткозамкнутого ротора по гармонике v в со­ ответствии с выражениями (2.10) и (2.18) имеет вид

| h r v \ = V b \ *wv | = У Щ - ^ ( W + ^ Г -

После этого записываем выражение для амплитуды МДС ротора

Кроме того, при получении выражения для inrv счи­ тается, что токи паза короткозамкнутого ротора и участ­ ка короткозамыкающего кольца (ток контура) связаны

коэффициентом пропорциональности 2 sin — . Принимая

вижной относительно статора. Следовательно, матрицы: напряжений (2.20) содержат периодические коэффици­ енты, зависящие от частоты сети. Мы не можем упрос­ тить уравнения, исключив в них все периодические ко­ эффициенты, приняв систему координат, вращающуюся с частотой сети, поскольку этому препятствует наличие в них пространственных векторов и сопряженных им векторов, вращающихся в противоположных направле­ ниях.

Рассмотрим включенный на симметричное синусои­ дальное напряжение симметричный асинхронный дви­ гатель, статор которого создает спектр пространственных, гармоник поля, а ротор на каждую статорную гармонику откликается одной своей гармоникой такого же порядка. Для этого двигателя в уравнениях электрического рав­ новесия, соответствующих (2.13), преобразованных с помощью (2.9) аналогично (2.17), имеются лишь прямовращающиеся пространственные векторы по прямовращающимся гармоникам и сопряженные пространствен* ные векторы по обратновращающимся гармоникам. Для упрощения уравнений посредством применения си* стемы координат, вращающейся синхронно с полем, вы­ полним следующие операции. Совместим комплексные плоскости, неподвижные относительно статора (см. па­ раграф 2 первой главы), отдельно для прямовращаю* щихся и обратновращающихся гармоник. На плоскости для прямовращающихся гармоник расположены первая симметричная составляющая пространственных векто­ ров статора' (2.9) и симметричные составляющие про­ странственных векторов ротора (2.10). Их число и по­ рядки определяются числом и порядками учитываемых прямовращающихся гармоник. Все векторы вращаются в прямом направлении с частотой сети. На плоскости для обратновращающихся гармоник картина аналогич­ на, за исключением того, что статорные и роторные век­ торы являются сопряженными и, вследствие этого, вра­ щаются с частотой сети в обратном направлении. При совмещении комплексной плоскости для прямовраща­ ющихся гармоник с сопряженной для обратновращаю­ щихся статорные векторы обеих плоскостей совместят­ ся. Все векторы, изображенные на объединенной комп­ лексной плоскости, вращаются в одном направлении. Это позволяет представить их в системе координат, вра­ щающейся синхронно с полем, и избавиться от всех периодически изменяющихся коэффициентов в системе уравнений электрического равновесия. Переменные

где 0 л — действующее значение временного комплекса напряжения фазы Л. Система уравнений электрического равновесия для переменных, записанных в системе ко­ ординат, вращающихся синхронно с полем, имеет вид

= 'A + ( - i- 4- /Ч] [А — ms) is +

величин, пропорциональных огибающим их действитель­ ных значений. За счет этого можно увеличить шаг ин­ тегрирования и сократить время счета, получить алго­ ритмы, удобные для применения на аналоговых вы­ числительных машинах.

В результате перемножения матриц в (2.25) выражение для электромагнитного момента приобретает вид

*rv

J Airvs?COS br\$qisqdirv “f*

Полученная зависимость, состоящая из двух частей, поз­ воляет вычислять значения электромагнитного момента, развиваемого асинхронным двигателем с совмещенной обмоткой статора, при учете влияния нелинейности элек­ трических параметров на магнитную коэнергию. Первая часть выражения (2.26) определяет асинхронные электро­ магнитные моменты, обусловленные взаимодействием гармоник статора и ротора одного порядка с создавши­ ми их статорными гармониками, вторая — знакоперемен­ ные моменты, становящиеся при некоторых частотах вра­ щения синхронными. Они вызваны взаимодействием гармоник статора с гармониками ротора, порядок ко­ торых отличается от порядка создавших их статорных гармоник. В соответствии с принятым в параграфе 3 настоящей главы допущением об учете гармоник ротора, порядок которых совпадает с порядком вызвавшей их статорной гармоники, при определении динамического момента принимаем во внимание лишь первую часть выражения (2.26). Уравнение (2.26) по отношению к известным зависимостям представляет собой более об­ щее выражение электромагнитного момента, развивае­ мого асинхронным двигателем с короткозамкнутым ро­ тором. Для подтверждения этого рассмотрим обычный

трехфазный симметричный двигатель, статор и ротор которого создают по одной гармонике одного и того же порядка. Для него справедливы соотношения 159J

сучетом которых получим

'i R lrv

XmvbvdisA "b

Пренебрегая влиянием нелинейности электромагнитных параметров на магнитную коэнергию, значения интегра­ лов определяем как половину произведения текущих значений подынтегральных функций и величин, стоящих под знаком дифференциала.

Учитывая в соответствии с [59], что

hv — "2 " ltt2>

где iu1, ivi, t„2, t'02 — проекции на вещественную и мни­ мую оси обобщенных пространственных векторов ста­ тора и ротора, выражение для электромагнитного мо­ мента преобразуем в известную зависимость [59]

м„ - 4 - -7Г- v (Ы * - Z (U(>

При учете влияния нелинейности электромагнитных параметров на магнитную коэнергию вычислять значе­ ния интегралов (2.26) значительно сложнее. Для этого необходимо знать зависимости индуктивностей и токов

в функции переменной, стоящей под знаком дифференциала, при изменении последней от нуля до текущего значения. 'Получение аналитических выражений этих зависимостей связано со значительными трудностями* поэтому целесообразно применить численное определе­ ние интеграла (параграф 3 главы 4).

5. Преобразование уравнений к форме Коши с учетом элементов во внешней цепи двигателя

Системы уравнений электрического и механического рав­ новесия (2.20), (1.9) можно решить G помощью неявных методов численного интегрирования. Если же применять явные методы, например метод Рунге — Кутта, то урав­ нения следует преобразовать к форме Коши. Для этого представим матричное уравнение (2.20) в виде двух уравнений — для статорных и роторных контуров, учтя при этом зависимость (2.23):

Выразив с помощью второго уравнения (2,27) матрицу

4 й = - 1 с г * { i d 4 - а д -

- [Я] i d [/и] - ([Гг] + [Я] [С ]) [{,] - [Lfr] - 4 - ) , (2.28)

подставим ее в первое уравнение (2.27), после чего полу­ чим

При решении системы дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутта значения переменных на каж­ дом последующем шаге интегрирования определяют,

исходя из известных значений переменных и их произ­ водных на предыдущем шаге. Значения производныхнаходят, применяя уравнения, приведенные к форме Коши. Уравнение механического равновесия (1.9) ужепредставлено в необходимом виде. Для статорных пере­ менных форму Коши получим, рассмотрев систему (2.29) как систему линейных алгебраических уравнений от­ носительно производных токов статора и решив ее в общем виде. Однако в связи с громоздкостью таких пре­ образований для сокращения количества операций, вы­ полняемых вручную, целесообразно значения производ­ ных статорных переменных определять на каждом шаге интегрирования, решая систему линейных алгебраичес­ ких уравнений относительно производных (2.29) для кон­ кретных значений переменных. Подставляя полученш е значения статорных производных в уравнение (2.28), находим значения роторных производных.

На практике часто необходимо анализировать про­ цессы в двигателе, подключенном к сети через некоторые промежуточные элементы. Эго могут быть конденсатор­ ные двигатели, двигатели, питаемые через магнитные усилители, автотрансформаторы и другие подобные ус­ тройства. При исследовании процессов в асинхронном двигателе при таком способе подключения к сети счита­ ем, что к каждому из проводов внешней цепи могут быть последовательно подключены активные, емкостные и индуктивные элементы, причем между последними от­ сутствует индуктивная связь. Для анализа процессов выбираем положительные направления токов во внеш­ ней цепи и выражаем эти токи через независимые токи статора

разования независимых-токов статора в токи внешней цепи. Уравнения электрического равновесия для случая питания двигателя через промежуточные элементы внеш­ ней цепи получим из уравнений (2.27), (2.29), прибавив к напряжениям иа клеммах двигателя падение напря­ жений во внешней цепи. В (2.27), (2.29) матрица напря­ жений на клеммах двигателя равна матрице напряжений сети и так же обозначена. Аналогичные слагаемые при­ бавим к правой части уравнения (2.27) и к левой —