книги / Моделирование переходных процессов в полюсопереключаемых асинхронных двигателях

Для каждой схемы соединения ветвей совмещенной об­ мотки система уравнений электрического равновесия (1.8) совместно с уравнением механического равновесия .(1.9) и выражением для электромагнитного момента (1.14) позволяет определять значения частоты вращения рото­ ра, токов во всех ветвях обмотки статора и токов в корот­ козамкнутом роторе по каждой из учитываемых гар­ моник.

Глава вторая

м а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь

ДЛЯ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРЕОБРАЗОВАННЫХ КООРДИНАТАХ

Система дифференциальных уравнений электрического равновесия, составленная для мгновенных значений токов и напряжений, как правило, имеет высокий по­ рядок и содержит коэффициенты, периодически изменя­ ющиеся в зависимости от угла поворота ротора, что силь­ но затрудняет ее решение. Это хорошо видно на приме­ ре системы уравнений (1.8). Обычно стараются облегчить решение, заменяя существующую систему переменных некоторой новой. Целесообразность выбора новых пере­ менных обусловливается сокращением количества урав­ нений и упрощением их структуры (устранены периоди­ чески меняющиеся коэффициенты).

1. Применение метода преобразования координат

Метод замены переменных применительно к односкорост­ ным двигателям довольно хорошо разработан и широко представлен в литературе. Теория переходных процес­ сов развивалась по мере усложнения задач определения динамических характеристик, появления новых типов электрических машин, необходимости учета новых фак­ торов, влияющих на характеристики переходных режи­ мов. Этому развитию способствовали работы советских и зарубежных ученых Б. Адкинса [4], А. А. Горева [21],

на [37], В. Лайона [39], Ф. А. Мамедова [43], Р. Пар­ ка [80], а также Л. П. Петрова, И. М. Постникова,

И.Рада, С. Сили, М. М. Соколова, С. В. Страхова,

И.И. Трещева, Д, Уайта, Р. В. Фильца, Н. Хеикова, B. И. Чабана, А. А. Янко-Трииицкого и др.

Впервых работах по созданию математической моде­ ли для исследования переходных процессов в машинах

переменного тока (в синхронных машинах) мгновенные значения токов фаз статора и ротора заменяются токами в ортогональной системе координат, неподвижной отно­ сительно ротора. Анализ проводится для идеализирован­ ной машины, при этом во внимание принимаются толь­ ко постоянный и первый члены разложения в ряд Фурье зависимостей индуктивности и взаимоиндуктивности фаз статора от угла между статором и продольной осью ротора. Для взаимоиндуктивности статора и ротора учи­ тывается лишь первый член разложения. В этом случае преобразованные уравнения не содержат периодически меняющихся коэффициентов. При возникновении необ­ ходимости учета большего количества членов разложе­ ния в ряд Фурье в системе уравнений сохраняются периодические коэффициенты [41J.

В работах Г. Крона [38, 37], являющихся одними из первых в данной области, замена переменных выполня­ ется в два этапа. При составлении уравнений переходно­ го процесса в асинхронных двигателях на первом этапе мгновенные значения токов трехфазной системы пре­ образуются в симметричные составляющие с коэффи­

циентом 1/1/3, который определяется в соответствии с по­ нятием инвариантности мощности при преобразовании. В этом случае в преобразованных выражениях для мощ­ ности и момента отсутствуют дополнительные коэффи­ циенты. Новая преобразованная система переменных состоит из трех токов с индексами 0, 1,2. Величина с индексом 0 пропорциональна сумме мгновенных значе­ ний фазных токов, две другие — комплексно-сопряжен­ ные. Таким образом, при отсутствии тока нулевой по­ следовательности достаточно оперировать лишь одной новой комплексной переменной iv Кроме того, в новой матрице параметров присутствуют лишь диагональные элементы, что существенно упрощает расчеты. Второй этап замены переменных — преобразование поворота, для чего переменные статора и ротора записываются в единой системе координат, вращающейся с произволь­ ной скоростью. В результате этого в уравнениях исчеза­ ют периодически меняющиеся коэффициенты, зависящие от угла поворота ротора. Если в полученных уравнениях использовать вместо комплексных переменных их веще­ ственные и мнимые части, получится система четырех уравнений без периодических коэффициентов. Она со­ ответствует элементарной машине Крона [37] с двумя неподвижными обмотками статора, расположенными по ортогональным осям,, и двумя псевдонеподвижными-

ных самоориентирующихся координат g , i [49]. В этом случае действительная ось g жестко связана с одним из взаимодействующих векторов. Это позволяет упростить выражение для электромагнитного момента.

Наличие и существенное влияние разного рода несимметрий в питающем напряжении и конструкциях асинхронных двигателей приводят к необходимости учета этих факторов в математических-моделях. При пи­ тании симметричного асинхронного двигателя несим­ метричным напряжением в его обмотках возникает не­ симметричная система токов. Это явление учитывают в математических моделях, применяя в качестве новой переменной результирующий пространственный вектор тока, образованный сложением пространственных век­ торов токов прямой, обратной и нулевой последователь­ ностей несимметричной системы [31, 53]. В ряде случаев обмотки двигателей выполняют несимметричными. Несимметрия может возникать по технологическим причи­ нам из-за особенностей построения полюсопереключае­ мых совмещенных обмоток [50, 63], в связи с конструк­ тивными отличиями некоторых типов двигателей (двига­ тели с экранированными полюсами, конденсаторные двигатели, двигатели для динамических режимов [47] и т. д.). В этом случае при анализе установившихся про­ цессов несимметричную систему токов, протекающих в несимметричной системе обмоток, заменяют симметрич­ ными составляющими, создающими круговые вращаю­ щиеся поля [3, 24, 85]. При исследовании переходных процессов в качестве новых переменных используют векторы, соответствующие суммарной волне МДС об­ мотки [66], а также векторы, являющиеся суммой про­ странственных векторов фазных токов [42, 66], Кроме того, применяют преобразования разложения на сим­ метричные составляющие для мгновенных значений фаз­ ных токов, приведенных к какой-либо фазе [43].

Стремление повысить точность расчетов привело к необходимости одновременного учета влияния ряда про­ странственных гармоник магнитного поля на статичес­ кие и динамические характеристики двигателей. Осо­ бенности математической модели зависят от вида учиты­ ваемых гармоник. Так, при учете пространственных гармоник, обусловленных насыщением двигателя по путям основного потока [57], используется модель, име­ ющая по две обмотки на статоре и роторе. Поскольку эти гармоники вызывают несинусоидальность токов в об­ мотках, при нахождении лотокосцеплений как величин,

пропорциональных интегралу от индукции по простран­ ственному углу,, применяется численное определение интеграла. При расчетах принимаются во внимание третья и пятая высшие гармоники насыщения.

Значительный интерес представляет расчет стати­ ческих и динамических характеристик асинхронных двигателей с учетом пространственных гармоник МДС, создаваемых обмотками. При этом математические мо­ дели, учитывающие данные гармоники, зависят от структуры обмоток статора и ротора.

Для асинхронного двигателя с фазным ротором при учете спектра гармоник МДС используют замену мгно­ венных значений фазных токов статора и ротора двух­ фазными результирующими составляющими в системах координат, связанных соответственно с обмотками ста­ тора и ротора [86]. В результате получается преобразо­ ванная упрощенная система уравнений, в которой пара­ метры представлены группами для следующих гармоник: прямовращающихся, обратновращающихся, создающих пульсирующие поля. Избавиться от периодических ко­ эффициентов в этом случае принципиально невозможно.

При анализе многофазных систем имеет место замена мгновенных значений токов многофазными симметрич­ ными составляющими, причем существует конкретная взаимосвязь между пространственными гармониками, создаваемыми многофазной обмоткой, и получаемыми симметричными составляющими [79]. Этот факт исполь­ зуется в работе [84], где в качестве новых переменных выбраны суммарные пространственные векторы по каж­ дой из гармоник, определяемые соответствующими сим­ метричными составляющими. Уравнения упрощаются, хотя и содержат периодические коэффициенты.

Система уравнений без периодических коэффициен­ тов для асинхронного двигателя (с короткозамкнутым ротором), статор которого создает спектр пространствен­ ных гармоник МДС, а ротор на каждую статорную от­ кликается своей гармоникой такого же порядка, полу­ чена в работах [29, 83]. Б них мгновенные значения фаз­ ных токов заменяются многофазными симметричными составляющими (фаза ротора образуется соседними стерж­ нями и участками короткозамыкающих колец), а по­ лученные пространственные векторы записываются в единой системе координат. Избавиться от периодических коэффициентов возможно лишь для частных случаев, когда порядки любых двух одновременно учитываемых гармоник статора в сумме не равны числу короткозам­

кнутых контуров ротора. Эти ограничения определяют­ ся примятой системой токов ротора, поскольку ток каж­ дого короткозамкнутого контура взаимодействует с по­ лем статора по всем учитываемым гармоникам. Сйять. эти ограничения можно, если допустить, как сделано в работе [13], что каждая гармоника статора наводит в контурах короткозамкнутого ротора свою систему то­ ков. В этом случае реальные токи контуров состоят из суммы токов по отдельным гармоникам.

При построении математических моделей и изучении поведения асинхронных двигателей в статических и ди­ намических режимах с учетом высших пространственных гармоник магнитного поля, обусловленных двухсторон­ ней зубчатостью воздушного зазора [8, 56], принимают, что каждая гармоника МДС статора наводит в роторелишь одну гармонику такого же порядка. При этом каждая из них создает спектр гармоник проводимости. Для определения проводимости воздушного зазора ис­ пользованы приближенные формулы, предложенные А. И. Вольдеком. Показано, что для практических рас­ четов достаточно учитывать только первую гармонику проводимости. Уравнения записаны для системы коор­ динат а, (5, 0.

Значительное количество работ, посвященных ис­ следованию переходных процессов в асинхронных двига­ телях, свидетельствует о большом интересе к этому во­ просу как в плане создания приводов, оптимальных но заданным критериям, так и с точки зрения выяснения физической природы протекающих в двигателе процес­ сов. Многообразие подходов к изучению влияния раз­ личных факторов на характер переходных процессов говорит о том, что теория переходных процессов в асин­ хронных двигателях находится на стадии развития. При составлении математических моделей и расчетных методик чаще всего используется замена реальных пе­ ременных некоторыми новыми величинами, позволяю­ щими упростить решение.

Несмотря на актуальность, переходные процессы в двигателях с полюсопереключаемыми обмотками иссле­ дованы еще недостаточно, например, вопросы учета не­ затухших полей статора и ротора при переключениях полюсов в различных схемах полюсопереключаемых обмоток. Не учитываются такие особенности двигателей, как одновременное существование значительных по ве­ личине высших пространственных гармоник и возмож­ ной несимметрии параметров по фазам.

кого равновесия преобразуется в систему с новыми пере­ менными, определяются новые матрицы параметров.

Проведем в общем виде замену переменных в системе уравнений (1.8). Для этого, выбрав новую систему пере­

менных [»], установим ее связь с исходной системой для мгновенных значений фазных токов посредством матри­

цы преобразования [С]:

Для замены переменных в системе уравнений электри­ ческого равновесия преобразуем уравнение (1.8) с уче­ том выражения (2.1), после чего получим

[u] = i i \ 4 r m ) + 4 r ( [ L m +

Здесь

где Си], [г], [L] — матрицы напряжений, сопротивлений, индуктивностей в системе уравнений для новых пере­ менных. В преобразованной системе уравнений электри­ ческого равновесия для новых переменных (2.2) два пер­ вых слагаемых обусловлены сопротивлением, оказыва­ емым нелинейными индуктивными элементами проходя­ щему через них изменяющемуся току. Третье слагаемое — падение напряжения в активных сопротивлениях. Последнее слагаемое представляет собой ЭДС вращения, появление которой обусловлено изменением системы

координат. Оно не равно нулю, если матрица [С] зави­ сит от времени.

В общем виде второе слагаемое правой части урав­ нения (2.2) можно представить следующим образом:

где if (/ = 1, п) — переменная величина, определя­ ющая изменение индуктивностей (например, ток намаг­ ничивания); п — число таких переменных'; [/с/] — мат­

рица-строка, преобразующая матрицу-столбец d/dt ([/])

при принятой системе допущения, оказываются диффе­

циальных уравнений электрического и механического равновесия еще одним -уравнением: dQ/dt = юг.

Кроме периодических коэффициентов, зависящих

.от угла поворота ротора, в системе уравнений (2.2) могут появляться периодические коэффициенты; зависящие от частоты сети (матрица напряжений). Освободить от них уравнения удается, если пространственные векторы на­ пряжений заменить системой векторов с постоянной ам­ плитудой (разложение на симметричные составляющие, создающие круговые вращающиеся поля), а простран­ ственные векторы токов описать в координатах этих вращающихся полей. Ниже будет показано, что подоб­ ная замена переменных дает эффект лишь при симмет­ рии параметров двигателя.

Появление математического приема замены пере­ менных в дифференциальных уравнениях электрического равновесия машин переменного тока определила необ­ ходимость исследования переходных процессов в этих машинах при отсутствии достаточно мощных техниче­ ских вычислительных средств. Прием позволял описы­ вать электромагнитные переходные процессы линейиы-