книги / Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации

отсчеты оценки спектральной плотности мощности (СПМ). Выбор информативных признаков сигналов самолета и верто­

лета проводился на основе двух методов:

коэффициентов множественной начальной регрессии (КМНР) (рис. 5.7);

дискриминантного анализа (таблица).

При использовании метода КМНР в качестве помехи был принят сигнал самолета. Усреднение статистических характеристик прово­ дилось по 100 реализациям акустических сигналов каждого класса для размерностей признаков и = 16 и л = 32 (см. выражение (5.15)).

Дискриминантный анализ и метод КМНР показали, что наи­ лучшим информативным признаком с точки зрения разделимости классов следует признать отсчеты оценок спектров сигналов, соот­ ветствующие локальным экстремумам спектра.

значительного уменьшения значений ДЧ*^ совпадает с областью

значительного уменьшения относительных долей дисперсии qm. Оба метода сокращения размерности дают идентичные ре­

зультаты. В методе главных компонент элементы входного вектора

0,3

0,2

0,1

0 2 4 6 8 10 12 14 т 0 2 4 6 8 10 12 14 т

стей интервалов между нулями сигналов самолета (а) и вертолета (б)

ДVт, Ят

сигналов самолета (а) и вертолета (б)

упорядочиваются по убыванию их дисперсий (собственных чисел ковариационной матрицы). Отбрасываются те элементы входного вектора, вклад которых в суммарную дисперсию минимален. Ана­ логичным образом в методе КМНР элементы входного вектора

упорядочиваются по убыванию A'Pjj,. Отбрасываются те элементы

входного вектора, для которых эта величина, соответствующая вкладу в регрессионное представление, минимальна.

Рис. 5.10. Зависимости ДЧ^2 (/) и qm(2) для отсчетов спектра, соответст­ вующих локальным экстремумам сигналов самолета (а) и вертолета (б)

При использовании метода КМНР (см. 5.1) признаки не центри­ ровались, и сравнение их проводилось по критерию (5.15). Результа­ ты исследования подтвердили полученные по классическим критери­ ям выводы, что говорит о хорошей разделимости классов сигналов самолета и вертолета в пространстве нецентрированных параметров.

При плохой обусловленности данных и априорной неопределен­ ности, при неизвестных математических ожиданиях применение клас­ сических методов анализа затрудняется. В этих условиях для анализа разделимости классов эффективнее использовать метод КМНР, так как он оперирует начальными моментами случайных величин и не требует знания математических ожиданий. Кроме того, использование метода КМНР связано с меньшими вычислительными затратами при плохой обусловленности данных (см. далее 5.3).

5.3. Применение нейросетевых методов к решению задач вычисления множественных коэффициентов регрессии и обращения плохо обусловленных матриц

Обусловленность вычислительной задачи

Проблема обусловленности данных возникает при анализе разделимости классов и сокращении размерности векторов ин­ формативных признаков в АИС ближней локации. Плохая обу-

словленность данных приводит к значительному накоплению по­ грешности при численном решении задач. Обусловленность явля­ ется одним из важнейших свойств любой вычислительной задачи наряду с корректностью задачи (существованием, устойчивостью и единственностью ее решения). Эти свойства необходимо учиты­ вать при решении задач математического моделирования.

Теоретически наличие у задачи устойчивости означает, что ее решение может быть найдено со сколь угодно малой погрешно­ стью, если только погрешности входных данных достаточно малы. Однако на практике погрешности входных данных не могут быть сколь угодно малы, точность их ограничена. Обусловленность вы­ числительной задачи [7] есть чувствительность ее решения к ма­ лым погрешностям входных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отве­ чают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Часто оказывается воз­ можным ввести количественную меру степени обусловленности — число обусловленности. Эту величину интерпретируют как коэф­ фициент возможного возрастания погрешностей в решении по от­ ношению к вызвавшим их погрешностям входных данных.

Пусть между абсолютными погрешностями входных данных х и решения у установлено неравенство

Тогда величина vA называется абсолютным числом обусловленно­ сти. Если же установлено неравенство

между относительными ошибками данных и решения, то величину vs называют относительным числом обусловленности. Обычно под числом обусловленности понимают относительное число обуслов­ ленности. Для плохо обусловленной задачи v :*> 1. В некотором смысле неустойчивость задачи — это крайнее проявление плохой обусловленности, отвечающее значению v = оо. Конечно, v — это максимальный коэффициент возможного возрастания уровня ошибок, и для конкретных исходных данных действительный ко­ эффициент возрастания может оказаться существенно меньше. Однако при выводе оценок (5.17), (5.18) стремятся к тому, чтобы

не завышать значений v и поэтому соотношение v » 1 все же сви­ детельствует о возможности существенного роста ошибок. Значе­ ние v, при котором задачу следует признать плохо обусловленной, зависит, с одной стороны, от предъявляемых требований к точно­ сти решения и, с другой стороны, от уровня обеспечиваемой точ­ ности исходных данных. Например, если требуется найти решение с точностью 0,1 %, а входная информация задается с точностью 0,02 %, то уже значение v = 10 говорит о плохой обусловленности. Однако (при тех же требованиях к точности результата) точность исходных данных не ниже 0,0001 % означает, что при v = 103 зада­ ча хорошо обусловлена.

Рассмотрим исходную систему линейных алгебраических

с квадратной матрицей А порядка п. Для каждого «-мерного век­ тора f решение х задачи существует тогда и только тогда, когда detA * 0. В этом случае можно определить матрицу А '1, обрат­ ную матрице А, и записать решение в виде

Рассмотрим «возмущенную систему»

которая отличается от (5.19) правой частью. Будем предполагать, что в матрицу А возмущений не вносится. Нас интересует, на­ сколько сильно может измениться решение х в результате измене­ ния правой части. Обозначим

5х = х -^ , 5f = f - f .

Говорят, что система (5.19) устойчива по правой части, если при любых f и f справедлива оценка

где М) > 0 — постоянная, не зависящая от правых частей f; ||А|| — норма матрицы. Оценка (5.22) выражает факт непрерывной зави­ симости решения от правой части, т.е. показывает, что ||5х|| -> 0

В результате мы придем к требуемой оценке:

(5.25)

где

Число МА, входящее в эту оценку, называется числом обусловлен­ ности матрицы А. Оно характеризует степень зависимости относи­ тельной погрешности решения от относительной погрешности правой части. Матрицы с большим числом обусловленности Мл называются плохо обусловленными матрицами. При численном решении систем с плохо обусловленными матрицами возможно сильное накопление погрешностей. Подчеркнем, что число обу­ словленности не связано с каким-либо численным алгоритмом, а характеризует только свойство системы (5.19). Чаще его обозна­ чают как cond(A), в дальнейшем будем придерживаться этого обо­ значения.

С введением понятия сингулярных (собственных) чисел смысл числа обусловленности становится яснее. Так как стандартное число обусловленности матрицы А есть

число обусловленности можно интерпретировать как отношение максимального коэффициента растяжения векторов (сингулярного числа) под действием матрицы А к минимальному коэффициенту (сингулярному числу).

Действительно, исходя из сингулярного разложения, число обусловленности матрицы А полного ранга есть отношение

cond(A) =

где Отах И CTmin наибольшее и наименьшее сингулярные числа матрицы А. Если А имеет недостаточный ранг, то crmjn = 0, и гово­ рят, что число cond(A) бесконечно.

Математическое ожидание случайной величины т,: рт/ =\ixk = — .

со0

Как показано в 2.4, ковариационные моменты интервалов между нулями зависят от относительной ширины полосы спектра процес­ са а. Это дает возможность исследовать ее обусловленность cond(C) не только в зависимости от размерности входного вектора N, но и в зависимости от относительной ширины полосы спектра сигнала а (рис. 5.11-5.13).

Из приведенных зависимостей вцдно, что при уменьшении отно­ сительной ширины полосы энергетического спектра стационарного случайного процесса число обусловленности матрицы корреляцион­ ных моментов интервалов между нулями резко возрастает. При моногармоническом процессе матрица С вырождена (см. формулу (5.28)), следовательно, она не имеет обратной и вычислить коэффициенты на­ чальной регрессии через элементы обратной матрицы не представляет­ ся возможным. Опираясь на определение числа обусловленности мат­ рицы, можно сделать вывод, что погрешности вычислений с по­ мощью таких матриц возрастают на несколько порядков, что явля­ ется недопустимым.

С увеличением размерности входного вектора число обуслов­ ленности резко возрастает. Этот рост тем больше, чем меньше относительная полоса спектра сигнала а.