книги / Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации
..pdfРис. 2.5. Зависимость коэффициента начальной регрессии интервалов между нулями стационарного процесса от отно сительной ширины полосы а гауссова энергетического спектра (а) и прямоугольного энергетического спектра (б)
РфСО
Рис. 2.6. Зависимость корреляционной функции фазы от от носительной ширины полосы а гауссова энергетического спектра при различных сдвигах между сечениями
ждается сравнением расчетных и экспериментальных зависимо стей (3Т|/Тг (а) процессов с прямоугольным и гауссовым спектрами.
Таким образом, в качестве информативного параметра, харак теризующего корреляционные свойства или связанную с ними от носительную ширину полосы, может быть использован КНР ин тервалов между нулями. Значение КНР РТ|/tj (а) инвариантно к
средней частоте энергетического спектра процесса и его диспер сии. Установленные свойства КНР PX)/Xj (а) обусловливают воз
можность его использования при реализации временных регресси онных способов обработки процессов с изменяющимися во време ни дисперсией и средней частотой.
Используя длительности интервалов между нулями, можно оценить среднюю частоту энергетического спектра стационарной входной реализации.
Оценка средней частоты энергетического спектра сигнала
Оценку средней частоты энергетического спектра сигнала можно осуществить путем вычисления длительности интервала времени Т, соответствующего п интервалам между нулями реали зации сигнала, т.е.
©о |
п |
(2.61) |
|
|
2Т |
Представим относительную погрешность оценки среднего ин тервала времени Т в виде
о |
|
Т_ |
т |
5 |
Пш |
Мт |
|
Тогда с учетом (2.45) и (2.53) дисперсия относительной погрешности
2 |
М ° ) - Я р |
|
лV |
||
|
Для малых значений погрешность оценки средней частоты 5“° на основании (2.61) можно представить как 5“° В этом
случае дисперсию оценки средней частоты энергетического спек тра с относительной полосой а узкополосного случайного процес са запишем в виде
Я [ 8 ? ] - т2 |
2 |
5 ф( 0 ) - 5 ф| ^ |
(2.62) |
П П |
|
со.о J. |
|
При достаточно большом количестве интервалов и между нулями величиной 5ф(ия/со0) в этом выражении при а > 0,1...0,2 (по срав
нению с 5 Ф(0) = 3,28) можно пренебречь (см. рис. 2.6) [26]. Поэто му дисперсию относительной погрешности оценки средней часто ты энергетического спектра представим в виде
2 |
R Г01 = в* 656 |
|
2 °<t V0' |
„2 ’ |
|
Л П |
|
П |
.отсюда среднеквадратическое отклонение относительной погреш ности
0,81
ст
п
Следовательно, для широкополосных процессов (а > 0,1...0,2) относительная погрешность оценки средней частоты не зависит от относительной полосы частот при обработке п > 10 периодов средней частоты реализации процесса.
Коэффициенты центральной регрессии интервалов между нулями входных реализаций сигналов
В АИС часто возникает задача распознавания сигналов по аб солютной ширине полосы энергетического спектра при а « 0,1. Для решения этой задачи необходимо преобразовать частоту и сместить спектр сигнала в область более низких частот так, чтобы полоса сигнала а лежала в пределах 0,1 < а < 1. Но преобразовать частоту входного сигнала при большом динамическом диапазоне и при невозможности в ближней локации применения инерционной
автоматической регулировки усиления (АРУ) довольно сложно. Поэтому предлагается регрессионно (см. далее 4.2) обрабатывать последовательности из п интервалов между нулями входной реа лизации.
Рассмотрим последовательность интервалов времени /ь t2, ... (к, включающих по п интервалов между нулями случайной реализа ции x(t). Так как количество нулей узкополосного процесса {*(/)} совпадает с количеством нулей cos[oV + <р(/)] [14], запишем
п |
|
|
п |
|
X х»= *2 |
|
= |
tk+\~tk = 'EJ'l k = Tk, |
|
(=1 |
|
|
А=1 |
|
откуда получим |
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
2 > 0 |
- |
[ф ( ' Л+1) - Ф ( ' А+1) ] = |
П П, |
|
*=1 |
|
|
|
|
тогда |
|
* |
= [wк + ф(/Л1) - |
(/А)]р< Шо1• |
тк = пI > |
|
|||
*= 1 |
|
|
|
|
Центрированные случайные величины примут вид |
||||
^1 = ^1 |
- |
И-г,» |
Тк =Тк -\ктк> |
|
где р.Г] и \iTk— математические ожидания случайных величин.
Для узкополосного стационарного случайного процесса
п
поэтому Тк =[ф(<».|)-ф(<*)]Шо.
Ковариационный момент центрированных случайных величин
оо
Т\ и Т2 запишем как
С(Тх,Тг) = — М< |
( |
п |
\ |
" Г |
п |
п |
V |
||
ч> |
ь + Е х/ |
- фМ |
|||||||
ф h + Z |
x«+ Z |
x* |
|||||||
- фГ |
ш0 |
L ч |
ы\ |
) |
. V |
1=1 |
к=I |
) . |
|
п w |
|
|
|
|
|
|
|
||
*=1 J
или
щ |
|
[fH) |
|
|
С1ТЬ Ъ ) = \ |
2В„ |
|
Г2 н л ] |
-■ 8,(0 ) |
|
|
1©0 |
^ ©0 У |
_ |
Дисперсию случайного параметра Т определим из равенст ва (2.53)
а 2г - —2 8 „ ( о ) - г , П К
©о |
4©07J |
Коэффициент центральной регрессии (КЦР) последовательно сти интервалов времени 7*, включающих по п интервалов между нулями случайной реализации *(/), запишем в виде
С(Т„Т2)
_2
или в общем виде с учетом равенств (2.54) и (2.63)
|
a 0J |
-ч*э- |
|
- у - в Ф (Л -1)— |
|
|
|
-в.. (Л - 2)— |
в,(о)-в. ( пп |
(2.64) |
|
©о J |
|
|
|
Вводя обозначения CDQ = со0 / л , |
м о ж н о записать, ч т о |
|
|
о |
о |
|
|
P7j/7i = Рт./т* > |
|
|
|
О
где P'T|/Xt — КЦР соседних интервалов между нулями преобразо
ванного сигнала.
Отсюда следует, что КЦР интервалов между нулями преобра зованного сигнала (2.64) совпадает с КЦР интервалов Г, и 7* ис ходного сигнала.
Анализ КЦР для прямоугольного (рис. 2.7, о) и гауссового (рис. 2.7, б) спектров в зависимости от относительной полосы энергетического спектра сигналов показывает, что те же значения
Рис. 2.7. Коэффициенты центральной регрессии для прямо угольного (о) и гауссового (б) спектров
могут быть получены для интервалов времени Т\ и Тг (см. фор мулу 2.64)). Поэтому для распознавания узкополосных сигналов с а « 1 могут быть применены регрессионные алгоритмы (см. да лее 4.2), в которых обрабатываются центрированные параметры сигналов на интервалах Т\ и Г2.
Статистические характеристики отсчетов огибающих узкополосных случайных процессов
Часто в АИС, например акустических и сейсмических, вход ные сигналы являются случайными процессами с неизвестной средней частотой энергетического спектра. Информация о свойст вах объектов заключена в статистических характеристиках оги бающих входных реализаций. Поэтому в АИС необходимо выде лять информативные параметры огибающих и вычислять стати стики, инвариантные к средней частоте энергетического спектра.
Ниже рассмотрены статистические характеристики отсчетов огибающих узкополосных случайных процессов, взятых с помо щью сопряженных им по Гильберту процессов.
Общую аналитическую зависимость стационарного в широком смысле узкополосного случайного процесса представим в виде
x(i) = E(t) cos [со0/ + ф(/)],
где E(t) — огибающая; со0 — средняя частота; ф(Г)— случайная фаза. Автокорреляционная функция (АКФ) огибающей Е(1) узкопо
лосного стационарного нормального случайного процесса [14] может быть представлена как
78
-М 'о W] -[l - ' I « * |>o« ]]) •
где a2 — дисперсия исходного узкополосного случайного процес са; г0(т) — огибающая нормированной АКФ; £[г0(т)], £[г0(т)] — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответ ственно.
Первый член в выражении (2.65) равен квадрату постоянной составляющей огибающей E(t)'
Из (2.65) следует, что среднее значение квадрата огибающей E(t) равно
0) = 2 а2,
а дисперсия огибающей E(t) будет
Используя (2.65) и (2.66), можно найти нормированную АКФ огибающей узкополосного нормального случайного процесса
Как показали расчеты АКФ по формуле (2.67) с учетом (2.65), в большинстве практических случаев можно ограничиться первым членом в квадратных скобках выражения (2.67), т.е.
( 2.68)
* 0 / + 1) y(t) |
x(t) |
о
*«/)
Рис.2.8. Получение отсчетов огиба ющей
Чтобы устранить влияние нестационарности входного про цесса {x(t)} на отсчеты АКФ, обусловленное изменением сред ней частоты ©о, будем проводить отсчеты огибающей с помощью сопряженного ему по Гильберту процесса (у(/)} (рис. 2.8):
?(') = - - |
Г ^ Л = £(/)8т[<М-<р(/)]. |
(2.69) |
я |
J т—t |
|
|
-со |
|
Как видно из формулы (2.69) и рис. 2.8, при Ф
- ф(/, ) = nTj y(t,) = 0, a *(/,) = E(t,) = (-1 )"£,. Таким образом, для
получения отсчетов огибающей Е, необходимо проводить отсчеты реализации х(/) в моменты перехода через нуль сопряженного по Гильберту процесса y(t). Реализации сопряженных процессов можно получить на выходах широкополосного фазорасщепителя со сдвигом фаз на 90°.
Моменты времени, в которые берутся отсчеты, разделены ин тервалами Дтjk‘.
\ j - к\ п + [(р ( / , ) - ф (/А)]
Дч*= t( —tк =
©о
Тогда дисперсия интервалов Дт(* равна
©оч |
©о J |
значение корреляционной функции фазы при сдвиге |/ - к\ л/со0. Для удобства обозначим / - к = п. На основании (2.45) матема
тическое ожидание интервалов между отсчетами будет равно
ц(Дх,A) = /i— , |
(2*71) |
©О |
|
и нормированный коэффициент корреляции отсчетов огибающей, разделенных интервалами Дхд, получим в виде
М Д * ,а)= f W(Axtk)rE(Ax(k)dAx,kt |
(2.72) |
Дт(* |
|
где ЩАхцс) — плотность распределения вероятностей случайной величины Дх,*.
Разложим функцию гя(Дх,*) в ряд Тейлора в окрестности точ ки |/ - к\ л/о)о, ограничиваясь первыми тремя членами разложения,
|
о |
|
rE{Axtk) =rE(I* “ *1«/®о) + 'в (I* ~ *1 7i/a>0) Дх(*+ |
(2.73) |
|
, |
о |
|
+ -rE(\i-k\n/d)0)Axik + ..., |
|
|
где Дх/* =Дх/А-р(Д т,Л), ц(Дх,А) определяется из выражения
(2.71).
Подставив выражение (2.72) в (2.73), получим
г Е ( Д x i к ) = г е ( I * " к \ л /® о ) + \ уе (1; - к \я / ш о ) £ ( Д x ik )• ( 2 -7 4 )
На основании (2.68) г£ (|/-Л|л/со0) будет иметь вид
гв (I»"*1 * /® о ) = 2 ( 4 - я ) ^ ^ ^ |
+ |
+ г0(|/-Л|л/сйо)Я0 (|/ - А|п /щ )] |
(2.75) |
С учетом (2.59) и (2.60) запишем интересующие нас значения го(т), выраженные через значения п и относительную полосу час тот а, для прямоугольного и гауссова энергетических спектров соответственно:
sin |
яа" |
|
|
п — |
J |
|
|
|
L 2 |
|
|
©о. |
я а |
|
|
|
|
|
|
я |
^ / |
\ ] |
(2.77) |
= ехр |
|
|
|
сог
Подставив выражения (2.76) и (2.77) в равенство (2.75), полу чим нормированные АКФ (2.74) огибающей узкополосного слу чайного процесса для прямоугольного и гауссового энергетиче ских спектров, выраженные через относительную ширину полосы а энергетического спектра процесса и количество интервалов п между отсчетами АКФ огибающей.
На основании (2.74) с учетом (2.68)—(2.70) и (2.75)-(2.77) можно сделать вывод, что значения нормированных коэффициен тов корреляции отсчетов узкополосного нормального случайного процесса, взятых с помощью сопряженного по Гильберту процес са, зависят от относительной ширины полосы а энергетического спектра процесса и количества интервалов п между нулями, разде ляющих эти отсчеты, а также от вида энергетического спектра, и не зависят от средней частоты энергетического спектра входного процесса (рис. 2.9).
Анализ графиков рис. 2.9, 2.10 показывает, что до значений а, равных 0,7—4),8, коэффициенты корреляции отсчетов, взятых по предложенной методике, практически совпадают со значениями
а |
б |
Рис. 2.9. Зависимость коэффициентов корреляции отсчетов огибающей ТЕ от относительной ширины полосы а энерге тического спектра процесса при сдвигах п между отсчетами: п = 1(а), п = 5 (6)\ 1— прямоугольный спектр; 2 — гауссов спектр