книги / Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации

В СПР функции x(t) рассматриваются только в течение конеч­ ного интервала времени Т. Для таких сигналов может быть приме­ нено приближенное разложение Котельникова.

Пусть {*(/)} — непрерывный в среднеквадратическом и стацио­ нарный в широком смысле случайный процесс, энергетический спектр Sx(со) которого непрерывен и тождественно равен нулю вне полосы частот |со| < сос = 2nft (где сос — частота среза). Для такого процесса выполняются равенства (2.3), (2.4). Этот случайный процесс с ограниченным спектром полностью определяется множеством слу­ чайных величин хк = x{kAt), где к = 0, ±1,±2, ...,±оо, а на огра­ ниченном интервале времени Т — /«-отсчетами, где тп= 2/ в7\

Случайный процесс {х(0} при указанных ограничениях пред­ ставляет сумму квазидетерминированных процессов вида

Иногда интервал At между соседними значениями случайной функции выбирают не из ширины спектра, которую полагают бес­ конечной, а из ее интервала корреляции То, т.е. полагают At - т0. В

этом случае разложение в ряд справедливо, если этот интервал много меньше интервала наблюдения Т, т.е. при

t о Д'

Однако в общем случае координаты случайного процесса {*(/)}, выбираемые согласно теореме Котельникова, являются коррелированными. Кроме того, использование этих координат ограничено условиями стационарности в широком смысле.

При представлении случайного процесса в виде совокупности случайных величин естественно его теоретико-вероятностное опи­ сание строить на основе вероятностного описания случайных ве­ личин, т.е. с использованием многомерных законов распределения, или, например, при решении задач в рамках корреляционной тео­ рии с использованием матриц корреляционных моментов.

з*

Во многих случаях для получения статистических выводов о характеристиках случайного процесса целесообразно представить его в виде суммы элементарных функций

А=О

где ф* (t) — координатная функция; Vk — центрированная слу­ чайная величина.

Полное вероятностное описание случайного процесса при по­ мощи конечномерных распределений и матриц корреляционных моментов возможно для процессов с дискретным временем, когда процесс представляет собой конечную последовательность слу­ чайных величин (например, в импульсных системах ближней ло­ кации). В остальных случаях в рамках конечномерных распреде­ лений нельзя описать процесс {*(/)} полностью.

Однако, рассматривая конечный интервал наблюдения и вы­ бирая точки tj , . . . , достаточно близко одна от другой при большом п, можно аппроксимировать процесс {*(/), ( еТ} после­ довательностью случайных величин. Тогда при описании процесса можно ограничиться конечномерными распределениями или мат­ рицами корреляционных моментов в зависимости от решаемой задачи.

Все реальные системы принятия решений и измерительные приборы, при помощи которых исследуются статистические ха­ рактеристики сигналов, имеют конечную полосу. Поэтому при теоретических исследованиях сигналов целесообразно ограничить их полосу и воспользоваться приближенным разложением Котель­ никова.

Одной из распространенных математических моделей случай­ ных процессов является гауссовский (нормальный) случайный процесс, отсчеты которого для любой совокупности моментов вре­ мени подчиняются многомерному нормальному закону рас­ пределения вероятностей

Wm(xj,..., xm, 11 ,..., tm)

При симметричной матрице К матрица Е — симметричная, т.е. Е,2 =Е21. Проведем невырожденное преобразование подвек­

тора Х{2) Х(|)=ВХ(2) так, чтобы остаточная сумма квадратов

ЧР¥Т= 4 ^ - A f^X (1) -B X (2))(X(I)-B X (2))TJ

была минимальной. Дифференцируя остаточную сумму квадратов

где Е22 — матрица, обратная матрице Е22.

Матрицу В назовем матрицей начальных коэффициентов регрес­ сии. В отличие от регрессии, известной из математической статисти­ ки, матрица В определяется в конечном счете через матрицу корре­ ляционных моментов К, а не через ковариационную матрицу С.

Очень часто при реализации регрессионных систем в качестве априорной информации используют коэффициенты множествен­ ной регрессии одного отсчета случайной функции на л-1 осталь­ ных, т.е. линейное преобразование вида

П

*l=ZPlкхк-

*=2 В такой постановке задачи при расчленении вектора на под­

векторы подвектор X ^ есть скалярная величина. Тогда матрич­ ное уравнение

в е 22 = е 21

может быть представлено системой уравнений: Р12^22 +Р|3/Г2з + ... + Р1пХ’2л = * 21,

Pl2^32 + P l3*33+ --<+ P l A n = ^3I>

Pl2^n2 + Pl3^n3 + • • • + Pln^-nn = К„\.

Для положительно-определенной матрицы К уравнения име­ ют единственное решение:

Пусть X ,,.... Xm— m TV-мерных векторов, и X определен как

/V /1=1

14 /1=1

N

где элемент ^Х „Х * находят как ^ xlnXjn, а элемент ХХТ— как

Оценку вектора В по уравнению (2.18) можно получить сле­ дующим образом:

Найдем оценку остаточной суммы квадратов (2.20):

**' - ^ 1 (34"- вх<2’)(х<'> -вх?’)\

^/1=1

или

7VT'PT = |; X (n1)X<I1)T-BA BT,

/1=1

где

A= f x > X < 2>

Л=1

Пусть ЛГ(1) есть скалярная случайная величина а хп,..., xiN при N> т — независимые случайные величины.

вать как ТУ частных значений фиксированной переменной.

Оценку для множественного коэффициента регрессии на ос­ новании уравнения (2.24) запишем в виде

Дисперсия оценки (3^

D [ b ] -

При о?0 « \\ift можно записать, что

D [ f c ] - ^-kkVrt-

Матрица ковариации оценок рЛ, ..., р,у

или при а}0 = ц/%

Л-к/Ум-