книги / Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации

Рассмотрим решение задачи в условиях априорной определен­ ности. Будем полагать, что статистические характеристики шума полностью известны, т.е. известен тя-мерный закон распределения вероятностей шума W (я,,..., пт). Сигнал может быть представлен в виде

U(t) = U(t, х, ос.......

где х, а ,,...,а „ — неизвестные в месте приема параметры сигнала. Эти параметры в течение времени наблюдения (О, Т) могут быть неизвестными постоянными величинами или неизвестными функциями времени: х(/),а, (/)......а„(/). Здесь х является по­ лезным сообщением, на основании которого системой принима­ ется решение v(/), a a t......a„ — паразитными параметрами, т.е.

параметрами, не содержащими никакой информации о сообще­ нии х.

Неизвестные величины (или функции времени) х,а^...,а.п рассматриваются на входе СПР как случайные величины (или слу­ чайные функции времени), имеющие известные априорные рас­ пределения вероятностей W(x), JV(a]3...,an). В общем случае

Щх) — многомерная плотность распределения вероятностей.

В связи с тем, что паразитные параметры a j,...,a n не содер­ жат никакой информации о сообщении х, статистическая связь между этими параметрами и сообщением х отсутствует. Статисти­ ческие характеристики сигнала и шума полагаются полностью из­ вестными, т.е. известно совместное распределение

W(x,y) = W(x)Wx(y).

Так как W(n) и fV(alt считаются известными, то в принци­ пе можно найти распределение fVx(y). Система принятия решений анализирует реализацию вектора yit) в течение времени наблюде­ ния (О, Т), и на основании этого анализа на выходе системы выда­ ется решение V(/). Операции, которые производятся в СПР над реализацией y{t) для образования v(/), называются правилом реше­ ния A(v/у ) , или алгоритмом работы СПР. Вид решения v(/) зави­

сит от назначения системы. Рассмотрим различные задачи, решае­ мые СПР.

Бинарное обнаружение сигналов. Пусть на входе системы на интервале времени принятия решения (О, Т) присутствует одна из реализаций:

От системы требуются два взаимоисключающих ответа: в слу­ чае реализации (1.1) — ответ «да» о наличии сигнала во входной реализации, т.е. решение v = vt; в случае (1.2) — ответ «нет» об

отсутствии сигнала во входной реализации, т.е. решение v = v0.

Такая формулировка задачи называется бинарным обнаружением сигнала на фоне шума (помехи).

Распознавание сигналов. На входе системы на интервале вре­ мени принятия решения (О, Т) присутствует одна из реализаций

где U„ (/) — реализация помехи.

В первом случае от СПР требуется ответ «да» о наличии сиг­ нала во входной реализации, т.е. v = v,, во втором — ответ «нет» об отсутствии сигнала во входной реализации, т.е. v = v0. Такая формулировка задачи называется распознаванием сигнала и явля­ ется частным случаем более общей задачи классификации, когда на входе СПР может присутствовать одна из реализаций:

■ И о - м о в а д ) .

* (< )* (/« ,(0 ® £ /.( О-

От системы требуется выдача решения v = v(- о наличии во входной реализации сигнала Uci (/).

Совместное обнаружение и распознавание сигналов. На входе системы на интервале времени принятия решения присутст­ вует одна из реализаций:

v = V! о наличии сигнала во входной реализации, а в случаях (1.4) и (1.5) — решение v = v0 об отсутствии сигнала на входе.

Оценка сигналов (параметров). На вход СПР поступает реа­ лизация

у(‘) = и ( 1 ) в и М -

Система принятия решений должна определить, какое значение принял сигнал (или его параметр) в наблюдаемой смеси y(t), т.е. оценить значение сигнала (параметра). При простом воспроизведе­ нии дискретных параметров хх,...,хт сигнала решения СПР имеют

дискретные значения v(,...,vm. При простом воспроизведении не­ прерывного сигнала £/(/) решение СПР должно быть непрерывной функцией v(/). Тогда в случае точного воспроизведения v, = xt или

V( 0 = W (I).

Иногда требуется не простое воспроизведение сообщения, ко­ торое несет сигнал U(t), а воспроизведение с осуществлением не­ которых дополнительных операций, например дифференцирова­ ния, интегрирования, предсказания будущего закона изменения сообщения и т.д. В этих случаях при отсутствии помех должно выполняться условие

v « = » W ) ] .

где W[U (/)] — некоторый оператор, соответствующий требуемо­

му преобразованию.

Правило решения А(у/ у) может быть регулярным или стати­

стическим.

Если правило регулярное, то каждой реализации y(t) смеси сигнала й шума соответствует вполне определенное (с вероятно­ стью, равной единице) решение v, т.е. между реализацией y{t) и

Если правило статистическое, то решение v связано с у не ре­ гулярной, а статистической зависимостью, т.е. при данном у из­ вестно не решение V, которое примет СПР, а лишь его вероят­ ность. В этом случае правило решения А(у/у) означает вероят­

ность принятия СПР решения v при наличии на ее входе реализа­ ции у. Если v является непрерывной величиной, то А(\>/ у) — многомерная плотность распределения вероятностей.

Если и в случае регулярного правила решения в целях универ­

Д(v/у) = 5[v -T (v)], где 5(z) — 5-функция отz.

1.3.Обобщенные критерии оптимальности

Вряде случаев выбрать конкретный вид критерия оптималь­ ности трудно. Поэтому важно знать, как влияет вид выбранного критерия оптимальности на структуру и характеристики СПР. Для этого используют обобщенные критерии оптимальности, которые охватывают целые классы возможных частных критериев. Такой подход возможен при применении теории статистических реше­ ний. Теория статистических решений является развитием и обоб­ щением методов оценки параметров распределений.

Для нахождения оптимального правила решения следует вы­

бирать количественную характеристику качества решения v. Такой характеристикой в теории статистических решений является функция потерь 1(х,у), определяющая потери для каждой ком­

бинации сообщения х и принятого решения V. При простом вос­ произведении наиболее распространенной является квадратичная функция потерь вида

l(x,y) = ( v - x ?

В общем случае функция потерь 1(х,у) может иметь самый различный вид в зависимости от назначения СПР (обнаружение, распознавание, простое воспроизведение и т. п.) и предъявляемых к ней требований. Однако во всех случаях она должна характери­ зовать потери, связанные с данной комбинацией сообщения х и

16

решения v, т.е. чем менее благоприятна (в смысле назначения СПР) данная комбинация (х, v ), тем больше должно быть соответствующее ей значение.

Сообщение х и решение v являются случайными величинами (функциями времени), поэтому потеря /(х, v) также является слу­ чайной. Следовательно, качество СПР в теории статистических решений оценивается математическим ожиданием I(x, v ):

R = M[I(x,v)],

или

At A,

где Ax и Av — область всех возможных значений х и v соответст­ венно.

Величина R, называемая средней потерей, является мерой ка­ чества решений. Поэтому оптимальным (наилучшим) будет такое правило решения A (v/y), которое обеспечивает минимальное

значение Л. Правила решения A(v/y), обеспечивающие минимум величины R, называются байесовскими.

Если функция потерь /(х, v) не зависит от правила решения A (v/y), то величина /(х, v) называется риском, a R — средним

риском. В дальнейшем мы будем рассматривать именно такие слу­ чаи и величину R будем называть средним риском. При этом оп­ тимальным является такое правило решения A (v/y), которое обеспечивает минимум среднего риска R. Как следует из изложен­ ного выше, это правило принадлежит к классу байесовских правил решения.

Для практического применения выражение (1.7) следует преоб­ разовать таким образом, чтобы заданные априорные распределения Р(х), Р(у) и правило решения A(v/y) входили в него в явном ви­ де. Проведем это преобразование, полагая, что правило решения яв­ ляется регулярным, т.е. описывается регулярной зависимостью.

Учитывая, что Р(х, v) = Р(х)Рх(у) , из (1.7) получаем

R= ^dxP(x) J7(x, v)P,(v)^v.

ЛЛу

имеем

Из выражений (1.8) и (1.9) следует, что Rx является условным рис­ ком, определенным для данного значения сообщения ■*, а средний риск может быть получен усреднением этого условного риска по всем возможным значениям сообщения х.

При проектировании СПР часто неизвестны вероятности Р(х,) передаваемых сообщений, а известен лишь вид сообщений

х , , х 2, . . . , х т .

Согласно (1.8), каждому сообщению х, можно поставить в со­ ответствие условный риск

( 1.10)

Таким образом, СПР в рассматриваемом случае будет харак­ теризоваться векторным показателем качества R = {RxU..., Rxm}.

Способы сведения векторного синтеза к скалярному в ближней локации

Векторный синтез проводится с учетом нескольких показате­ лей качества, т.е. на основе вектора показателей качества. Синтез, проводимый по единственному показателю качества, называется скалярным. Если при синтезе учитываются не все существенные показатели качества, то он называется частным. Почти все извест­ ные методы математического синтеза разработаны применительно к скалярному синтезу. Поэтому далее будут рассмотрены особен­ ности, возникающие при векторном синтезе, а также методы све­ дения векторного синтеза к скалярному.

Математически сведение векторного синтеза к скалярному мо­ жет быть проведено, например, одним из следующих двух методов.

1. Образуют некоторую результирующую целевую функцию Кр = f p (АТ,,.... Кт) и отыскивают такую систему, которая обеспе­

чивает этой функции минимум при заданной совокупности усло­ вии У и ограничений О, (или Ох и О*).

2. Ищут систему, обеспечивающую минимум одного из пока­ зателей качества, например К1}при всех остальных т - 1 показате­ лях, переведенных в разряд ограничений типа равенств, нера­ венств или смешанных ограничений, например вида К2 > K2mia, Кт< Ктаах, и учете совокупности исходных данных Y, Ох, К, О*.

По первому методу сведения векторного синтеза к скалярному усложняется (по сравнению с обычным скалярным синтезом) це­ левая функция, а по второму — функция ограничений. Несмотря на эти усложнения, после такой «скаляризации» задача может ре­ шаться известными методами скалярного синтеза, т.е. синтеза по единственному показателю качества. При неизвестных вероятно­ стях передаваемых сообщений СПР характеризуется векторным показателем качества [15] R = {i?Jcl,...>i?xm}, где Rxi определяется выражением (1.10).

Автономная информационная система ближней локации, вклю­ чающая в себя СПР, как и любая радиоэлектронная система, ха­ рактеризуется вектором Р ={Рх,Р2,...,Рт) показателей качества,

включающим совокупность показателей качества системы, кото­ рые должны учитываться в процессе синтеза и анализа. Из всех систем, удовлетворяющих совокупности исходных данных, опти­ мальной считается система, которая обладает наилучшим значени­ ем вектора показателей качества.

Как отмечено выше, математические методы синтеза разрабо­ таны в основном применительно к оптимизации по единственному (скалярному) показателю качества, поэтому необходимо сведение векторной задачи к скалярной. При оптимизации АИС БЛ задачу с несколькими показателями удается свести к задаче с одним пока­ зателем по мере достижения экстремума основного показателя, переведя остальные показатели в разряд ограничительных условий и ПОЛОЖИВ Pi < Pimax.

Основной задачей в ближней локации является эффективное действие по объекту, поэтому за критерий часто выбирается веро­ ятность эффективного действия, которая зависит от многих слу­

чайных параметров условий применения и условий встречи с объ­ ектом. Часть из этих случайных параметров статистически определе­ на, т.е. задана совместной плотностью распределения вероятностей. Тогда при статистическом подходе к решению задачи основным по­ казателем АИС БЛ должно быть среднее значение вероятности эф­ фективного действия. Однако часть параметров условий встречи и условий применения (например, тип объекта, скорость, помеховая ситуация и т.д.) объективно не имеет законов распределения, из­ вестен лишь набор этих параметров, и задачу синтеза и оптимиза­ ции систем ближней локации приходится решать в условиях апри­ орной неопределенности.

Таким образом, специфика систем ближней локации обуслов­ ливает векторный характер основного показателя — вероятности эффективного действия Р,ф = {РЭф,, Рэф2,..., Р ф } на множестве

параметров условий применения.

Векторную задачу целесообразно сводить к скалярной форми­ рованием целевой функции ^ = /{ Р Эф1,РЭф2,...,/>ЭфЯ} и оптимизи­

ровать систему путем отыскания ее экстремума. В ближней лока­ ции целевая функция может быть сформулирована на основе ми­ нимаксных, игровых, равновероятностных и равноважностных критериев.

Минимаксный критерий оптимальности сводит к минимуму не средний риск R, а максимально возможное значение условного риска RxmaxМатематически минимаксный критерий формулирует­ ся следующим образом:

тахЛДДтах) «S тахЛ ^Д ) при всех Д,

(ПОX) (по х)

где Д = Г(у) — произвольное правило решения; Дтах =Г тах(у) —

правило решения, обеспечивающее минимизацию максимального значения условного риска Rx и называемое поэтому минимаксным правилом решения. Символ Л,(Д) подчеркивает, что условный риск зависит от правила решения.

Из определения минимаксного критерия следует, что он обес­ печивает наилучшее правило решения (т.е. наилучший принцип действия СПР) для наихудшего случая (сообщения). В этом за­ ключается его преимущество, но с этим связан и его недостаток. В действительности наихудший случай может совсем не иметь места

или быть маловероятным, поэтому минимаксное правило решения в большинстве случаев (для большинства сообщений) может ока­ заться далеким от оптимального.

При игровом подходе формулируется конфликтная ситуация, т.е. рассматриваются возможные тактические варианты действия сторон и количественные результаты каждой их комбинации. При этом можно определить оптимальную смешанную стратегию для системы ближней локации, при которой исключается влияние так­ тики объекта на среднюю вероятность эффективного действия (цена игры):

П П

стратегия АИС БЛ; у, — чистая стратегия АИС БЛ; Ру — эффек­ тивность при взаимодействии /-й чистой стратегии объекта и j-й чистой стратегии АИС БЛ.

Игровой подход позволяет выбрать оптимальные характеристи­ ки АИС БЛ, если отсутствует информация о статистических харак­ теристиках условий применения и условий встречи с объектом.

Осуществить смешанную стратегию АИС БЛ можно путем перестройки ее характеристик с частотами у = {у,,...,у(, ■■■,у„}

при помощи блока формирования параметров АИС БЛ и генерато­ ра оптимальной смешанной стратегии. Выбор оптимальных пара­ метров АИС БЛ в виде смешанной стратегии позволяет создать систему, которая обеспечивает эффективное действие во всем множестве условий применения и условий встречи. Однако веро­ ятность эффективного действия при таком подходе оказывается низкой Рэф =0,3...0,5, что приемлемо для систем массового при­

менения, но не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к бо­ лее сложным и дорогостоящим АИС БЛ.

Анализ зависимостей вероятности эффективного действия от параметров условий встречи и условий применения показывает, что получить одинаково высокую эффективность во всем множе­ стве стратегий объекта можно лишь при наличии информации об условиях применения и условиях встречи с объектом и оптимиза­

ции параметров АИС БЛ в соответствии с обработанной информа­ цией в каждой ситуации.

Кроме того, игровые критерии относятся к разряду минимакс­ ных, так как требуют от АИС БЛ максимальной эффективности при наихудших стратегиях объекта, которые применяются с мак­ симальными частотами.

Если некоторые параметры условий встречи или условий при­ менения не описываются статистическими законами распределе­ ния и не могут варьироваться объектом, то логично считать часто­ ты чистых стратегий х = {хх,..., xt,..., х„} равновероятными, т.е.

х,= х2

п

Тогда эффективность

( 1. 12)

Равновероятностный критерий (1.12) допускает низкую эф­ фективность Р/ при средней, удовлетворяющей техническому за­ данию. Если необходимо обеспечить высокую эффективность в каждой ситуации и если объект, изменяя свои чистые стратегии, влияет на параметры условий встречи и условий применения, то использование равновероятного критерия будет неправомерным. В этих случаях используют равноважностный критерий

(1.13)

При реализации оптимальной АИС БЛ ho критерию (1.13) вероятность эффективного действия в каждой ситуации будет приблизительно одинаковой. Если хотя бы в одном из условий применения или условий встречи эффективность оказывается равной нулю: Pt ~ 0, то показатель (1.13) также оказывается

равным нулю.

По критериям (1.11)—(1.13) оценивают информативность ки­ нематических параметров условий встречи. Различные критерии отражают разные подходы к проектированию АИС БЛ и разные условия применения, однако специфической особенностью АИС