книги / Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации

белым шумом, не коррелированным с сигналом. В этом случае выборочная реализация процесса на входе системы

Нестационарные нецентрированные реализации могут подвер­ гаться дискретизации в предположении, что спектр каждой выбо­ рочной реализации ограничен частотой среза / в. При разложении

нестационарных реализаций по ортогональным координатам целе­ сообразно воспользоваться приближенным разложением Котель­ никова и представить каждую выборочную реализацию п = 2/ ВГ

отсчетами.

При решении задач обнаружения на основании принятых до­ пущений можно не рассматривать полосу частот вне интервала О-/ в и считать шум белым полосовым, ограниченным верхней частотой / в. Тогда плотность распределения вероятностей шума будет за­

писываться аналогично выражению (3.10), так как отсчеты слу­ чайного процесса с постоянной спектральной плотностью в огра­ ниченной полосе 0- / в, взятые по теореме Котельникова с интер-

д 1

валом At = > оказываются некоррелированными, т.е. имеют

диагональную матрицу корреляционных моментов. Отсчеты хк

нестационарного сигнала {(Ус(/)}, представленного по теореме Котельникова:

в общем случае будут коррелированными. Тогда сигнал {£/c(f)}

может быть задан вектором средних ц = и матрицей ковариа-

ционных моментов С и при нормальном распределении отсчетов хк плотность распределения вероятностей W(x........хп) будет иметь вид выражения (3.9).

Рассматривая входной случайный процесс (y(f)}, представ­ ленный по теореме Котельникова, будем полагать, что на вход сис­ темы поступает совокупность ортогональных сигналов \\>к(t - кAt), известных точно по форме и имеющих случайные коррелированные амплитуды хк, в смеси с белым полосовым шумом. Для этого случая

(3.32)

(3.33)

Выражение (3.35) аналогично формуле (3.10). Тогда на осно­ вании выражений (3.9), (3.10), (3.32)-(3.35) коэффициент правдо­ подобия (3.11) можно представить в виде

На основании ортогональности координат v|/A(/ —/сДг) в раз­ ложении по Котельникову

Несмещенная оценка случайного отсчета хк в момент времени (/ —кAt) по методу максимума правдоподобия равна

чить на выходе линейного фильтра, оптимального по критерию максимума отношения сигнап/шум для сигнала ц/к ( t - кAt). Спек­ тральную плотность функции

\\ik {t-kAt) =sin 2nfB(t-kAt) 2я/„ (t - kAt)

запишем в виде

при (K|co|«So>cp, C0c =2л/в;

S(jG>) =<®c

0 при H>cocp.

Оптимальный фильтр, согласованный с сигналом \yk(t -kAt),

будет физически не реализуем. Однако на практике его можно заме­ нить квазиоптимапьным фильтром с той же амплитудно-частотной характеристикой в виде идеального полосового фильтра с частотой среза / в и модулем комплексного коэффициента передачи:

Математическое ожидание оценки хк в этом случае будет равно

хк, а дисперсия оценки ст2 — дисперсии белого шума.

На основании изложенного и с учетом выражений (3.39)— (3.41) последние два члена в левой части неравенства (3.37) вы­ числим, используя оценку отсчета случайного процесса на выходе идеального полосового фильтра с частотой среза / в. Тогда алго­ ритм системы обнаружения представим в виде

где X 0 — реализация на выходе идеального полосового фильтра с частотой среза / в.

При решении задачи распознавания на вход системы поступа­ ют реализации y(t), содержащие и помехи в аддитивной смеси с

В общем случае помеха {Un(/)} (так же, как и сигнал) — неста­ ционарный случайный процесс. Если выборочные реализации по­ мехи не содержат частот выше / вп, то реализацию помехи можно представить по теореме Котельникова числом отсчетов

где Т„ — длительность помехи, и при нормальном законе рас­ пределения плотность распределения вероятностей отсчетов помехи можно записать аналогично выражению (3.25). В рас­ сматриваемом случае система должна решать задачу распозна­ вания и вычислять отношение коэффициентов правдоподобия (3.26). Тогда на основании выражений (3.32)-(3.37) и (3.42), (3.43) распознавание сигнала Uc{t) от помехи Un(t) можно осуществлять, решая неравенство

где ус (0 и Уп (t) — реализации сигнала и помехи, полученные с

выходов идеальных линейных полосовых фильтров с частотами

среза / вс и / в" соответственно.

Оптимальная система, решающая совместно задачи обнаруже­ ния и распознавания, должна совместно вычислять неравенства (3.43) и (3.45).

При выборе интервала дискретизации из наиболее высокой

частоты среза / вс решение о наличии на входе реализации сигнала

при распознавании на основании неравенства (3.43) можно прини­ мать по следующему неравенству:

Алгоритмы (3.43) и (3.46) можно упростить, и решение о на­ личии на входе реализации полезного сигнала при обнаружении и распознавании можно принимать, вычисляя одно неравенство в схеме с одним пороговым устройством.

Области принятия решений оптимальных и рациональных систем

Для обоснования рациональных способов построения СПР в ближней локации, в которых используется априорная информация о взаимной корреляции параметров сигналов, рассмотрим двухканальную систему обнаружения. При п - 2 квадратичные формы алгоритмов (3.23) и (3.42) будут иметь вид

Учитывая, что в матрице X Xik = Хш, имеем

Р ik - ~^ik ( \ i ) 1 - ~^ki (^ii)

На основании равенства (3.50) в выражении (3.48) множитель

при (х, —Ц|) в квадратной скобке - ^ 12 (^22) —Р21 есть коэффициент регрессии оценки случайного параметра х2 на оценку х,. При п = 2

При больших значениях коэффициента взаимной корреляции оценок случайных параметров xj и х2, например г > 0,9, и откло­ нении оценок Зс, и х2 от линии регрессии первым членом в фи­ гурной скобке выражения (3.48) можно пренебречь по сравнению с членом, стоящим в квадратной скобке, как величиной второго порядка малости.

Действительно, при г > 0,9

Тогда при принятом допущении (г > 0,9) вычисление квадратич­ ной формы (3.47) сводится к вычислению полинома вида

Вторые члены, стоящие в квадратных скобках правых частей выражений (3.51) и (3.52), на основании равенства (3.49) являются линейными регрессиями одного случайного параметра на другой.

Таким образом, корреляционная оценка случайных парамет­ ров сводится к вычислению квадрата отклонения истинного значе­ ния оценки одного случайного параметра сигнала от ее регресси­ онного представления через оценку другого.

В системах ближней локации для случайных сигналов, имею­ щих одинаковую физическую природу, при усреднении по услови­ ям встречи вблизи выбранной точки в большинстве случаев ока­ зывается

(3.53)

с, а 2

поскольку параметры обоих сигналов чаще всего есть функции одного и того же вида от случайных параметров условий встреч и параметров приёмопередающего тракта.

Тогда в равенствах (3.51) и (3.52) на основании равенства (3.53) при коэффициенте корреляции г > 0,9

При принятых допущениях с учетом специфики систем ближ­ ней локации корреляционная оценка случайных параметров сигна­ лов при п = 2 сводится к вычислению полиномов вида

Остаточные дисперсии линейного регрессионного предсказа­ ния представим следующим образом:

4 № - * 2)2]"°г(1-г2),

На основании выражения (3.23) при принятых допущениях ад. горитм работы двухканальной системы с квазидетерминированными сигналами, вычисляющей коэффициент правдоподобия, мо. жет быть представлен в виде:

ПО

Как видно из неравенства (3.55), принятие решения о присут­ ствии на входе системы реализации сигнала при принятых допу­ щениях с учетом специфики систем ближней локации сводится к оценке энергии сигналов на фоне шума со спектральными плотно­ стями £01 и S02 путем вычисления первых двух членов неравен­ ства (3.55) и к оценке регрессионных соотношений случайных ам­ плитуд сигналов путем вычисления третьего члена неравенства (3.55), который на основании выражений (3.49) и (3.54) представ­ ляет собой отношение квадрата ошибки регрессионного представ­ ления оценки одного случайного параметра через оценку другого к остаточной дисперсии.

При коэффициенте взаимной корреляции г > 0,9 для уменьше­ ния отличий в областях принятия решений оптимальных регресси­ онных систем с целью исключения операций центрирования оце­ нок при неизвестных математических ожиданиях р, и р2 в систе-

о

мах ближней локации вместо коэффициента регрессии Р2|> кото­ рый будем называть коэффициентом центральной регрессии, целе­ сообразно использовать коэффициент начальной регрессии р2| •

Как видно из неравенства (3.55), граница области принятия решения системы обнаружения на плоскости х]Ох2 определяется

кривой второго порядка. Общее уравнение второй степени относи­ тельно Зс, и х2 имеет вид

Инвариантами относительного переноса и поворота осей, оп­ ределяющими свойства кривой второго порядка на плоскости, яв­ ляются три величины:

При исследовании области принятия решения без ущерба для общности рассуждений масштабы единичных сигналов по форму­

ле (3.8) можно выбирать так, чтобы по каналам были одина-

So,

ковыми. При этом соответственно изменятся и масштабы случай­ ных параметров Зс, и Зс2, а также параметры распределения веро­ ятностей. Тогда неравенство (3.55) можно представить в виде

2Sn

Граница области принятия решения, определяемая алгорит­ мом (3.57), характеризуется инвариантами

♦ So

A = - b -+D.

Я

В выражениях (3.57) и (3.58) S0(2q)~' — дисперсия оценок случайных амплитуд сигналов х, и х2; (1 -г )о2 — остаточная дисперсия оценки случайного параметра Зс2 при регрессионном представлении через Зс,; Р21 — коэффициент начальной регрес­

сии.

Если отношение остаточной дисперсии к дисперсии оценок случайных параметров