книги / Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации
..pdfОшибка регрессионного предсказания
2in xin 1 2 Р//с Хкп >
Л=1
ИЛИ
2in xin xin*
Разность zin представим в виде
2in = |
xin ~~xin ~ {хin ~ xin) + (xin “ xin) = |
|
|
|||
” \ Xin “ 21$ikxkn + |
21$ikXkn |
21$ikxin1* |
(2.29) |
|||
V |
А=1 |
/ |
\ к =1 |
*=1 |
/ |
|
Рассмотрим случай, характерный для параметров сигналов в ближней локации, когда смещением оценки xin можно пренебречь по сравнению с остаточным среднеквадратическим отклонением, т.е.
VI/2 _ 2
МО = а ю-
Тогда, возводя равенство (2.29) в квадрат и суммируя по л, полу чаем
N |
|
|
N |
N ( |
Р |
п |
\ 2 |
Z ( * m |
-Xin? = |
- * / J 2 + Z | |
Z i V t o |
- Z P / * * t a |
|
||
/7=1 |
|
|
/1=1 |
/7=1 \A=1 |
A=1 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
ЛГо?0 з ЛГС?о = |
^ п +А$2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/V |
|
Я _ |
|
|
|
|
^i\ = |
21(*/л ~~ Xin) » |
Xin = 21 |
> |
(2.30) |
|
|
|
|
/7=1 |
|
*=1 |
|
|
|
|
|
к=1у=1 |
|
|
|
(2.31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
2 |
= N4*^. Обращаясь к матрице ковариаций (2.28), на |
|||||
Но М |
Ф/0 |
||||||
ходим, что
р |
р |
(2.32) |
4 4 ] = £ |
i v v !'?o=p'i'?o- |
|
*=1 у=1 |
|
|
На основании того, что
'2 '
Мш м [ ^ ] + м [ 4 ] ,
имеем
Так как ве тчина S,2 (см. формулу (2.30)) свободна от пара
метров pn,...,p rt и Wf0, она может служить для оценивания ^ 0>
s 2
т.е. — — является несмещенной оценкой для Т,.20 = ст20. Средние
N - р
значения ¥ (20, S',2 и Sf2 равны, соответственно, N4?j0, (N - pYV^
|
|
|
|
|
2 |
и p'i'jo, числа M , N - p u p |
есть степени свободы 'F/o, S’,2 и Sf2. |
||||
Преобразуя выражение (2.31), получаем |
|||||
4 |
= |
|
= |
к» |
|
|
j |
k |
|
j |
к |
Л |
|
|
|
|
|
Величина Sfx может быть вычислена как |
|
||||
|
N |
|
|
N |
|
S}\ |
(*/». - |
*ln f |
= Z *«* " |
Z ft***». |
|
|
/1=1 |
|
|
/1=1 V |
*=1 |
Рассмотрим распределение оценок в предположении, что ве |
|||||
личины хтпри п = 1, |
N независимы и нормальны с плотностью |
||||
распределения вероятностей |
|
|
|||
^ (P A — .P/PV ^ O)-
В этом случае матрица |
неособая и Р(Л являются линейными |
несмещенными оценками (по методу максимального правдоподобия) множественных коэффициентов регрессии Р(А и имеют /7-мерное нормальное распределение вероятностей [23]
Величины ^ и (р,*..... pi/t) независимы, |
и Sf2(Ч'?0)"' |
|||
независимы и имеют ^-распределения с N - p |
и р степенями сво |
|||
боды. |
|
|
|
|
Поскольку величины |
и |
независимы, |
имеет нормаль |
|
ное распределение вероятностей с плотностью |
Ж(р|А, Aw, |
а |
||
величина S J W ) — ^-распределение с N - p степенями свобо ды, то
(Р/А " Р/А ) ( ^ “ P)U2 (Л-кк^П )
имеет /-распределение Стьюдента с N - p степенями свободы [21]. 1 ООу-процентный доверительный интервал для Р(Л
О-И)
здесь tN_P'у удовлетворяет условию
‘ N-P.1
JwN.pm = у.
-‘N-p.y
Особый интерес при исследовании регрессионных систем представляет выборочное распределение величины х(, соответст вующей некоторым фиксированным значениям
хк = хк0> •••> хр = хр0•
Тогда на основании формулы (2.29)
2,0 |
*,0 |
*10 |
]^ Р / 4 *4 0 |
^ 1 Р/'/г^АО |
2 J (P<4 |
Р л ) * 4 0 ’ |
|
|
|
4=1 |
4=1 |
4=1 |
|
Из выражения (2.31)
M[zf0] = M XР РXxk0xj0( Р/4 - Р/4 ) (Ру Ру )
.*=1у=1
Используя (2.32), получаем
рр _
SziO = ^ l^,h-k/'¥%xkoxj0-
4=17=1
Если случайные величины xin, n = \,...,N , независимы и нормальны, то величина zl0 подчинена распределению вероятностей
Н е ftrtoX £ V ^n
|
|
U=1 |
у=1 |
|
) |
|
||
величина |
<S,,2(VF?0) |
' |
подчинена х2-распределению с N - р |
степе» |
||||
нями свободы и некоррелирована с |
Prt, а следовательно, и с zi0. |
|||||||
Поэтому величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
р |
|
\ |
( |
/ > / > _ |
'\ 1/2 |
(2.34) |
|
*/0 - ХР»4*40 |
( N - p ) V2 |
^^L,h-lgxkOxjO |
||||||
|
4=1 |
|
J |
|
к |
у |
|
|
подчинена tN_p -распределению вероятностей |
с N - p степенями |
|||||||
свободы. Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
р |
|
\ 1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi0 - Е Р Л С |
± |
S?\S |
X ^-kiXk0XJ0 |
(N - |
р) 1/2 ( N-р.У |
|||
|
4=1 |
V 4=17=1 |
|
|
|
|
||
Иногда при синтезе систем принятия решения исследователя может интересовать совместная вероятность попадания вектора в заданные интервалы, которую можно определить, используя F-pac- пределение.
( N - p )S l |
F(p,N-p). |
|
Величина -------1~ |
имеет ^-распределение |
|
Psil |
|
|
Подставляя в числитель Sf2 из уравнения (2.31), получаем |
||
|
F (p ,N -p) |
|
{ P*i\ k=\j=\ |
- р*)< |
j d F P.N -p> |
|
О |
|
ИЛИ
^[(Р л ......Р<>)еЛ г] = Г*
где Ry — случайный эллипсоид в пространстве Рп, .... $jp с цен тром в точке Р,1 ,..., Рip, который задается уравнением
1 Е М Р * -Ы (0 !,-Р !|) = |
PSj\Fp,N-p,1 |
|
N - p |
||
к = 1у=1 |
Рассмотрим случай регрессионной связи между двумя случай ными величинами у и х. Исследуем линейную регрессионную за висимость вида
У =Р*.
где х и у представлены ограниченной выборкой, состоящей из N пар измеренных значений х„ и у„.
Матрица оценок начальных корреляционных моментов будет иметь вид
|
Ки |
R |
|
K2i |
К |
где |
|
|
N |
N |
N |
|
Кп = 1 ,4 -. « u = « 2 i = £ v . - |
|
/1=1 |
/1=1 |
/1=1 |
Тогда на основании равенства (2.26) оценку коэффициента регрессии можно представить следующим образом:
N |
\ f N |
V 1 |
^12 |
|
(2.35) |
р |
|
*22 |
/1=1 |
У 4/1=1 J |
Выборочное стандартное отклонение уп от прогноза \5хп оп ределим как
|
N |
N |
1 > ПЛ |
(2.36) |
s \ = £ ( л |
-Уп)2 = £ ( л |
- р*п)2 = Z Уп |
— |
|
п=1 |
п=\ |
п=1 |
^ х2 |
|
л=I
На основании формулы (2.33) выборочное распределение оценки
Рсвязано с /-распределением Стьюдента соотношением [23]
\• 1/2
(р - р) |
N |
~ /N- !• |
(2.37) |
(л -1)£i »2
Я=1 J
Тогда ЮОу-процентный доверительный интервал для Р на ос новании выражений (2.33) и (2.37)
Р * (N -\, у |
N |
(2.38) |
|
( w - i ) 2 > ; |
|
|
Я=1 |
|
Выборочное распределение |
величины у, |
соответствующее |
фиксированной величине х0, на основании формулы (2.34) связа но с /-распределением Стьюдента соотношением
N |
V |
'2 |
|
(Р -Р ^ о) ( ^ - 1 ) ,/2( « ) " 1/2 I * |
,2 |
~ tN- |
(2.39) |
<п=1 |
У |
|
|
Тогда ЮОу-процентный доверительный интервал для у |
будет |
||
|
N |
“Н |
|
Р*о ± / W - l. Y \lt f X0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Л=1
Сравним полученные зависимости для начальной регрессии с ре зультатами для центральной регрессии [23]. Уравнение централь ной регрессии имеет вид
У= Ро + Р*-
О
Оценки величин Р0 и Р, минимизирующие сумму квадратов от клонений измеренных величин у от предсказанных, равны
ft> = ц , - Р ц*. Р = ( Z *»Уп -
<п=1
1 N |
_ |
1 N |
V iN
|( ! > « - я # / \я=1
r^e ^ = T 7 Z ^ ; |
* V = 7 7 l> » - |
п=1 |
yv П=1 |
Уравнение регрессии запишем в виде
о_
y = ^ + p (* - m ) .
Если величина у при заданном х подчиняется нормальному рас
пределению вероятностей, то Ро и р представляют собой несме-
"о щенные оценки коэффициентов р0 и Р соответственно. Выбо
рочное распределение этих оценок связано с /-распределением Стьюдента следующим образом:
- <Л |
1 |
- 2 |
N |
|
- 1-1 I -1/2 |
|
~ Sy/xlN-2’ |
||||
Ро - Р |
— + ц: |
|
|
||
/ |
N |
™ |
л=1 |
|
J |
/ |
|
N |
|
|
1/2 |
0 |
0 |
N |
|
|
|
|
|
~ Зу1х1Ы-2’ |
|||
Р"Р |
-Л=1 |
|
|||
|
|
|
|
||
V |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
■1/2 |
(у-у) |
1 , |
(*0~ИЛ |
- ^ylxlN-2> |
||
|
N |
& , |
- V \2 |
||
л=1
где Sylx — выборочное стандартное отклонение измеренных зна
|
-1I/2 |
чений у/ от прогноза уу, Sylx ~ l o w , ) 2 |
(Л^-2)- 1/2 |
_п=1 |
|
Как видно из приведенных выше зависимостей, оценки коэф фициентов регрессии и остаточной суммы квадратов различны для центральной и начальной регрессий.
2.4. Регрессионные статистические характеристики сигналов и помех
в автономных информационных системах
Регрессионные статистические характеристики сигналов и по мех в АИС ближней локации могут быть получены на основании теоретических исследований обоснованных математических моде лей и последующей проверки адекватности этих моделей путем экспериментальных исследований реальных сигналов и помех.
В некоторых случаях матрицу корреляционных моментов можно получить только в результате эксперимента. Точно опре делить моменты случайных величин по выборочным данным не возможно. По выборке ограниченного объема можно найти лишь оценки интересующих нас параметров. Здесь рассматривается вопрос о точности оценок параметров для непрерывных реализа ций нецентрированных процессов на интервале наблюдения Тг.
В общем случае этот интервал меньше или равен интервалу на блюдения.
Специфика работы систем ближней локации требует, чтобы статистические характеристики были получены по каждой выбо рочной реализации. Действительно, на каждой траектории на вход системы ближней локации поступает одна реализация х(/), кото рую удобно характеризовать математической моделью вида
*(0 = /['>«.&(')]>
где/ — детерминированная функция времени /, векторной случай ной величины и и векторной случайной реализации Э(/), зависи мых от параметров условий встречи и условий применения.
В некоторых случаях при моделировании сигналов можно рассматривать модель, в которой сигнал является векторной слу чайной величиной хх, .... хт (когда т » 1). Случайные величины
хх,..., хт также зависят от параметров условий встречи и условий
применения.
Для анализа работы систем ближней локации на каждой тра ектории необходимо знание статистических характеристик от дельной реализации, а не характеристик, усредненных по всему множеству сигналов.
Пусть выборочная реализация сигнала в доплеровской системе ближней локации представляет собой узкополосный стационарный в широком смысле случайный процесс и имеет нормированную автокорреляционную функцию (АКФ) (рис. 2.2, а)
Ъ (т) = ехр(-а,т)cosсод,т.
На другой траектории при отличных от первых условиях встречи и относительной скорости сигнал будет иметь АКФ (рис. 2.2, б)
T j (т) = eXp(-<Xyt)COS(Dfl;T,
отличающуюся от предыдущей параметрами а и а>д. Из рис. 2.2 видно, что отсчеты доплеровского сигнала каждой реализации,
я
отстоящие на т = — , для узкополосного процесса имеют нормиСОд
рованный коэффициент корреляции, близкий к -1.
Рис. 2.2. Нормированные автокорреляционные функции уз кополосных (а, б) и широкополосного (в) процессов
Нормированная АКФ гЕ (х) ансамбля реализаций, отли
чающихся значением частоты Доплера от <х»дт!Пдо Шдтах, имеет вид, показанный на рис. 2.2, в.
Аналогичную АКФ имеет шум с полосой (0дтах - содmin • В нормированной АКФ гг (х) ансамбля реализации отсутствует кор-
релированность с коэффициентом r s - 1 отсчетов сигнала, от стоящих друг от друга на половину среднего периода колебаний. Из этого следует, что при статистической обработке сигналов по ансамблю теряется информация об узкополосности каждой выбо рочной реализации, т.е. целесообразно получать статистические характеристики каждой выборочной реализации.
В общем случае сигналы и помехи на входе систем ближней локации — нестационарные случайные процессы. Статистические характеристики нестационарных процессов должны получаться лишь усреднением по ансамблю. Разрешить столь противоречивые требования можно, если выбрать статистические характеристики, которые отражают информативные признаки объектов на каждой выборочной реализации, усреднением на интервале времени Т. Такими статистическими характеристиками применительно к сис темам ближней локации являются взаимо- и авторегрессионные функции, оценки которых могут быть получены через оценки на чальных моментов.
Так, оценки взаимокорреляционной функции и среднего зна чения квадрата можно записать в виде
(2.40)
Здесь Т — фиксированный интервал интегрирования, так как предполагается, что процессы заданы на интервале (Г + х).
На основании выражений (2.22) и (2.35) оценка взаиморегрессионной функции случайных процессов может быть сле дующей: