книги / Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации

! W « b . t ) - % r

Оценки автокорреляционной и авторегрессионной функций яв­ ляются частным случаем оценок взаимокорреляционной и взаиморегрессионной функций, когда обе реализации x(t) иу(0 совпадают:

_ ] <0+^

* Л 'о .т) = ^ J x(t)x(t + x)dt;

*0

P»('o.t) = % £

* X

В некоторых случаях процессы нестационарны за счет изме­ нения во времени математических ожиданий ц, (0 и и

среднеквадратических значений <Jx(t) и с у (/), причем матема­

тические ожидания можно рассчитать. Тогда на основании выра­ жений (2.22) и (2.35 ) взаиморегрессионная функция может быть определена как

где

«5 J М О - М О ] 2* ;

1о

c v (*o>*) = j ] h

В некоторых случаях величина о2 (t) также может быть рас­ считана. В эксперименте определяют нормированную взаимокорреляционную функцию Гц, (х), причем может оказаться, что норми­ рованный центрированный случайный процесс стационарен, тогда

63

x ( t 2) x ( t ,)

Рис. 2.3. Формирование выборки объемом N + 1 из реализации длительностью Тг

При обработке реализации сигналов на ЭВМ исходный непре­ рывный сигнал следует представить в виде дискретного временно­ го ряда, для чего можно воспользоваться дискретизацией выбо­ рочных реализаций по теореме Котельникова. При этом количест­ во отсчетов на интервале Тг будет N+ где N = 2/ в7\ а интервал

дискретизации At = (2 /в)-1, т.е. в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал At = h (рис. 2.3), проводится выборка из отдельной реализации x(t) случайного процесса с непрерывным временем. Выбор (q + 1 )-го отсчета в качестве первого, a N-ro от­ счета в качестве последнего определяется спецификой систем ближней локации.

Пусть {*(/„)}, п = 1, 2,..., N, — численные значения реали­ зации в точках tn = /0 + nh. Точка to, соответствующая т-му отсче­ ту, задается при вычислении скользящих оценок и, если п прини­ мает значения от 1 до N, а не от 0 до (TV - 1), в дальнейшие форму­ лы не входит.

Оценки начальных моментов взаимо- и авторегрессионных функций могут быть получены по следующим формулам:

где г — номер шага; к — максимальное число шагов; $ytx {qh, rh)

и (3, {qh, rh) — несмещенные оценки взаимо- и авторегрессион­

ных функций.

Для оценки регрессионных характеристик, осредненных на ин­ тервале принятия решения Т при Tr = Т, tN необходимо выбрать равным моменту срабатывания (tN = tcp), определяемому тре­

бованиями эффективности системы ближней локации.

Для получения доверительных интервалов оценок по форму­ лам (2.41) и (2.42) нельзя пользоваться зависимостями (2.38) и (2.39), так как при дискретизации по теореме Котельникова слу­ чайного процесса (за исключением полосового белого шума) от­ счеты уп или хп оказываются в общем случае коррелированными, кроме того, очень часто интервал дискретизации выбирается меньше требуемого.

Однако если экспериментально удается определить время корреляции процесса, то объем выборки некоррелированных от­ счетов можно считать приблизительно равным

1.

тогда на основании выражений (2.36), (2.37) и (2.39) для нормаль­ ных случайных процессов

Рис. 2.4. Отрезок реализации узкополосного случайного процесса

частота энергетического спектра процесса; ср(/) — случайная со­ ставляющая полной фазы процесса.

Рассмотрим последовательные моменты времени tx,t2,...,tk

прохождения через нуль случайной реализации x(t) (рис. 2.4). Ко­ личество нулей узкополосного случайного процесса {*(/)} совпа­ дает с количеством нулей cos[co0/-cp(/)], поэтому, полагая

h~h = T i > (к+\ ~h ~ хк>

получаем

“ [ф(^*+1) ~ф(г*)] =

откуда

хк = [я + ф(г*+1) - ф(г*)](»о" 1.

о

Запишем центрированные случайные величины т :

где цт1 и цтА — математические ожидания случайных величин. Для узкополосного стационарного случайного процесса

(2-45)

со0

поэтому

о

X* = [ф(/А+1) - ф )]о>0 •

о

Ковариационный момент центрированных случайных величин ц

о

и Т2 можно записать как

С(х,, х2) = мм\х. х°21 = -^М М {[ср(г, + х,) - ф(/,)] [ф(г, + х, + х2) -

L J и 0

“ ф(*| + х,)]} = Д -АЛ/[ф(/, + х, )ф(*, + х, + х2) - ф(/, + х, )ф(/, + х,) -

-Ф (Г,) ф(Г| + х, + х2 ) + ф(/!) ф(/, + X,)] = - ^ М[В (/„ X,) +

где Вф (г, х) — корреляционная функция случайной фазы процес­ са {*(*)}. (В (2.46) усреднение осуществляется по случайной фазе

и по случайному интервалу х между нулями стацинарного случайного процесса.)

вычислению суммы слагаемых вида А /[£ф (х)]. Для непрерывных случайных величин можно записать

где W(z) — плотность распределения вероятностей случайной

величины х.

Предположим, что корреляционная функция фазы процесса

TZ

{х(г)} в окрестности рт = — непрерывна и дифференцируема,

со0

тогда ее можно разложить в ряд

о*

5ф(*) = 5ф(ш )+ К М ° + в; ( щ ) у +

„„ Г2(и + ^ |

^м 4 1 1 тп\{п± 7+ т)\^ ' Г г- ? 'ь М +7 ^ (’)+П ^ (,) + -

(2.56)

где Г^л + - ^ — у-функция; rQ(х) — огибающая нормированного

коэффициента корреляции случайного процесса (х(/)}; г02(т) =

= гс (т) + ''/( * ) ■ Причем

оо оо

г,(т) = J.S ,t (©)sin(©-©0)'K/© JS., (©)</©

о Lo

где Sx (со) — энергетический спектр случайного процесса {*(/)}.

При прямоугольном энергетическом спектре с шириной поло­ сы А©

сительной ширины полосы энергетического спектра и не зависят от средней частоты со0.

В доплеровских системах ближней локации относительная ширина полосы доплеровского сигнала, при прочих равных усло­ виях не зависит от относительной скорости, т.е. от средней часто­ ты со0, а определяется пространственно-геометрическими свойст­

вами объектов и параметрами приемопередающего тракта [16]. При перемещении объекта в диаграмме направленности происхо­ дит изменение средней частоты в спектре доплеровского сигнала, при этом для каждого значения средней частоты относительная ширина полосы постоянна: а = const.

Предположим, что изменение доплеровской частоты на интер­ вале между нулями т мало по сравнению с со0. Обозначим <о01 среднюю частоту на интервале между нулями т, и со02 — сред­ нюю частоту на интервале т2. В [16] показано, что для такого

процесса при усреднении по множеству реализаций коэффициент начальной регрессии будет определяться относительной шириной полосы стационарного процесса pti /Т( (а) и зависеть от скорости

изменения средней частоты на интервалах т, и т2:

! W ^ i W a)-

ю02

Результаты расчета КНР интервалов между нулями стацио­ нарных случайных процессов с прямоугольными и гауссовыми спектрами в зависимости от относительной ширины полосы а (см. (2.54)) и корреляционной функции фазы Яф (т) (см. (2.56)) ста­

ционарного случайного процесса с гауссовым спектром (рис. 2.5, 2.6) показывают следующее:

КНР PT,/tt является убывающей функцией относительной

ширины полосы спектра узкополосного случайного процесса, что подтверждается экспериментально;

удовлетворительное совпадение расчетных и эксперименталь­ ных данных до значений а = 0,7... 0,9;

влияние вида энергетического спектра на значение КНР не­ значительно. Это свойство анализируемого параметра подтвер-