книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек
..pdf(27.15)), получим следующую систему уравнений:
AAF а — liia+JWft [и и1; си
ЛД“ — ■ й г ( Л - ^ г ) [?- “1 - ^ г ( Л — & ■ ) « <2716>
Аналогично можно получить соответствующие уравнения для по следующих приближений.
ГЛАВА 7
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
Вэтой главе излагаются некоторые задачи собственных колебаний
иустойчивости оболочек и пластин.
$ 28. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
1. Цилиндрическая оболочка. Рассмотрим задачу определения частот собственных колебаний ортотропной цилиндрической оболочки постоянной толщины. Цель этой задачи — показать возможность при менения к полученным уравнениям метода разложений искомых функций в ряды по собственным функциям [56].
Пусть оболочка представляет собой цилиндрическую панель, имею щую вдоль образующей длину а и b по дуге поперечного круга. Пред
положим, как и в п. 2 § 11, что по криволинейному краю она шарнирно закреплена, т. е. при хх = 0, х2 = а
|
aff = 0; |
|
1#' = О, |
|
= 0, |
|
Jfe^rO, 2л + |
1]. |
|
(28.1) |
|||
Условия на прямолинейном крае уточним далее. |
|
|
|
|
|||||||||
Примем систему |
уравнений движения |
оболочки |
в |
виде |
|
||||||||
|
д Ц к) |
д2и\к) |
|
d2u f |
+ |
м\К= |
р |
д2и\к) |
|
||||
Сп ~ Ц ~ + с“ |
|
+ (Cl* + с,,) 1 |
® |
dt* |
* |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
. |
д2и\к) |
|
d2d k} |
дЦ*> |
|
. м |
|
|
d2u f |
лч |
|||
(Cia + |
CM) - g jrg j- |
+ |
см |
|
}- с2я |
^ |
|
+ |
M 2 |
= |
p |
5 |
(2 8 -2) |
|
|
|
|
|
|
дх^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
д2и$] |
* * + М Р - , " * |
|
|
|
|
|||||||
|
иБ5 dxf |
+ с, |
|
|
|
|
|||||||
|
44' |
dd |
|
|
|
|
а/‘- |
|
|
|
|
||
где М 1® (i = 1, 2, 3) — дифференциальные выражения (11.4), (11.7).
Очевидно, уравнения (28.2) получены из (11.3) путем замены в них на грузочных членов инерционными. Если же в (28.2) учесть силовые
нагрузки F\k), то получим уравнения вынужденных колебаний оболоч
ки. Однако они рассматриваться не будут.
Для решения системы уравнений (28.2) воспользуемся известным методом разложения искомых функций в ряды по собственным функ циям. Положим
« Р - £ Y v X ^ . x ^ v a , |
(28.3) |
I m |
SHI |
где (й[т — частота колебаний, и введем безразмерные величины
х = |
/, » У |
_ |
*2 |
Ло)7т |
(28.4) |
|
и » |
,/------ * |
|||
|
п |
|
п |
У <w р |
|
Подставляя значения (28.3) в уравнения (28.2) и принимая во вни
мание обозначения |
(28.4), получаем относительно функций |
и$т си |
|
стему уравнений, |
которую запишем таким: образом: |
|
|
дхдудЮ |
+ с дЮдуа |
дх. |
|
|
|
|
(28.5) |
где со2 = o»L; |
|
|
|
г/ = |
(tff \ *Л0), и ? , |
U[N\ и 1? \ и?*у, |
(28.6) |
причем U\k) = |
(/' = 1, 2, 3); |
штрих обозначает транспонирован |
|
ную матрицу. Отметим, что Л, В, С и аъ Ьг > — квадратные матрицы
размера |
6 (в + |
1) х |
6 (я + |
1), |
причем А, |
В, |
С — блочные |
матрицы: |
|||||
|
|
|
|
А |
0 |
0 • |
|
|
А |
0 |
0 ' |
|
|
|
|
А = ’ 0 |
Л3 |
0 |
|
|
С = |
0 |
С3 0 |
|
|||
в которых |
|
|
_0 |
0 |
А . |
|
|
.0 |
0 |
^3- |
|
||
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
С11 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
с12+ с«я |
о |
|||
|
|
сЯв |
|
|
|
|
|
‘-ее |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А |
- |
О |
|
1 |
о |
|
|
|
+ свя |
О |
о |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
с«в |
|
||||
|
|
о |
|
о |
СЯ5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ссе |
|
|
|
|
О |
|
о |
о |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ея = |
о |
с28 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сае |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
О |
Си |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f(W
Имея формулы (II.4) и (11.7), нетрудно записать матрицы blt cit
однако они имеют более сложную структуру.
Уравнение (28.5) с соответствующими условиями на границе пред ставляют собой задачу определения собственных чисел и собственных
функций. |
на границе хг = 0, |
хх = |
а выполнены условия (28.1). Эти |
||||
Пусть |
|||||||
условия |
будут удовлетворены, |
если функции |
(i = 1, 2, 3; k £ |
||||
£ [0, //]) |
представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
и Um = |
У и т (У) COS В Д |
U & , = У $ т (у) SH1 ЩХ\ |
(28.7) |
|||
|
|
|
|
|
Inh |
|
|
|
utim = |
У ш (У) sin а:х, |
а; « |
|
|
||
|
а |
' |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Внося значения (28.7) в (28.5), получаем такую систему уравнений!,
+ |
+ -V im + |
<0гК;,„ = °, |
(28.8) |
где А\%Въ Сх— квадратные матрицы, a Ytm— вектор-столбец |
|||
Уы = Л , |
Y&,, y ft,.......... yffl,, |
rtta, Kffi)'. |
(28.9) |
Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(28.8), очевидно, зависит от вида граничных |
условий, заданных |
на |
||||||
кромках у = 0, у = |
ЫН. Пусть на них выполняются условия |
|
||||||
cr$ = |
0, |
0, |
w f = |
О, |
ЛЛ]. |
(28.10) |
||
Согласно (28.10) функции |
У\%г примем |
в виде |
|
|
|
|||
|
|
|
|
S 4/m C 0samy; |
|
|
||
|
|
|
|
m |
(28.11) |
|||
YfL = £ |
Аъ1тsin amy\ |
_ _ |
mnh |
|||||
|
|
|||||||
«m — |
t * |
|
|
|||||
|
m |
|
|
|
|
А ш |
|
|
Если внести (28.11) в |
(28.8), то |
относительно |
постоянных |
по |
||||
лучим однородную систему алгебраических уравнений. Для нетри
виального решения этой |
системы |
необходимо, |
чтобы определитель |
|||
ее был равен нулю. |
|
|
|
|
щ+ы (i = 1, |
|
Обозначая коэффициенты при постоянных |
через |
|||||
2, 3; k = 0, 1........2п -f- 1), |
получаем систему уравнений |
|
|
|||
det | CLrs |
(Dim| —• 0, |
|
|
(28.12) |
||
из которой определяем собственные числа <в/от. При этом |
необходимо |
|||||
отметить, что постоянные ars (г, s = |
1,2, |
.... 6 (л -Ь 1)), кроме |
упругих |
|||
постоянных и геометрических размеров |
оболочки, зависят |
от чисел |
||||
/ и т, обозначающих количество полуволн в продольном и поперечном
направлениях.
Замечание 28.1. Ограничиваясь рассмотрением лишь поперечных
колебаний оболочки, пренебрегая инерционными членами вращения, придем к уравнению вида (28.12), порядок которого относительно
a>im в три раза меньше исходного уравнения. |
|
|
|
|||||||
В качестве |
примера |
рассмотрим |
случай |
приближения |
порядка |
|||||
N = 1 |
(п — 0). Система |
уравнений |
(28.12) |
в этом случае |
имеет вид |
|||||
О-ц — |
(Dim |
а 12 |
|
а 13 |
|
0 |
|
0 |
а и |
|
а 21 |
а 22 |
(D im |
|
^23 |
|
0 |
|
# 25 |
#26 |
|
а 81 |
|
|
#33 — |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
°3 2 |
(Dim |
#34 |
|
#35 |
#30 |
|
|||
0 |
|
0 |
|
#43 |
# 4 4 — |
|
#45 |
#40 |
|
|
0 |
|
а б» |
|
а ьз |
а ь4 |
#вв |
(D im |
#50 |
||
а п |
|
а 63 |
|
Лез |
|
а п |
|
а ев |
Две |
(D im |
где
“u = - ~ - a l + о£; a |
|
iia ± 3 l а/аяп |
Ci*h |
12 |
aia ------- ~cUp~ at* |
||
С«в |
Canu0fl |
c«eK |
° 21 = а д |
< h .- a ? |
д — |
3C«'1 . |
|
^ T ' |
|
|
|
|
Зс< |
|
|
|
а1й |
— |
|
(3 |
|
|
|
|
4». |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
- £ - « i + |
- f £ ; |
eM = |
_ J e n ± M i am; |
||
#26 |
— |
3c<2 3 |
|
am; |
aQ1 = |
a |
|
|
ceo |
|
31 |
*13» ^32 — 023? |
|
#33 “ |
~ |
a.; + |
S !-a m‘ |
+ |
^22^ |
#84 = |
|
3CcS |
|
^ 35 = |
ЗСяЯ |
|||||||||
|
|
|
|
■'0(1 |
|
|
cMR* ’ |
|
CQQ |
|
~ C W |
СС/И* |
||||||||
|
_ |
3c2f/i |
e |
#4 3 |
— З л 34; |
#44 |
— |
-11 |
|
Щ “f - &m + |
3c,65 . |
(28.14) |
||||||||
Дао |
^ |
/э |
» |
|
; |
|||||||||||||||
|
|
CrtO^? |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
^60 |
|
|
|
|
c66 |
|
||
|
#45 = |
a12» |
#40 — |
|
13» |
#62 — Здоя»ь26» |
#пя53 — 3a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*85» |
|
|
#64 |
#45*» |
#65 — a / + |
*7— &m+ |
|
3c44_ |
|
, |
C44fl2 . |
|
— л |
||||||||||
|
CQQ |
|
Г |
„ |
D2 ’ |
a60 — u |
23’ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
CM |
|
' |
|
|
' |
CflB/?2 |
|
|
|
|||
|
3aGi = |
a10; |
3#e2 = |
#20* |
3aG = |
a36; |
|
ac4 = |
—:a46; |
|
||||||||||
|
|
|
|
st |
_ |
|
сы> |
|
* I |
u44 |
'«m + |
|
ЗС33 |
C22^2 |
|
|||||
|
#65 |
— # 56» |
aee — |
^ |
|
+ |
|
|
|
Ce« 4" |
cmR2 |
|
||||||||
Если же пренебречь инерцией вращения, то в уравнении (28.13) под черкнутые параметры необходимо положить равными нулю.
2. Пластина. Частоты собственных колебаний пластин опреде ляются из уравнений (28.12). если в коэффициентах afi положить равными нулю члены, содержащие множитель hJR. Однако в этом слу
чае (28.12) распадается на два уравнения, описывающие соответственно частоты симметричных и кососимметричных колебаний пластины. Это легко увидеть на примере уравнения (28.13). В самом деле, частоты симметричных (относительно срединной плоскости) колебаний опре
деляются из уравнения |
|
|
|
|
|
Яц — <й?/п |
|
Я12 |
Сц |
|
|
#21 |
#22 |
|
#20 |
0, |
(28.15) |
# 6 1 |
|
# 6 2 |
# в б |
|
|
а кососимметричных — из такого уравнения |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
#88 |
|
#34 |
#35 |
|
|
#43 |
#44 |
®1т |
#46 |
О, |
(28. 16) |
#53 |
|
#64 |
#55 |
|
|
в которых |
|
|
|
|
|
|
Я ц = ■ 11 ' 4 ” ®Л1» |
п |
_ |
с<2 4" С6в |
„ a . |
О м * |
|
aU — |
^ |
aiam> |
с» |
|||
сев |
|
|
|
|
|
|
.Аналогично получаем уравнения частот колебаний пластин для последующих приближений. На рис. 22, 23 представлены кривые изменения частоты поперечных колебаний пластины в зависимости от изменения поперечного модуля сдвига и относительной толщины пластины.
§ 29. СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
ИПЛАСТИН
1.Линеаризированные уравнения оболочек. Используем получен ные в § 5 нелинейные уравнения к исследованию устойчивости анизо тропных оболочек и пластин. Для этого проведем линеаризацию дан ных уравнений. Обычно в качестве начального напряженного состоя ния используют безмоментное или же моментное напряженное состоя ние оболочек [7]. Поэтому сохраним в уравнениях (5.21) нелинейные члены, содержащие произведения моментов компонент тензора напря жений нулевого и первого порядков и моментов компонент тензора деформаций произвольных порядков. Согласно сказанному будем счи тать, что
= o i? + 4- £ [ о й е й (И) + З о й е Й Г “ («)], |
(2 9 .0 |
т=1 |
|
где
Представим, следуя ПО], компоненты напряженно^деформирован ного состояния оболочки в виде суммы начального и возмущенного состояний. Обозначим через а</ и щ составляющие начального поля напряжений и перемещений, а через хц и и( — возмущенного, т. е.
= оц + |
и>= «i + vf. |
(29.3) |
Компоненты внешних усилий представим в виде (10, 13]:
Pi = Pi 4- ДЛ 4- Л;
(29.4)
Ф ( — Ф,- Д Ф ( - f Ф/1
где через ДР( и ДФ, обозначены изменения начальных поверхностной
иобъемной нагрузок, вызванных возмущением. Переходя к моментам напряжений и перемещений
„Ф) |
= |
оц |
, (ft). |
(ft) |
~ к) , (ft) |
|
4- хц, |
щ = щ + Vi |
|||
и внося их значения |
в равенства (29.1), |
имеем |
|||
o ff = o ff + ТЙ*.
где
/п0 г\
(zy.o)
(29.6)
|
W |
|
+ 4- |
2 |
|
(«) + З М Г (о) + |
||||
|
|
|
|
|
|
/7 1 = 1 |
|
|
|
|
+ |
тЙ 1«Й) (и) + |
С |
(о)] + |
тЙ (eSf1" (и) + « 2 ?” M l). |
||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
I |
ад |
|
|
|
e f t W |
- |
•а |
^ |
4'- |
АаА$ |
а ор |
|
|
||
Щ |
|
|
|
|||||||
р(*> |
|
___ 1 |
|
|
1 |
дА, |
|
р§5 /п'1 = |
-L „*«. |
|
|
|
|
|
0Аа ..(*). |
||||||
( |
) |
~ |
да |
а |а |
|
дад р |
dgp |
’ |
еза( J |
л а ’ |
(ft) |
ч |
|
1 |
|
+ М з ’; |
|
|
./(*) |
|
|
sLi(») = -д*« |
*&а |
B8 ( I») = -7-OJ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
(а, р = 1, 2; а=?^Р).
(29. Я
(29.8)
Если принять допущения 113], что возмущения малы и произведе нием (v) можно пренебречь, линеаризируя таким образом со
отношения (29.7), а начальные перемещения настолько малы, что про изведения т(т&т/ (и) можно опустить, то равенства (29.7) примут вид
ii? - |
+ 4■ S |
[5М , (О) + 5МГ11(0)1. |
(29.9) |
|
|
m=l |
|
|
|
Подставляя выражения (29.5), |
(29.6) в уравнения (5.21), получаем |
|||
следующую систему |
уравнений: |
|
|
|
dAjsj/f |
|
дАх “ (ft) |
дДо “ |
|
+ “ Ж + Ala Т‘2 |
а&х |
|
— А ХА2(fcaTi(3 |
+ |
-J- тз1(А>) + |
A^AJifP ~ ф А хА^}? |
(1 |
2); |
||||||
|
|
|
|
л |
л |
И |
|
+ * , » - Ч |
^ |
А)) + |
|
|
|
+ |
A iA J iff = |
рАЛЛ®?» |
k £ [О, ЛГ], |
|
(29.10) |
||||||
где |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДФ,)Р» (0 4 з + - Н - й - |
( - |
1)‘ *57 + |
|||||||
|
/?> - J (® , + |
|||||||||||
|
1—А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ -j- |
t , |
faLefc (») - |
( - |
■I)*:Й а Г( (»)]}. |
|
(29.11) |
|||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* ( » ) ■ = £ ( ' + |
- г ) <& |
* ( » ) |
= |
Ё ( - 1 ) ' ( н - 4 - ) е а . |
(29.12) |
||||||
|
ро 4 |
|
' |
|
|
|
|
/=о |
4 |
|
' |
|
Напомним, что в (29.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
И Н |
|
|
|
|
(ft—2/—1) |
|
|
(29.13) |
|
|
тзГ = |
2 |
(26— 4/ — 1)т/з |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Граничные условия |
(5.22) преобразуются к виду |
|
|
|
||||||||
|
|
|
Й Ч |
+ Й Ч |
= |
Р|и + |
ДР!И. |
|
|
(29.14) |
||
После линеаризации соотношения упругости (5.25) запишутся таким образом:
* !? = |
£ h c ,iJ S (С), |
(29.15) |
|
где |
|
|
|
ей (v) = 4 - |
[ej? (о) + |
(»)]. |
(29.16) |
Упростим уравнения (29.10). Сохраним в равенствах ^29.9) лишь
г(0)
тангенциальные моменты напряжении crip совместно с моментами нор мальных перемещений v3k). Кроме того, опустим члены, содержащие нормальные кривизны k a (a = 1, 2). Тогда уравнения нейтрального
равновесия принимают вид
, |
^ |
i Tl2 |
, |
дЛ{ (ft) |
дА2 _(ft) |
~ а ь - + |
“ |
1 Г |
+ |
" ^ ‘ 1'| 2 _ 'в1Г Т а - |
|
- > 4 A (V 5 + - f T^ ) = °:
яд |
М 1Т22 . дА3 (A) dAi rt) |
о л 2Т 12 |
|
аь |
+' "Жdtt~ +• “а1ГТ12% •“ — ~а|атЬ ~ |
- Л Л ( А а $ Н - т ^ * ’) = 0;
dli |
+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
d |
^2 |
|
|
+ |
d v p |
+ |
56, |
л, |
ж |
5|2 |
||||
1 |
d |
Ф4 |
|
<4* |
+ |
= |
0 |
+ 2 |
56a |
|
56i |
||||
|
|
|
|||||
|
|
(k = |
0, |
1, . . . |
, |
W). |
|
2. Устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки. Рассмо> трим в качестве, примера задачу статической устойчивости ортотроп ной цилиндрической оболочки. Допустим, что оболочка находится
под действием сжимающих усилий о«’ = —2р (р = const), распре
деленных по торцам, на которых выполняются условия шарнирного опирания. В этом случае система уравнений нейтрального равновесия оболочки (29.17) при условии осесимметричной потери устойчивости сводится (при N = 1) к такой:
|
А® |
п |
|
|
— т(0) — я |
dM°> |
|
|
|
||||
|
___!1_ = fi |
ds |
ds* |
~ |
0; |
|
|
||||||
|
ds |
U| |
|
ТФФ |
р |
|
|
(29.18) |
|||||
|
|
|
* 8 |
_ |
^ 1 т(«_ L |
|
T« |
р ■„ |
«М* |
||||
ds |
= |
0; |
|
0. |
|||||||||
ds |
|
Т<рф |
^ |
Тзз |
|
ds2 |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь |
# — радиус |
срединной |
поверхности; |
|
т^1, |
|
|
— моменты |
|||||
напряжений, определяемые |
равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
г = л | |
'n |
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
diA1' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T'SS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T$$, = |
Л (С |
|
g22 |
„(Ф |
I |
|
ЗС23 |
(I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
)■
« * » - * ( « « -те- +
(29.19)
4* - + - ¥ - • ? + - ^ » р );
Т33=
_.(0) |
= |
d v f |
dv^ |
TS3 |
АСбБ( - ^ + 4 ^ > ) ; |
t } - he, |
|
|
|
|
66 “ ds- |
Полагая Оз* = 0 и пренебрегая последним уравнением (29.18) (исклю чая таким образом эффект поперечного обжатия оболочки), из (29.18),
<*Ч°1 |
с |
dt/Я |
|
- w- |
Чь |
|
3<?58 |
|
_ |
Л. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dV‘’ |
|
ds |
|
^2 |
Vs |
— U, |
|
|
|||
'“ “ 2P - + |
“i |
r |
~ |
e 0 ; |
С\1—& |
|
А |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(29.20) |
|||||||||||
|
/ . |
|
_л |
|
|
Cf2 |
|
, |
3ci66 |
d S |
|
^22 |
|
|
|
||
|
|
Нса |
ds |
|
oP = |
0. |
|
|
|||||||||
|
(сбб |
Р) |
R |
1 |
h |
ds |
|
R3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
dsa |
ds |
|
|
|
|
|
|
||||||
Условия |
шарнирного опирания |
торцов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
т® = 0; |
тй1= 0 ; |
оГ = |
0 |
|
|
|
|
(29.21) |
||||
при s = |
0; s = |
/, |
где I — длина оболочки, будут удовлетворены, |
если |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции оР, 1/з°\ oiL) |
предста |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вить в виде |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
=s»=*a^= |
|
(0) |
я |
|
/пns |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
о* = |
Л* cos —j— ; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
up = A2sin |
/ПЯ5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v? = Ла cos |
mns |
|
(29.22) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|||||
д а - |
W |
|
0,0/5 |
0,020 |
2h/R |
Здесь |
m — число |
полуволн. |
|||||||||
|
|
Внося |
(29.22) |
в |
(29.20), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Рис. |
24. |
|
|
|
получаем однородную систему |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнений |
относительно |
по |
||||||
стоянных А{. Из условия нетривиального |
решения |
ее получаем урав |
|||||||||||||||
нение, из |
которого находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Р = |
аКг + btin + с |
|
|
|
|
|
(29.23) |
|||||
|
|
mnR |
|
|
|
|
tin (a ltin |
+ bl) |
|
|
|
|
|
|
|
||
где %т= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а — сцс55-^5-; |
Ь — Сц [сп с22 — с?г) |
Аа |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яа |
|
|
|
(29.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Аа |
|
|
|
|
|
||
|
|
® — |
^ 5 8 (с 11с 33 |
^1з), |
|
|
— 3 C j|С Б5. |
|
|
|
|||||||
|
|
Й2 — Сц -^ а J |
|
|
|
||||||||||||
Минимизируя обычным образом [88] р по параметру |
|
получаем урав |
|||||||||||||||
нение |
|
|
|
|
|
tin— АХ2т — В = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(29.25) |
||||||
и величину критической |
силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Л* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р*9 |
|
|
|
+ |
(ffiic2a — ^12) |
|
|
“^ 2") |
|
|
(29.26) |
||||
|
|
|
|
|
£?ud* |зсв5-+• cltd* |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В = |
|
cbtR2 |
|
* |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{abt — Qlb) h? |
|
||||