Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

12.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Умножим теперь (2.29) на Рк (£) с весами, соответствующими форму лам (2.20), и проинтегрируем их по координате Е3 в пределах толщины

оболочки. В результате будем иметь

(от). где д\-

H i

</п>. Я з=

<от)„

Э з=

(от),

	<0	- 2
		(W)
интегральные		характеристики
<+>
л	АН	<w,o
С	АН	<w,o
J	Т А рк(О р» (0 <&: Я ?=
<-)
—//
(+)
/I	f/
Г1	f/
]	я* (О Я . (О 4 ,;

—л

(2.30)

вида

«+| ft

J Р .(0 р„, (С) 4 а:

(—)

—Л

M l	М О Л Л О В (2.31)
4 3/ / a

С+)
h	г/
f	г/	Pk(Z)Pm(t)dla]
J -£■ PA i)P,A Q d b ;		Pk(Z)Pm(t)dla]
(-)	1
—/i
(m) ,	(t,/ = 1 ,2 ,3 ).
2 }	(t,/ = 1 ,2 ,3 ).

Напомним, что в (2.29), (2.30) по индексам I и s подразумевается

суммирование от I до 3.

§ 3. УРАВНЕНИЯ ПРИ НЕИЗМЕНЯЮ1ДЕЙСЯ МЕТРИКЕ ПО ТОЛЩИНЕ ОБОЛОЧКИ

^ 1. Разрешающие уравнения и граничные условия. В случае,	когда
изменением метрики по толщине оболочки можно пренебречь,	т. е.

пренебречь величиной | hska | по сравнению с единицей и считать На са

~ Аа, приходим к уравнениям для тонких или пологих оболочек.

ЮТ) Согласно ортогональности полиномов Лежандра составляющие Vi бу

дут отличными от нуля лишь при m = k, причем

3\				2А			(3.1)
3\				2k +	1		(3.1)
				2k +	1
Тогда уравнения состояния (2.30) преобразуются к виду
<0	=	Л	2				(3.2)
Моменты напряжений а{ц		i,s=!
Моменты напряжений а{ц	симметричные и выражаются формулами
		•1?
о!? =		(	(	3	.	3	)
		(-)

дЛгОи* ,

дАА?

■

дА\

„(к)

дА2 „(«

■f

аь

‘в5Г01г ~ Ж

- А,А21к2о|?

- V , «!*’ +

ftfl4 ) = phA.A.a?

(1 ^ 2 );

* V J |_ +

Л,Лг( М ?

М ? -

сЙ4) +

A 1A2(Cg' +

hF p) = 9hA1A j i i ‘,

А =

0, 1,

(3.4)

в которой

FP = ©Г +

х [м < М ; - ( -

i)V r F i|;

r\(k)

(

j* (k )

dll

„*{k)\ ,

( dh

j*(k)

_»(k))

& “

i j

i г аи

01'

+ T j r l ' e l T 02'

аг' J

(3.5)

где

(±)

\ 2"1Г

<±> \21

po* =

i + ( _ ! _

J i J

1 + ( ‘1 Г Ж

)

(3.6)

3|,

Если внести (3.2) в (3.4) и учесть при этом значения (2.11), (2.12), получим систему уравнений в моментах компонент вектора переме щений

		02U<A)	(C\12I +	C2f\|/)	1	d2u\k)		d~u^
		+	(C\12I +	C2f\|/)	AtAz	ШГ* + C2*2/ -ДГ		+
		~ w			AtAz	ШГ* + C2*2/ -ДГ		~дЩ~
+ I L [ A		^	duf"	, . i k	i	a- Г		+
+ I L [ A		^	di			+ ■h2		+
			al
+ F P - P			d2u\k)	(/ =	1, 2, 3; &= 0, 1, ...),			(3.7)
+ F P - P			dt2	(/ =	1, 2, 3; &= 0, 1, ...),			(3.7)
где CLffn, b%,	cfm — коэффициенты, зависящие от упругих						постоянных
материала и	параметров, характеризующие геометрию оболочки.

Пусть Si" и 5Г — пустые множества. Учитывая неизменность мет

рики вдоль толщинной координаты, граничные условия (2.30), (2.31) примут вид

аТ] = и ?		на dSf,				(3.8)
+	(AI V 2 = К		л с' на			(3.9)
В случае, когда dS± = dS,	dS2 =	Ф,	условия	(3.8) при	и\к) =	0 вы
ражают жесткое защемление края		оболочки.		Если же	dS1 =	0 , а

dS2 = dS, то условия (3.9) при Р\ч,г1) = 0 соответствуют свободному

краю оболочки. Возможны и другие виды граничных условий. Допустим, что края оболочки совпадают с координатными линиями

?а = const (а = 1, 2). В этом случае решение задачи ведется при ус ловиях, что край la = const оболочки:

1) жестко защемлен

	«I"’ =	0	( t =	1,2,	3;	k = 0,	I,	...);		(3.10)
2) свободный
	a& =	0	(i =	1,2,	3;	k = Q, 1,		...);		(3.11)
3) шарнирно опертый
c<£ =	0; 4 Л =		0; u(3k)= 0			{аф $ \	k = 0,		1, ...).	(3.12)
Для задач	динамики граничные					условия	(3.8),		(3.9) необходимо
дополнить начальными			условиями		(2.28).

Как видно, результат понижения размерности пространства привел к бесконечной системе уравнений с бесконечным числом граничных и начальных условий. Для приближенного решения задачи ограни чиваются системой уравнений конечного порядка с соответствующим числом граничных и начальных условий. Это следует из условия со хранения конечного числа N первых членов в разложениях (2.6),


(2.7). При этом возможны два случая: N =			2л +		1 или N = 2п (соот
ветственно четное		и нечетное число членов		ряда).
2.	Условия	для компонент поперечных		напряжений. До сих пор
на компоненты поперечных напряжений			(i =		1, 2, 3) не наклады

валось никаких условий. Значения этих напряжений на лицевых граничных поверхностях 5^, Sj” входят в свободные члены F1® системы

уравнений (3.4). Пусть S t,			S f — пустые множества и пусть на 5+ , 5~
заданы компоненты напряжений
о		+ = Pt,\		а	(-, = РТг-					(3.13)
	<3\|\|,=Л			i3 \|6 ,= -h
Для удовлетворения	граничным			условиям		(3.13)		представим,		следуя
[22], напряжения о(-3 в виде
о1з — ~2j~	2 (4m -f- 1) [Р^т(£)					Pin+2 (£)] o r			+
	/71=0
+ -fir 2	(4m +		3) l/Vn+i (0 — Ры+з (£)] o ff™						+
msssQ
+ - f ( ^	+	т а	т а ю	+	- г	-	т а	т а +i га.		<з. и )
где п связано с N равенством: N = 2л (л =							1, 2,	..,). В	случае нечет
ных значений N, т. е.		N = 2п Н- 1			(п =	0, 1, ...), имеем
0(3 = -4-	2	(4/п + 1) [Р2m(С)				Pin+2 (S)l			+

/71=0

	+	4 - 2	(4m +	3) IPM +I (0 -	йи+з (t)\| og"+1> +
		m= 0
	+	4 - ( ^ -	т а т а +i ( о + 4 - (« t			+ т а т а +2 <«.	o . iб>
При	л = 0	формулы (3.15)		совпадают	с	формулами, приведенны
ми в	[22].

§ 4. УРАВНЕНИЯ ПРИ ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ МЕТРИКЕ ПО ТОЛЩИНЕ ОБОЛОЧКИ

Полученные в § 2 уравнения движения нетонких анизотропных

оболочек являются довольно общими. Ими учитывается процесс из менения метрики по толщине оболочки. Ниже рассмотрим уравнения с учетом членов hka {а = 1, 2). Если пренебречь теперь величиной \hka\2 по сравнению с единицей, то интегральные характеристики (2.31) будут отличными от нуля при т = k — 1, т = kt т = k + 1. Для

симметричных (по отношению к координатной поверхности) оболочек они определяются равенствами

“ v\	=	2kh2		_____	2ftft3	. h *
“ v\	=	(2ft 4- 1) (2ft — 1) •(1 — 2);		e/3------	(2ft 4- 1) (2ft — 1}
"+S\|	_	2 (ft 4- l)ft2	^2)*	(ft+U,	2 (ft 4- l)/is	' k *
c/i	—	(2ft 4- 3) (2ft 4- 1) ■(*1	^2)*	3 3 = -	(2ft 4- 3) (2ft 4- 1)	»vo\|

<6—1),			2kh2
3	I =	(2ft+	_U	(^а
		(2ft+	1) (2ft— 1)
‘У	з = -		2kh?
‘У	з = -		(2ft 4- 1) (2ft - 1)
			(2ft 4- 1) (2ft - 1)

<*+>>о		—	2 (ft +	ПА"
^х);	3 2	—	(2ft+ 3)	(2ft +	I)
(А+1),			2 (ft 4-1) ft3
at	2		2 (ft 4-1) ft3			Г
V	3 —	-----------m i. I		/O .	i	Г
			(2ft 4- 3) (2ft		4-	1)

(62 — kt)\

u . (4*1)

(А—I).

4ftft2

4 (ft 4- l)ft2

0 1 *=

Я;

(2ft 4- 1) (2ft=-

T1)T * i

(2ft 4-3) (2ft-f

(ftl„

(ft)„

<£)„

<*>,

2/i

t/2 =

e/3 =

2ft4-T

’

& =

VI —

" a ~

2ft4-1

l«j3

(«),

('JO,

(m)

S 4 = 0 32 ( m = * * - l ; Л; Л + 1 ),

где H = —

(fcj +

fc2).

Согласно

(4.1)

соотношения

упругости

(2.30)

примут

вид

о\к!

h [c\ud?s — Л f(6 2— kj)cl/ise<is±l) +

к2сцз5ез*±п)};

02]

— h [Czfls^is — h [(&J — k t) CijZs^s*^ Ч" ^i^2/3s6Зя*

^ (4.2)

h {CZH&{$ — h

4- ^сз/гввЦв*1*+ З^сз/зв^з**1*]}

Здесь

( / = 1 , 2 , 3 ; A€I0./V]).

«Й* 11=

-* +

p(ft+i)

е Г >

(4 3)

2ft 4-

2ft 4-1

Согласно

(5.2)

и формулам (1.27) имеем

s</ = S

( * +

4 - ) p * ® e l /

(5.3)

где

ет ____!_

аб,

4 .4

дА

“ “

4„

S-ajf’ - J U ? ’;

H w

,.(*).

_<*) _

•

,/(*).

/е лч

4а4р

®зз — ^

^з

(о.4)

;

•м *’ +*„<*>•

4 S -

и,1к)

(а, р = 1; 2;

а ^ р ),

причем

лоь

|W —k—1J

и}к) =

(2k + 4s +

3) u\k+2s+l\

s = 0

Если

внести разложения

(5.3)

в (5.1)

учесть равенства

k — o, 1,

Л (С) Р* (О =

- ^ г г Р‘+' ®

-Щ ГТ Р*-' © •

* =

1;.

. . . ;

(5 5)

Р (Т\ Р

(Г\

3(k - f -

1) (fe -f" 2)

/< -ч

,___________ k (k - j -

1)_________

y*-4

Рг (fe) P k (fe)

2 (2ft +

1) (2fc + 3)

Pk+2

(2ft —

1) (2A +

Pk '*»)

3ft (k — 1)

k = 2,

■2 (2ft— 1) (2ft -f 1) Pk- 2(C),

то получим

формулы

«</= £ (* + - г

) ©«<''•

(56)

где eli’ при сохранении произведения моментов деформаций лишь

нулевого и первого порядков имеют вид

Если учесть призведения моментов деформаций нулевого, первого и второго порядков, то получим равенства

~A'l = 4-[e'I? + 4 + - r\|<s ^ e"’+ «М + 26W	+ 2e!M.’)]:
"4= 4-[el? + ej? + 4- S (еЗД + е)?е)? +	(5.8)

+ 4 - e ll4 V + ^ r e l? e f i»)J;

4 = 4 <s!" + ®J?>. k > 3-

Аналогичным способом можно учитывать нелинейные члены с мо ментами более высокого порядка. Однако ниже ограничимся лишь не линейностью первого и второго порядков.

2. Вариационное уравнение. Для составления уравнений движе ния оболочки будем исходить из вариационного уравнения (2.1), т. е.

6$(?С—Э + Ж)М = 0.

(5.9)

Указано [13], что совместимой комбинацией напряжений и деформа ций являются компоненты обобщенного тензора напряжений [801 (ком поненты тензора напряжений Треффтца) и компоненты Лагранжевых деформаций. Поэтому

	* ~ Н Я * » *	(5.10)
У	У	(5.10)
Ж = JjJ	Ф *iU(d v + JJ P lu ^d a .
у	Уу
Здесь alf — составляющие обобщенного тензора напряжений;		Ф* и

Р*. — компоненты массовых и поверхностных сил в исходной системе

координат, отнесенных соответственно к единице начального объема

V	и начальной поверхности (¥1/ ; р — начальная плотность, причем ком
поненты поверхностной нагрузки Р1определяются формулами [11, 30];
			Р$ = (ff's+ Of/B/s) Vf.	(5.11
В (5.11) У		— составляющие единичной нормали кдУ' по координатам
исходной		системы; под индексами i, / подразумевается суммирование
от	1 до	3.
	Отметим, что здесь и ниже удлинения и сдвиги предполагаются
малыми по сравнению с единицей и, следовательно, можно положить
oii = <*//,		Р* = Ph	ПЗ].
	Согласно (5.10)		уравнение (5.9) преобразуется к виду [131:
	$ dt { J JJ [a\,bets + (put — Ф?) dut\ dv — ( J P\butda 1 =			0. (5.12)
	и	\ у	hr	J

3. Разрешающие

уравнения,

начальные

граничные

условия.

Интеграл по поверхности dV~ в

уравнении

(5.12)

представим в ви

де суммы интегралов по лицевым

граничным поверхностям

S+,

и цилиндрической поверхности

S v.

При допущении

о неизменности

метрики по

толщине

оболочки

имеем

равенства

dS+ — dS~ = dSt

где dS — элемент площади

срединной

поверхности. Поэтому

$ $ Pi 6u(da =

( J (P;+8ut -

РГ8иГ) dS +

J (

J Л’б и л ) ds. (5.13)

dS \-h

Внося в (5.13)

значения

функций из (5.2) и проводя

интегрирование

по толщинной координате

| 3,

получаем

равенство

J $ p ;eU(do =

(а +

- й

( p P tu p d s + гг [р;+ -

( -

i y p n

s ^ d s ,

fry

А=о'

'las

(5.Н)

где

—h

Условия (5.11) при учете равенств (5.3) запишем таким образом:

	Ps -	o 's + £	(m+ 4")р т ( 0		Vf	(5.15)
		т=0 '		'
При i =	а (а = 1, 2) получаем условия на поверхности					Sv, а при i =
= 3 — на граничных поверхностях S+, S~; число					М	соответствует
порядку	моментов,	образующих		нелинейность.
Если	внести разложения		(5.2)	и (5.6) в (5.12), провести интегриро

вание по |з и учесть равенство (5.14), то получим следующее уравнение:1

1 I £	[к	“Г) И («ЙЗД			hFfbuf' + phufbuT) dS	-
U	'	7 L	s
			— J J P\k)6u\k)dl dt = 0.			(5.16)
			as
Здесь введены		обозначения
h
= $о?Л (£)<£,;			FT =			1fp r v ,
*~~h			—n			(5.17)
				3		(5.17)
				3
		Sff-	o/?+ 4 - 1 (<*«? 4- 3affe?/);
			^ S=1
			,	3
		o\'/ =	1 V /JWo11»			(5.18)
		o\'/ =	°?1 + "2~	AJ	(°V*es/ + tJ/s’bs?);	(5.18)
			z	S=1

517- c \l £>2,

причем

/>;+ - (-1 )‘РГ = oi+- (-1 )*оГ+ £

[оз,+4 - ( - 1)‘<йГей);

5— I

Л1

( 5 . 1 9 )

&si — У] (m +

-if) 4 <Г);

gsT = X!

(— i )m[m + ~^) «2*.

где Af =

если

же

учитывать нелинейность с

моментами

второго

порядка,

то М =

2 и моменты о})) принимают

вид

о!°/ =

o J

| S

( o f f # +

ЗаЫЧ +

5 o g # );

Й7 =

off +

-L

(affeff +

o f f # + 2#

2о !? # );

~<2) __ „(2)

Л_(0) (2) ,

^(2) f0> ,

(1> (I)

(5.20)

Ю (2) (2)\ .

—

О //

2 J

8s/ Н-

C^fs e s/ Н

g - Ofs &s/

j —Gis&sf J

Of/ =

a(/f,

/г >

Поскольку

в (5.16) интеграл берется

по

произвольному

проме

жутку времени, то выражение в фигурных скобках должно равняться нулю. Учитывая в данном равенстве значения (5.4), после интегри рования по частям получаем систему уравнений движения

cMso(,f	<3/4,0^	<М, "М
з\|,	+1 <>S, ' «Ь	~ щ гаю —

- Л,Л, (*,Й+ -[■ oJfM) + Л			= рЛЛАйС	(! ^ 2);
				(5.21)
+	-f- АхАг	+ Л2а и ------f		оззА)) 4 ~
	3U		Ле10, А],
+ A1AJiFfi =			Ле10, А],
и естественные граничные условия
	оЙЧ + 5J?v, =		P!w.	(5.22)
Начальные условия	имеют вид
.	иН ,= ,. = Йг';	Й‘’ Ь	. = Й?.	(5.23)
где «of, «Й> — моменты заданных		функций.

4.Уравнения состояния. Соотношения между компонентами тен

зора напряжений Оц и тензора деформаций ец				примем в виде
			з
		<Jil =	X Ciiisfiit-		(5.24)
			f.s=I
Умножая		(5.24) на Р* (£) и проводя интегрирование			по координате
1з>	учитывая при этом формулы (5.6), имеем			равенства
		o f f -	£ Л с , Л		(5.25)
			/,5=1
в	которых	ер — моменты деформаций вида (5.7) или			(5.8).

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

В этой главе излагаются формулировки граничных задач статики анизотропных оболочек переменной толщины. Осуществляется пере ход к вариационным задачам и изучается вопроо существования и единственности их решений.

§ 6. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫБОР ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

1. Исходные уравнения. Ограничимся рассмотрением граничных

задач для оболочек при неизменякнцейся метрике по толщине, причем оболочку будем считать симметричной относительно координатной по верхности S. Равновесие оболочки в этом случае описывается системой

уравнений

		дАз СГ\|2^ дА{				дА2	_(к)
3*1	+	Г" +			Ж		*22		+
	1	dh	,	л	1	dh	„'•(к)		( 1^ 2);
+	^ Т	Ц Г	а1'		h д%2				( 1^ 2);
+	^ Т	Ц Г	а1'		h д%2				(6. 1)
									(6. 1)
	^		+■-^i r ^- +мA а (м ? + м ?+ Х1						аэз ) +
+ А * - г - Щ - о » 1” +				4 --Щ Г «й1** +				= 0,	k g (О, N],
в которой
			Р р - А Ф Р Ч и М — ( - l ) V P i I ;						(6.2)
			P=J]
				S	№ - 4 s - Dog-25- 11;
				s«0
					щ				(6'3)
			<#* =		+	S	( » — 4s +	1)ай-й».
						S=*l
Соотношения между моментами						напряжений о!/1 и моментами дефор
маций е$ примем в виде (3.2), т. е.
					=	2	hcuueff,		(6.4)
						f,s»l

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.79 Mб3Обеспечение надежности стабилизаторов напряжения при проектировании и производстве..pdf
#
12.11.20239.14 Mб1Обжиг в кипящем слое в производстве строительных материалов..pdf
#
13.11.202322.72 Mб0Обнаружение и исправление ошибок в дискретных устройствах..pdf
#
12.11.202312.6 Mб19Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации..pdf
#
19.11.202329.24 Mб0Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях..pdf
#
12.11.202312.55 Mб0Обобщенная теория анизотропных оболочек..pdf
#
12.11.202317.06 Mб14Обогащение полезных ископаемых..pdf
#
19.11.202371.66 Mб19Оболочки и пластины..pdf
#
12.11.202321.81 Mб6Оборотное водоснабжение химических предприятий..pdf
#
12.11.202316.36 Mб4Оборудование для добычи нефти и газа. Т. 1.pdf
#
19.11.202328.38 Mб8Оборудование для добычи нефти и газа..pdf