книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек
..pdf
|
|
«</ = - г |
|
|
(1.23) |
Если внести в (1.23) значения (1.21), то будем иметь |
|
||||
ец = |
4* |
* “•/ + |
б/ • «./ + и»/ • и/) |
(1-24) |
|
Представляя вектор |
перемещений |
и |
в виде |
|
|
|
u = |
иааа + ti3a9 = |
иаa® -J- и3а3 |
|
|
и используя формулы дифференцирования векторов координатного
базиса, |
получаем |
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
бор---- 2~ |
(V^V |
|
|
|
-}- Afi. (VaUv |
bavUg) "f" |
||||||||
+ |
(VpHv — Ьр\>Мз) (Vauv — &aua) + |
|
|
+ |
bavtiv) (Vpu3 + |
&poW°)l; |
|||||||||
C«3 ~ |
|
”f* ba\ll |
|
|
Aa. |
|
|
h (A«Wv |
bavti3) |
-f* (1.25) |
|||||
|
|
|
+ (Va«3 + |
6avWv)-|^ -]; |
|
|
|
|
|||||||
|
e33 — |
ди3 . |
1 |
/ |
d«v |
ф |
|
. |
du3 |
du3 \ |
|
|
|||
|
g p T |
2 |
[ |
dg* |
|
- Г |
ggi |
ggi ) • |
|
||||||
Для |
S|,,^-параметризации |
|
оболочки |
линейная часть градиентных |
|||||||||||
уравнений (1.25) |
записывается |
таким |
образом |
[2, 71: |
|
||||||||||
|
£<хР — ~2~ i^Jj |
ea0 ~f“ |
fly |
ePa^ |
(a t |
P = 1» |
2); |
|
|||||||
|
|
|
|
e a3 + |
6 з« |
|
(a |
= |
1, |
2); |
|
|
(126) |
||
|
633 -- |
8;33 > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dua |
|
___I__ |
dAa Ир — kaU3\ |
|
|
||||||
|
eaa — Aa |
dia |
|
|
AaA0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
eap = |
I |
db |
|
|
1 |
|
_^a |
и«; |
|
|
(1.27) |
|||
|
Aa |
|
|
AaAU |
дЬ |
|
|
|
|
|
|||||
|
6a3 — |
l |
дия |
, A |
|
|
|
|
_ |
oua . |
_ |
du9 |
|
||
|
|
- gg" + |
|
|
63a — g^ |
» езз “ |
|
|
|||||||
|
|
|
(a, |
p = |
1, 2; |
|
a # p ) . |
|
|
|
|
||||
Следует отметить, что здесь и далее в выражениях, записанных в линиях кривизны, суммирование по повторяющимся индексам не проводится. Для указания суммирования будет употребляться знак суммы или сделана оговорка.
4. Уравнения состояния для криволинейно-анизотропного тела.
Обобщенный |
закон Гука. |
Зависимость |
между компонентами тензора |
напряжений |
и тензора |
деформаций |
eif устанавливается законом |
Гука. Для однородного криволинейно-анизотропного тела, т. е. когда в каждой точке тела упруго эквивалентные направления совпадают с координатными направлениями, эта зависимость представляется
равенствами 171]:
з
(Jij = ^ Ct[lsPls» |
(1.28) |
; , s = i
Здесь с,,7s — упругие постоянные, удовлетворяющие условиям
Cljls —('fils —Clsll~
При наличии одной или нескольких поверхностей упругой симмет рии уравнения (1.28) упрощаются. Так, когда в каждой точке рас сматриваемого тела имеется три взаимно перпендикулярные плоскости, параллельные координатным поверхностям ^ = const, то количество независимых упругих постоянных сокращается с 21 до 9. Тело в этом случае называют ортогонально-анизотропным или ортотропным 17].
Если ввести обозначения
|
|
|
|
|
|
|
' Си |
|
при |
i = |
/; / = |
s; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
c£g_/_s |
|
при |
i = |
/'; IФ s; |
(1.29) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Cg_£_// |
|
при |
i ф у, l = s\ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, Cg-f—/9—/—s |
-при |
i Ф /; l Ф s, |
|
||||||
то уравнения состояния (1.28) для ортотропного тела примут вид |
||||||||||||||||
|
|
|
|
0Ц — С11®11 "Ь ^12е22 “Ь ^18е33*> |
|
^23 — 2^44^23! |
|
|||||||||
|
|
|
|
022 — ^12^11 "Ь ^22^22 “Ь ^23^33* |
|
013 — ^^55^13’ |
(1 >30) |
|||||||||
|
|
|
|
033 — ^13^11 "Ь ^23^22 “Ь ^33^33» |
|
012 — ^0^12- |
|
|||||||||
Коэффициенты ctJ выражаются |
через технические |
постоянные |
Et> Gu |
|||||||||||||
и |
v(} по формулам [511: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сц — |
(I -- v23v32) El |
. |
- _ {v12 -fv 13v32) Е, |
|
. |
|
(V13 ~Ь у12у2з) El . |
|||||||||
|
д |
|
|
|
C12-------------- Д |
|
|
• |
'13 |
A |
|
|||||
^ 2 1 |
— |
С 12^ |
„ |
_ |
(1 |
—V i3V a i ) £ 2 . |
/1 |
.--- . |
(V23 + |
V2 l‘^13) |
^2 |
|
||||
-2 2 |
— |
|
|
Д |
» |
|
— |
|
|
|
A |
|
(1.31) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г |
|
г ' |
|
|
|
|
. _ |
( 1 - V 12V 21) |
) . |
|
|
|
|
|||
— |
Л |
■ - ■ Л * |
л |
|
|
|
|
|
||||||||
С31 |
— |
^13» |
^32 |
— |
^23» |
^83 • |
|
A |
|
> |
|
|
|
|
|
|
СМ |
= |
^ 2 3 > |
сь& = |
^ 1 з ! |
свв = |
0 1Z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г д е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
— |
V 12 |
— |
V 13 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Д = |
— V M |
|
1 |
— |
V 23 г |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
— V 81 |
— |
^ 32 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при этом должны выполняться такие условия: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Е1^21 ~ |
^2^12» |
^2^32 = |
^3^23» |
|
Е3^13 ~ |
^1^81’ |
|
||||||
Здесь Et — модули упругости; Gif — модули сдвига; v{j — коэффи
циенты Пуассона.
Если в каждой точке тела имеется плоскость, все направления ко торой упруго эквивалентны (плоскость изотропии), то такое тело на зывают трансверсально-изотропным. При условии параллельности поверхности изотропии с координатной поверхностью £3 = const урав
нения (1.28) принимают вид
Ojj = £ц£ц 4“ ^12^22 4" |
|
|
0 23 — ^^44®23> |
|
||||||
Og2 = |
C1 2 C]]. 4“ Cj1^22 4- ^13^33» |
ffi3 = |
2c4ielsm, |
(1.32) |
||||||
О33 |
= |
^13 (^11 4“ ^22) 4“ ^33^33» |
(J12 = 2cg<ie12. |
|
|
|||||
Здесь коэффициенты cit выражаются через |
технические |
константы та- |
||||||||
ким образом: |
|
|
|
|
|
. |
„ |
v'(l + v)£ |
|
|
(1 - e v ’*)E . |
„ |
(v + |
ev'2) E |
? |
||||||
<-11 — |
Д |
• |
C12 — |
|
Д |
• |
C13 — |
Д |
||
_ |
(1 —v2) £ . |
— G'" |
c —G' |
|
|
c33 — |
ek |
’ °44 —u » |
c00 “ |
II |
|
|
|
Д = |
(1 + v) [ 1 — v — 2 e v '2], |
||
(1.33)
где Е, Е‘ — модули упругости соответственно в плоскости изотропии и в перпендикулярной к ней плоскости; G, G' и v, v' — модули сдвига
и коэффициенты Пуассона, соответствующие этим плоскостям. Наконец, если в теле любая плоскость является плоскостью изо
тропии, то такое тело будет изотропным. В этом случае Е' = £ , v' = v,
G’ = G.
Поскольку упругие постоянные анизотропного тела «связаны» с системой координат [71, то при переходе от одной координатной систе мы к другой необходимо иметь соответствующие формулы перехода.
Обозначим через сц упругие |
постоянные относительно системы коор |
||||
динат ( £ ь |
%2, ? з ) . При этом будем считать, |
что |
(Й, £г, |
£з) нормально |
|
связана с |
поверхностью 5 и |
получена из |
(£д, |
| 2, 1з) |
путем поворота |
ее на угол у. В этом случае, используя метод [711, получаем следующие
формулы преобразования:
4 |
= сп cos4Y + |
2 (сД2 + |
2cee) sin27 cos27 |
+ сгг sin47; |
|||||
4 |
= |
sin47 + |
2 (сД2+ |
2c0fl) sin27 cos2 7 |
-f c22 cos4 7; |
||||
4 |
= |
c12 + [cn — 2 (c12 -+ 2cw) + |
c221sin27 cos27; |
||||||
4 = |
c13cos27 -+ c23sin27; |
4 |
= |
C13sin27 + c23cos27; 4 = c33; |
|||||
4 |
= |
\cn cos27 — (c12 + |
2cee) cos 27 — cM sin27 |
] sin 7 cos 7; |
|||||
4 |
= |
[cn sin27 + |
(cla -f 2cfl0) cos 27 — c22 cos27 |
] sin 7 cos 7; |
|||||
4 |
= |
(c13— c23) sin 7 cos 7; |
4 |
= |
{Cbb — c44) sin 7 cos 7; |
||||
4 |
= |
cu cos27 + |
cK sin27; |
4 |
= |
C44 sin2 У4- сБ8cos27; |
|||
сев = |
(cu + ci2 — 2 C12) sin27 cos27 + cw cos227. |
||||||||
Отсюда следует, что материал тела относительно координатной системы
(Й, |
£з) обладает лишь одной поверхностью симметрии. |
5. Уравнения движения оболочки. При ^„^-параметризации обо |
|
лочки |
уравнения движения имеют вид |
ЗЯлОц - |
|
as, |
. |
дНхН2о19 |
— |
дН2 |
t |
п |
дН, |
+ |
|
|
а|, |
|
i |
|
asS |
22 |
ast |
^ |
21 |
as2 |
|
||
+ аа Н% |
|
+ Д ,« ,Ф , = Р Я Л |
- |£ - |
|
(1^ |
2); |
|
(1.34) |
||||
а//2а3| |
, <Э//,а32 |
, |
дНхНйОм |
|
п „ |
dll, |
|
|
|
|||
as, |
|
|
дь |
|
as, |
|
11 2 as. |
|
|
|
||
|
а22^1 |
ая., |
+ |
НгН2Ф3 = |
рНхН2 |
д*ия |
|
|
|
|||
|
а?3 |
~dF~ ’ |
|
|
|
|||||||
|
0 J2 — ®21' |
°13 — ^31* |
^23 — &32> |
|
|
|
|
|||||
где р — массовая |
плотность; |
t — время. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. Граничные |
и |
начальные условия. Для полноты задачи |
уравне |
|||||||||
ния (1.34), (1.28), (1.26) необходимо дополнить граничными и началь ными условиями. Пусть д ^ и дЧ}2— части границы тела, удовлетво ряющие условиям a lt г \}&V2 = d4J'\ deV'1 f) дЧ/ 2 = 0 , иа которых за-
А
даны соответственно компоненты вектора перемещении и, (i = 1, 2, 3)
г*
и тензора напряжений Р, (i = 1, 2, 3). Тогда граничные условия могут
быть записаны следующим образом:
|
|
ut = и{ на дЧ?jj |
|
|
(1.35) |
||
|
|
ац\ 1 = Р[ на дЧ/2, |
|
|
(1.36) |
||
где V/— направляющие косинусы внешней |
нормали |
к поверхности |
|||||
дЧ/; |
под индексом / подразумевается суммирование от 1 до 3. |
|
|||||
Начальные условия примем такими: |
|
|
|
||||
|
|
щ |,=/, = |
«о/; |
|
/ч |
|
|
|
|
= |
«К, |
|
(1.37) |
||
где |
uoi = uot (S, |
| 3); щ( = |
ии (£, |
£3) — заданные функции. |
|
||
Замечание 1 .1 . Необходимо отметить, что |
поверхности дЧ1а |
(ос = |
|||||
= 1, |
2) в (1.35) |
и (1.36) складываются из лицевых |
граничных |
по |
|||
верхностей |
(с внешними |
нормалями |
п+, п~ |
соответственно) |
|||
и боковых (цилиндрических) |
поверхностей r)Sa X I — Л, Л] с внешней |
||||||
нормалью v. Здесь dS — граница координатной поверхности S, причем dS = dSxU dS2; dSt f\dS2 = 0 .
Замечание 1.2. Некоторые граничные поверхности, указанные в замечании 1.1, могут быть пустыми множен вами.
Изложенные в данном параграфе результаты можно найти в рабо тах С. А. Амбарцумяна [71, И. Н. Векуа [24], С, А. Вольмира [27J, А. Л. Гольденвейзера [42], В. В. Новожилова [861, М. Бернадю и Ф. Сьярле [131].
Точное решение задач теории упругости в трехмерной постановке сопряжено со значительными математическими трудностями, поэтому
для преодоления их пользуются |
приближенными |
методами. Одним |
из таких методов является метод |
уменьшения (по |
пространственным |
координатам) количества независимых переменных [28]. При этом переход от трехмерных задач к двухмерным осуществляется по-раз ному. Имеющиеся здесь подходы условно разделяются на две группы. К первой относятся методы, содержащие в себе регулярный процесс, т. е. процесс построения последовательности двухмерных задач, реше ния которых сходятся к исходной трехмерной задаче, причем в нем выделяются асимптотические методы и методы разложения по тол щине. Ко второй группе относятся подходы, базирующиеся на приня тии тех или иных гипотез. Детальный анализ этих методов проведен А. Л. Гольденвейзером [43] и И. И. Воровичем [28].
Перспективным методом в редукции трехмерных задач к двухмер ным является метод разложения по толщине с использованием поли номов Лежандра. Началом его развития послужили работы И. Н. Векуа [20—23], А. Н. Кильчевского [64], В. В. Понятовского [90, 91], П. Чикала [132]. В работах [103, 111, 113, 1151 даются обобщения этого метода на анизотропные оболочки.
1. Вариационный принцип Гамильтона — Остроградского. Соглас
но этому принципу истинные траектории движения точек системы между начальным и конечным положениями отличаются от других возможных траекторий тем, что для них выполняется условие [134]:
б(^ сИ |
= 0, |
(2. 1) |
>0 |
|
|
где |
|
|
£ = |
+ % |
(2 .2 ) |
причем 6? — функция Лагранжа; Ж и Э — кинетическая и потенциаль ная энергии; Ж — работа всех внешних сил;
5£= |
т Ш " т - т л; |
у |
<23> |
|
|
у |
|
|
|
Ж = |
Ш ф 'и^ |
+ И Р' |
— Hi) da + J[ PtU(d<j. |
(2.4) |
|
У |
дУ % |
дУъ |
|
Учитывая значения (2.2) — (2.4) и выполняя вариацию каждого слагаемого, получаем следующее уравнение:
где точка над буквой обозначает производную по времени L Нетрудно |
||||
проверить, что из (2.5) с учетом значений (1.26), (1.27) следуют урав |
||||
нения движения (1.34) и граничные условия |
(1.35), |
(1.36). |
||
2. |
Представление |
искомых функций |
в виде |
рядов Фурье — Ле |
жандра. Запишем, следуя |
1211, компоненты |
вектора |
перемещений щ |
|
и тензора напряжений |
в виде рядов Фурье — Лежандра, т. е. |
|||
|
щ(?,?3; 0 = £ |
( а+ -г) |
(С) |
(!• 0; |
(2.6) |
|||||
|
|
|
fc=0 х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
о„ а, I,; 0 = |
£ |
(к + -т) - I Л (О Оi? (|, I), |
(2.7) |
||||||
|
|
|
*=о v |
|
' |
|
|
|
|
|
где Pk (0 — полиномы |
Лежандра; |
иР |
(£, /), |
ар |
(I, t) — коэффи |
|||||
циенты разложений, именуемые ниже моментами; |
они определяются |
|||||||||
по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
aff (£. 0 = |
4 - |
1 |
в, (I, Ь; |
0 р * (0 dfa |
(2.8) |
||||
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
off (1. 0 |
= |
f |
о„ (?, | s; l) Pt © |
d%,. |
|
(2.9) |
|||
Здесь £ = |
Л |
|
<+) |
(—) |
л. |
(+) |
(““) |
ниже будем счи- |
||
h~{ (E3 — h)\ |
2 h = h + |
/г; |
2h = h — h; |
|||||||
тать, что Л — достаточно малая величина и выражением \hka\ |
можно |
|||||||||
пренебречь |
по сравнению |
с единицей. |
|
|
|
|
||||
Если внести разложения функций (2.6) в градиентные уравнения
(1.26) и учесть при этом формулы для |
производных полиномов Ле |
||||
жандра [201: |
|
|
|
|
|
IPk (0 = |
kPk(£) + (2ft - 3) Pk-2(0 + |
(2ft - |
7) Pk- 4 (О + |
• • •; |
|
r i (0 - |
(2ft - 1) Pk- i (O + |
(2ft - 5) p k- 3 (0 + |
|
||
то получим равенства |
|
|
|
|
|
^ “ т ^ (* + т ) © ( ■ £ |
+ т ^ > в ): |
|
|||
^ |
= 4 -S (A+ 4 |
- |
) |
+ей); |
(2.10) |
|
OO |
|
|
|
|
% |
= £ ( * + 4 ) p *(C)eff. |
|
|
|
|
A =0 '
|
|
4 “ |
|
|
|
W |
е Й - |
|
■S. |
л<Л |
|
5&В ttf — balls |
|
|
1 |
( \ |
dh ”(Ar) |
+ |
1 <?А |
Иа 1, |
|
4 » |
|
« « ““ |
А * а |
||
* |
— |
1 |
Н*1 |
|
1 |
,,<*> _ |
в |
|
*Б» |
|
«в |
U<x |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 / 1 |
|
А» U |
еЙ = ^ |
<Ц* ■+ к |
|
*е« |
dh
М0
- 7 Г (-
+ |
1 дЛ |
w \ . |
|||
А |
« а |
«в |
|
]; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0А.« 3* |
+ |
- |
А |
|
h |
|
|
^ |
|
|
(2.11)
5ft '(/О ■317“а у
I |
““ |
“ |
Т |
(“ . Р = •. 2; а =^М. |
еЙ — X ““W' |
||||
причем |
|
|
|
|
= |
2 |
(2/г + |
4s -f 3) u\k+2s+l)\ |
|
|
s = 0 |
|
(2.12) |
|
u7' = Ы " + |
|
|||
£ <2* + 4» + 1)и!*+гя. |
||||
|
|
|
s=l |
|
3. Элементы граничных поверхностей. Следуя замечанию 1.1, найдем элементы граничных поверхностей S+, ST и Sv. Согласно
(1.15) радиус-векторы поверхностей 5+ и S” выражаются равенствами
R+ = г 4- Л as; |
R“ — г — h а3. |
(2.13) |
||||
Дифференцируя (2.13) |
по |
координатам |
и используя |
обозначения |
||
(1.1), (1*7), получаем |
базисные |
векторы |
|
|
||
|
I |
|
N I |
Г |
I T f |
|
Ка = |
(1 — h ka) аа -f |
А аа3; |
(2.14) |
|||
R.a = |
(1 + |
(-) |
<-) |
|||
h ka) aa — |
h,aа3. |
|
||||
Из (2.14) находим единичные орты касательных к кривым, обра зованным пересечениями поверхностей S+, 5~ с плоскостями, прохо
дящими через нормаль а^ к S и координатные линии |
и Е2Обозна |
|||||
чая их соответственно |
через е » , |
е^Г (a = |
1, |
2), будем иметь |
||
е+ _ |
|
|
(+) |
|
<+> |
|
|(1 |
|
h /?а) аа |
4" |
|
||
са — |
|
|
||||
|
[(1 |
4- |
(-) |
|
• (-) |
|
|
A ka) аа |
А,аа31 |
|
|||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
(+) |
-4Г2 Ла)''1; |
Цк = |
1(1 + '**«)* + |
Axг<ftд|,,,. |
||
^ = 1( 1 - Л>а)! + |
||||||
п
Единичные орты внешних нормалей п + и п определяются формулами n+ = e f х e f; |Г = е Г х еГ
Используя_равенствс (2,14), находим элементы граничных поверх ностей S+, S , т. е.
|
dS+ = р+dS; |
dS~ = p”dS, |
(2.15) |
где р+ = |
\х~ = рГрГ; dS = |
AxA2d\xd\ а. |
|
Определим далее значение элемента граничной поверхности Sv. Квадрат длины дуги параллельного круга, лежащего в S v на растоянии |а от dS, имеет вид
= А] ( 1- к & У d$ + A\{ 1- А ,У* d$.
Если обозначить через а угол между координатной линией 1Х и кон туром dS и учесть равенства [791:
|
|
Axd£x = ds cos a; |
A2dl2 = ds sin а, |
|||
то будем |
иметь |
|
|
|
|
|
dsg, = |
[1 — 2£3(kxcos2а + |
k 2sin2а) -f- |з (k\ cos2а -f- sin2a)] ds3, |
||||
где ds2 = |
A\d$ + А Щ . |
|
|
|
||
Отсюда находим |
|
|
|
|
||
|
|
|
dsu = |
|
(2.16) |
|
где |
|
|
|
(ОТ) |
|
|
|
k{\) = |
|
-}- k2sin2а; ft(2>= |
|
||
&(0) = |
1; |
cos2а |
2# £,п — |
|||
Согласно (2.16) элемент поверхности do, |
принадлежащий 5 V, |
|||||
примет вид |
___ _ |
|
|
|
|
|
|
|
" |
do = |
S ( - 1 Г |
k w & l 3ds. |
(2.17) |
|
|
|
|
(от) |
|
|
Ограничиваясь лишь первыми двумя членами разложения (2.17), по* лучаем
do = П — Л(„(й£ + A)] d^ds. |
(2.18) |
4. Уравнения движения, граничные и начальные условия. Внося разложения (2.6), (2.7), (2.10) в (2.5) и интегрируя по координате £3,
используя при этом значения (2.15), (2.18), получаем уравнение
- ( Ц +Рз|- ( - D |
* |
Ц~Рз7 ) &4Й- |
X |
- ( - > ) ' |
Ц-ЙП М ? Ч ] dS - |
|
- £ (* + т ) |
' |
[ f ^ |
~ |
~ **«» <“ 'S±I) - Й * * " » |
||
* -»' |
L si |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
J PS!i()Sui*’ds |
= 0, |
(2.19) |
|
dS,
где введены такие интегральные характеристики:
|
v |
|
<-> |
|
|
|
|
|
—л |
|
|
|
|
<$’ = |
^ |
|
^ |
^ |
1Й Л ( 0 «Ь: |
|
|
|
|
(") |
|
|
|
|
|
|
—/1 |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
(2.20) |
“'*’ = |
т д а - $ |
«-я Л р* К ) 4 8; |
||||
|
|
|
(—) |
|
|
|
|
|
|
—Л |
|
|
|
|
|
|
ж |
|
|
|
ФР’ - ^ Г |
|
J |
<Ъ,НгНгР,Ю<%3 |
|
||
|
1 * |
|
(-> |
|
|
|
|
|
|
—н |
|
|
|
( i = |
1, 2, |
3; |
а, |
р = 1, 2; а^=Р); |
|
|
|
(+) |
|
|
|
|
|
/%,,= |
h |
|
P,v.6()|] -*<»№+ А)1Л(Е)<й |
|
||
f |
|
|
||||
( — )
— ft
Кроме того, в ^2.19) учтены равенства
P<y.V — р и cos (v, Е,) + Р71 cos (v, Ъ2);
|
Рз, = V ^ c o s f e f , а,) + Я„± |
, cos (е?, а() + |
|
|
|
+ |
^(„*.в±)С08(п*, а,); |
(2.21) |
|
и? = |
н(я± е±) cos (ef, а,) + и(п± е±) cos (е2*, а,) + и(п± п±) cos (n*. а,), |
|||
™е Лп+.п+> и Р(п+.е+)’ |
и |
нормальные и |
касатель |
|
ные напряжения соответственно на поверхностях S+, S—; |
w(/)+ п+> и |
|||
и(п+ е4^; |
а(п_ п_ ) и н(п_ е_ ( — нормальные и касательные перемещения |
|||
на тех |
же поверхностях. |
|
|
|
В уравнении (2.19) по индексам/и / подразумевается суммирование от I до 3.
Если учесть в (2.19) значения (2 .11), (2.12), провести интегрирова
ние по частям и приравнять выражения при одинаковых вариациях моментов компонент вектора перемещений и тензора напряжений, то
получим систему уравнений |
|
||
<3&i |
dAt |
012 |
+ -g- 031**) + |
— ЩГ |
|
|
|
4 |
A xA 2Q\k) + |
А гА зhF\k) = |
рhA xA |
^ |
(1 ^ 2 ); |
( 2. 22) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" э|, ~~ + ~~86, |
|
' + |
а Г 1 |
11 + |
М ? -----Г ак ) + |
|
||||||||
4 ^i^aQ3fel 4 |
AjA^iF^ = phAxA 2u ^ |
(k = 0, |
1, . . . ) |
|
||||||||||
и естественные |
граничные |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|Д-+ {ut — « Л — (— 1 )АМ-” (“Г — нГ) «= 0 |
на S f |
(J $П; |
(2.23) |
|||||||||||
u\k) — i (A) — hk{и(«|А±“ — и/**1)) = о |
на dSx, |
(2.24) |
||||||||||||
|
аЯЧл + |
c 8 4 — |
|
|
= |
0 |
на dS2. |
|
(2.25) |
|||||
Здесь введены |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f f = |
®!*‘ + |
х |
|
|
- |
( |
- 1)‘ ц"Яз71; |
|
(2.26) |
||||
0 (*> |
I |
( |
\ |
dh |
|
, |
J_ |
ЭЛ |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||
С! |
|
\ х ^ |
г " 1' |
+ |
“ |
T i r ff» J+ |
|
|
||||||
|
л. J _ ( J L J L аЯ» -и _L _i£_„чаЛ |
|
|
|||||||||||
причем |
+ Аг |
{ |
h |
Э£, |
021 |
+ |
Л |
Э£а |
/» |
|
|
|||
|
|
[i= ± ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
и Т |
= |
|
2 |
|
(2А — 4 s— 1) a{? r2s~ l); |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
[4] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
kaff 4 |
S |
(2Л — 4s 4 |
1) cr{ |
|
(2.27) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
S*I |
|
|
|
|
|
|
|
|
lI — функция Антье.
В(2.24) символ ut * указывает на выражение
if* " |
|
A - fj _ w(A+‘) |
|
|
|
|
||
= |
2Jfe-f- 1 |
+г 2Л4 1■Щ |
|
|
||||
Раскладывая заданные функции |
л» |
|
(s = 0, |
1) |
в ряды Фу |
|||
ии (Е, | 3) |
||||||||
рье — Лежандра |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
«.< е . ы |
= S |
( * + 4 - ) р ‘ ® |
“3* © • |
|
|
|||
|
|
к=>О ' |
|
|
|
|
|
|
из равенств (1.37) с |
учетом |
разложений |
(2.6) |
получаем |
условия |
|||
«Г|«_(.= й?; |
«Г|<-(. - Si?. |
|
(2.28) |
|||||
5. Уравнения состояния. Внося в |
уравнения |
(1-28) значения |
||||||
компонент деформаций (2. 10), получаем равенства |
|
|
||||||
аЧ = -j- 2 |
"Ь T * j ^ |
|
|
|
|
‘ (2.29) |
||
го