книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек
..pdfНапомним, что в (10,7) введены обозначения
[т
<,;•/» = |
toff + |
J ; (2й- |
4i + |
1) о!?- ”’; |
|
|
[ « . ] |
|
|
|
<|0 |0 > |
o f = |
E |
(2ft — 4 /- |
I |
) |
(i. i = s, Ф, 3); |
|
J=U |
|
|
|
|
Замечание 10.1. Если в правой части уравнений (10.7) учесть инер- |
|||
ционные |
члены |
д*и\к) |
<p, 3), то получим уравнения дви |
ph— ^ — (i — s, |
|||
жения оболочек. |
|
|
|
5. Оболочки вращения замкнутого профиля. Пусть ортотропная |
|||
оболочка |
переменной толщины, главные направления упругости ко |
||
торой совпадают |
с направлениями |
координатных линий, замкнута |
|
по угловой координате <р. Допустим, что внешняя нагрузка |
F{3k) (F ^ = |
|||||||||
= 0) |
и |
граничные |
условия |
Pls?, |
иТ ( i = s, |
<p, 3) |
на торцах s = |
|||
и s = |
s, |
могут быть разложены в ряды Фурье, т. е. |
|
|
||||||
|
|
|
rL |
т ь |
|
т ь |
|
|
|
( 10. 12), |
|
|
|
2] |
(2з C O S пир 4- Zз ’ sin /пф); |
|
|
|
|||
|
|
т=0 |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
Pi? = |
£ |
(Pi? cos пир + |
Pi? sin пир) |
(j = |
s, |
3), |
|
|
|
|
m=0 |
|
|
— |
|
|
|
(10.13> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi? = |
S |
(Pi? sin nup + |
Pi? cos тф); |
|
|
|
|
|
|
|
m=Q |
|
- ■ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
ujk) = |
|
(vf*}cos шф 4- vfk) sin шф) |
(/ = |
s, |
3), |
|
||
|
|
ГЛ=0 |
|
rrt |
|
|
|
(10.14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ИфЛ) = |
S |
(уфЛ>sin /Пф -f- t>q? COS пир). |
|
|
|
|
||
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
моменты компонент |
вектора перемещений можно |
представить |
|||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u f] = |
£ |
(и^ cos/пф -f o f5sin /пф) |
(j = |
s, |
3); |
|
||
|
|
|
m=0 |
|
^ |
|
|
|
(10.15) |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
||
|
|
«ф*= |
£ |
(Оф1sinтф + |
Оф‘cosтф). |
|
|
|
|
|
m =0
Согласно формулам |
(10.6), (10.9) и (10.15) получаем |
|
|||
|
ОО т |
^ |
|
|
|
efi = |
2 (у$ cos mqp + |
у ^ sin тф ) |
(i — s, |
ф, 3); |
|
|
m = 0 |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
10 16 |
= |
2 |
(Y® COS шФ + |
Ys3 sin тф); |
|
|
|
( . ) |
||||
|
m=0 |
|
~ |
|
|
= |
2 |
(vS? sin тф + |
Y <P/ COS тф ) |
(/ = s, |
3), |
|
m=0 |
|
|
|
|
m.m,
где y»\ ..., Уфз |
для любой гармоники |
|
т |
(индекс т |
ниже будем опу |
|||||||||||||
скать) |
имеют значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
..(ft) _ |
dvs° |
I |
1 |
rr(ft) |
|
1 |
( |
dh |
.."(ft) |
I |
|
dh |
" ( f t) \ . |
|
(A) _ _ 1 |
..'(ft). |
||
|
|
+ |
|
|
|
~ ~ [ ~ d b Vs |
+ ~ d T Vs •• |
|
V 3 3 - —h y 3 , |
|||||||||
Уфф = -jr (cos |
+ sin 00^ |
4- mo^); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
18 - |
^ |
|
m |
(ft) |
|
|
cosO |
(ft) |
- 1 |
U |
( |
dh |
Щ) |
, |
т |
dh лаЛ , |
do.11?) |
|
+ T - |
|
|
|
|
|
|
|
IT |
^ |
+ |
v*})> |
|||||||
(ft) |
^ |
|
1 |
„(ft) |
I |
1 |
r/<ft> |
1 |
( |
dh |
„'<*> |
I |
^ |
„'(ft)V |
|
|||
Vb = |
--------------— Vs |
|
-r — |
V s -----tT \~ s r v» |
|
|
/* |
|
||||||||||
|
ds |
|
R s |
|
|
[ |
h |
|
5 |
h |
\ |
ds |
|
|
|
|
|
|
,.(ft) _ |
m „(ft) |
|
sin e |
|
(ft) |
|
1 |
'(ft) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
УфЗ |
f O3 |
|
- |
|
Оф |
-f---T~ Оф |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогичную структуру имеют моменты деформаций, отмеченные зна ком тильда.
Из условий периодичности компонент тензора напряжений полу*
чаем |
|
|
|
|
a\kt = |
2 |
cos тф 4- ^tt |
sin тф) (i = s, ф, 3); |
|
|
m=0 |
|
~ |
|
°w = |
S (*.» sinm<p+■ |
т1фcosmq>); |
||
|
|
|
' |
(10.18) |
= |
2 (T *? COS тф + Ts3 sin тф ); |
|||
|
/п=0 |
JJI |
|
|
|
00 |
до |
|
|
o ® = |
2 |
('Сфз sin mф 4- T S |
COS тф ). |
|
|
|
fn=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Внося |
разложения (10.18) |
и (10.12) в (10.7), получаем относительно |
|||||||
функций |
xfj (i, |
j — s, |
ф, 3) |
(для |
любой |
|
гармоники |
т) следующую |
|
систему уравнений; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
, |
т (*, |
COS0 |
. (ft) |
JAW |
,_ |
!«-(*> |
1 ^*(ft) . |
|
Т |
”1- ‘Т"154' + |
—:— V^-ss |
:фф) г |
“^~Ts3-----£"^53 |
4“ |
||||
ds
|
4. Л . |
T <AO |
i |
i_ |
2cos6 r {k) 4 sin0 T <*J |
1 r * (A) 4 . |
|
ds |
+ ~ |
тфф- |
|
p |
1----- -— Т(рз-----тф, -+- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4_L (J !!L -'•(«4. |
ds |
T*t«\ _ n. |
(10.19) |
||||||||
|
+ |
Л |
\ |
ds |
т*ф + |
Ts<p у _ |
U* |
|
||||
< 3* |
, m _(A) |
, |
cos 0 _f/r) |
|
1 |
_(A) |
|
sin 0 |
„<*) |
|||
ds |
г |
Тф3 |
|
r |
Ts3 |
|
Rs Tss |
|
7 |
Тфф |
||
— |
1 T*W . |
1 |
I |
dh |
_'*<*) |
I |
dh |
-•(*) |
: |
л /з |
- ° - |
|
/Г Тзэ |
+ |
X |
|
" d r Ts3 |
+ |
“d T Ts3 |
) + |
|||||
Очевидно, аналогичную систему уравнений будем иметь для компо нент, отмеченных знаком тильда.
На основе равенств (10.8), (10.9) с учетом (10.15), (10.18) получаем
зависимость |
между моментами напряжений |
и |
моментами |
дефор |
||
маций у[/), |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
= |
Л (сп Ук5+ |
с12Уф<р + с13узз); |
Тф] = |
Ас44уЙ; |
|
т?ф= h fa лую}Ч- c22yJJ Н- с?3у$у, |
= |
Hedy'S; |
(10.20) |
|||
тзз} = |
h (спу $ + |
с23у й + адз?); |
т $ = |
/iCeevS- |
|
|
Пусть оболочка постоянной толщины находится под действием осе симметричной нагрузки. Тогда из (10.19) получаем систему
|
.dX}jL 4_ |
cos6 /-<« _ |
т№Ч |
_.<« |
|
_L т\<*> — O' |
||||||
|
ds |
г |
r |
vT« |
хфф; |
-о— TS3 |
----- j- TS3 |
— u, |
||||
|
|
|
|
_(k) |
1 |
|
|
|
|
|
|
(10.21) |
|
^ xs3 |
, c o s 0 |
„(*) |
sin 0 |
„(A) |
1 |
_•(« |
I |
||||
|
~dT~ + —7 ~ Ts3 _ |
|
T s s |
— |
TФФ------ T33 |
+ |
||||||
|
|
|
|
+ A Z f » 0 , |
AGIO, ЛП. |
|
|
|
|
|||
в которой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*2? = |
h ^cu |
|
4- |
vw'j + |
|
|
(cos 0tf> + |
sin 8i^>) + £й EJ'^ J; |
||||
= |
h[ci2{~ik~ + |
v3k)) + |
"T* (cos 0О? |
+ |
sin 6u3A)) + |
*A3 w3{/°]; |
||||||
тзз = |
Л[ C13 ( - % - |
+ |
-jj- |
+ |
~f~ (cos 0t)W + |
sin 0 if 0 + |
; |
|||||
*!? « |
+ i iff*). |
(10.22) |
§11. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ
ИКОНИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКИ
1.Цилиндрическая оболочка. Из приведенных в § 10 уравнений
при определенных значениях геометрических параметров вытекает ряд частных случаев. Ниже рассмотрим некоторые из них. В частности,
если положить |
0 = |
Rs = |
°о, г = |
R (R = const), |
то |
будем |
иметь |
||
уравнения |
цилиндрической |
оболочки. |
Предположим |
для простоты, |
|||||
что оболочка |
постоянной толщины (h — const, |
л |
|
Если |
ввести |
||||
h — 0). |
|||||||||
обозначения |
а{£] = ffi¥,oS8= |
o\z, ....offi = о*?; |
F ^ |
= |
F\k), |
F{® = |
|||
= ^ fe); s = |
xx\ Rq> = |
x2, то из (10.7) — (10.9) и |
(10.6) |
получим |
урав |
||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* * |
+ J ^ - _ ^ о У + A fP - O ; |
|
|
|
|||
|
|
дх, |
|
|
|
|
|
|
|
|
da\k^ |
4- |
да$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д х\ |
дха |
+ |
T |
O“ _ |
|
X |
<tS*’ + |
a f ^ |
= |
0: |
|
|||
|
бо13 |
+ |
|
■— Г < ' - |
|
|
|
|
*' = |
|
|
||||
|
dxi |
дх, |
X |
|
|
' |
°- |
||||||||
Лк) |
|
|
|
|
|
|
|
вида |
|
|
|
|
|
||
в которых <щ — моменты напряжении |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
/ |
d u f |
|
|
(Л) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
i n |
B* J |
• |
||||
Й'“ |
л 1с« - х г |
+ |
1\ |
|
+ |
+ |
|||||||||
|
h |
uз |
J* |
||||||||||||
сг$ = |
he. |
M |
L |
!_„<» + |
J _ UW |
|
|
|
|
|
|||||
23 |
44 |
дх, |
R |
2 |
'Г |
h |
и2 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
ди№ |
I |
|
^ |
G\k2] = he |
|
a«./> |
|
|
|||||
a{$ -Ьсььу-дх^ -г Л "l у* |
у |
д*Г 4- |
dx9 |
||||||||||||
~12----- - |
|||||||||||||||
( 11. 1)
(H.2)
где с(7 = c/f (i, j = 1, 2, 3).
Примем для определенности W нечетным, т. е. N = 2п 4- 1 (я =
= 0, 1, ...). Если внести соотношения упругости (11.2) в уравнения (11.1) и провести некоторые преобразования, то придем к системе уравнений в моментах вектора перемещений
|
дЧ?' |
f- cee |
дЧ\к' |
Ь (с1г 4" cee) |
д*4к) |
|
... |
= |
0; |
|
£ ц |
— |
^2 |
dxtdx2 |
^ М\ |
4" F[ |
|||||
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Cl, + |
+ |
с„ |
|
+ е„ |
+ |
лйи + |
I f 1 = |
0; |
(11.3) |
|
|
|
|
|
3*1 |
|
|
|
|
|
|
|
с « - ? З Г - + с |
« |
|
+ м $' + Ф = 0. |
2 n + 1). |
|||||
Здесь^через |
(t = |
1, |
2, |
3) обозначены выражения, содержащие |
||||||
искомые функции uifc), и |
их |
частные |
производные первого порядка. |
|||||||
При |
k = 2т |
(т £ [0, п I) |
они имеют |
вид |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
/=0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
- - ^ - Е ^ + О Р й " " ! 2'’; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/и2 |
_ |
С22+ |
С44 |
^ |
|
С44 |
,.<2т) |
, |
|
|
|
|
|
|
-------- 3 |
|
^2-W3 |
+ |
|
|
||||||
|
+ |
IT S (4/ + |
3) ( |
|
+ |
S?'"’ |
ди(э2/+,> |
|
|
|||||
|
|
' ~ * |
г |
|
|
|||||||||
|
|
|
1= 0 |
|
|
|
|
|
l2t+ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
— & Ё ( 4' + |
о й*!»®1; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= ____ £т2_ g“ (l2m> |
_ Ст + |
Си |
М 2т> _ |
С22 tl(2m) |
I |
(11.4) |
||||||
|
|
|
|
R |
<?*, |
|
R |
дх„ |
|
,л">ч |
|
|||
|
|
|
|
|
|
R2 «3 |
“Г |
|
||||||
|
|
|
|
|
ди?1+Х) |
, |
S»(m) |
М !< + " |
с , , (3 /+ II |
| |
||||
+ “г £ ( 4/ + 3) |
^ + I |
ах, |
||||||||||||
+*>■»+>— к ; ------ г г “ з |
J |
- |
||||||||||||
|
;=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- - F - S < 4/ + O P W , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
/=I |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
введены такие обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
,'(m) |
1~ -c66, если |
|
*'<m) |
J - с 13. если ; < т ; |
|
||||||||
|
'2/+1 = |
i |
c13, |
если l> m \ |
O2/+1 — У |
сЬ6, если /! > т ; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
I |
|
||||||||
|
|
|
m— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р Г - |
|
Yi |
(4m — 4^7-1), |
o ( |
m ) |
n i |
|
|
|
|
|||
|
|
P21 — P |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
q=m—l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя в (11.5) с13 на с23 и сьь на с44, получаем выражения для 6J{+)I
и 6L>'+| |
соответственно. |
п\) |
|
|
|
|
При |
k — 2т + 1 |
(/п ^ [0, |
имеем |
|
||
|
Ж Г М, _ |
|
+ 4 |
- | (4/ + I ) « J « ^ . _ |
||
|
|
- - ^ - S |
( 4' + |
3) a27W w+,); |
||
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
m <2m+l) |
_ c22 + |
cii |
^ |
2OT+1> |
^ 4 ц (2 т + 1) |
+ i | > + I) h p - t f " + e - - ^ ) — fc- S ( « + 3)aS?M w+l>;
|
|
|
я |
dx\ |
|
|
|
|
dx9 |
|
^22 #,(2tfl+l) |
* |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
^2 ^3 |
I |
|
|||||
|
|
|
|
(m) |
^U<12/’ |
|
£”(m> |
^ы22Л |
|
■ « Г | - |
|
||||
|
+ - г Е ( « + 1 ) ( й ' |
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|||||
|
|
/«о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
---- ТГГ S |
(4( + |
3>c® .,«f+'). |
|
|
|
|
|||||
Здесь |
|
|
|
|
(=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— c6&, если |
/< !m ; |
|
~,( |
|
— c13, |
если |
l ^ |
m; |
|
||||
|
r |
= { |
|
|
|
||||||||||
|
c1S, если |
/> m ; |
|
Й в,> = |
|l |
c5&, |
если |
/> m ;' |
(11.8) |
||||||
|
|
ГЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 2? + != |
S |
(4m — 4(7+1); |
o i" + i= o f e b |
если / > m . |
|
(П .9) |
|||||||||
|
|
Q=m—l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание IL L |
Аналогичный |
вид |
имеют |
уравнения при |
четных |
||||||||||
значениях |
N , |
т. е. |
при N = 2п {п = |
1, 2, |
...). |
|
|
|
|
||||||
2. |
Интегрирование разрешающих уравнений. Метод тригонометри |
||||||||||||||
ческих рядов. Этот метод, используемый в классической теории ани |
|||||||||||||||
зотропных оболочек [7], может быть использован и в обобщенной тео |
|||||||||||||||
рии. Покажем это на примере ортотропной |
цилиндрической |
оболочки |
|||||||||||||
открытого |
профиля. Пусть |
оболочка размера |
а |
по образующей и Ь |
|||||||||||
по дуге поперечного круга находится под действием нормальной внеш ней нагрузки, которую будем считать разложимой в ряд Фурье по координате, изменяющейся вдоль образующей. Тогда из (10.11) при Ф[к) = 0 имеем
f f = 2 / « s i n - 2 S i . . |
(11.10) |
(Р> |
|
Допустим, что по криволинейному краю она шарнирно закреплена, т. е. при Xj = 0, а имеют место условия
off = 0, u p = 0; u p = 0, |
[0, 2л + 1], |
(11.11) |
которые можно интерпретировать таким образом: край оболочки при креплен к тонкой мембране, нерастяжимой в своей плоскости и по датливой при выходе из нее.
Что |
касается граничных условий |
на |
прямолинейных |
кромках |
||||
(х2 = 0, |
&), то они пока могут |
быть |
произвольными. |
|
|
|||
Очевидно, условия |
(11.11) будут |
удовлетворены, |
если |
моменты |
||||
|
|
u |
ibi |
принять в виде |
|
|
||
компонент вектора перемещении |
и) |
|
|
|||||
u p = |
2 Y\kJ cos |
; u p = |
£ |
Yf> sin |
(/ = |
2 ,3 ) , |
(11.12) |
|
|
(p) |
|
(P ) |
|
|
|
|
|
где Yjp |
— функции переменной |
x2. |
|
|
|
|
|
|
Внося значения (11.10) и (11.12) в (11.3), получаем для любого р
следующую систему уравнений:
se
где А = {Л^}о/; В = С = {Q/}^ — квадратные матрицы порядка (N + 1) X (N 4- 1), У0 и Fp — вектор-столбцы размера N +
Ч* 1.
Пусть кромки прямолинейного края шарнирно закреплены. Это
значит, |
что при х2 = О, b выполняются |
условия |
|
|
= 0 , «<*> = 0 , Ц*> = 0 , |
k £ (0, 2n + 1]. |
(11.1-4) |
Тогда |
примем |
|
|
y W |
__ V |
\Л*> , ..n |
Щ *г |
1 IP |
— |
Г IPQ 5Ш |
l ---- |
|
(<7) |
|
|
( / = 1 , 3);
(11.15)
Kg = 2 y & cos |
7 = |
|
(?) |
|
|
Если внести (11.15) в (11.13), то |
получим относительно |
постоянных |
Y\p„(i — 1, 2, 3) алгебраическую |
систему уравнений. В |
зависимости |
от того, конечное или бесконечное число членов удерживается в раз ложениях (11.10), (11.2) и (11.15), будем иметь конечную или бесконеч ную систему уравнений. В последнем случае необходимо исследовать вопрос о сходимости рядов.
Имея функции иУ*\ по формулам (11.2) определяем моменты напря жений off
3. Коническая оболочка. Уравнения конической оболочки полу-
чим |
из |
(10.7), |
если положить |
в |
них |
/?5 = |
оо, 0 = —------Р, |
где |
р — угол раствора. Предполагая |
при этом, что оболочка нахо |
|||||
дится в |
условиях |
осевой симметрии, |
имеем |
|
|
||
|
|
|
« - |
о |
- X |
о*0« |
+ |
* d°l53J |
+ |
Sin P |
COS P |
|
df |
|
r |
r |
|
|
|
'2* + t |
03**)+ |
= 0, ftelO.Afi, |
где
|
= Ji |
/ |
|
SS |
\ |
||
|
|||
|
|
dll'* |
l |
dh |
ds |
h |
ds 1 |
|
+ С-12 |
r sinp |
u f + COSr P |
“p ) — |
|
|
|
||
|
|
/ < |
’ |
] |
dh |
|
1 |
dh |
Us4k) 1+ |
QФ |
y12\ ds |
|
h |
ds |
1 |
h |
ds |
||
|
|
sin P |
«'*’ + - |
cos P |
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
(П .17) |
||
|
|
* |
- * |
К |
( |
|
т |
- |
4 - г |
- |
г |
- 4 |
4 |
*;“ ) + |
|||
|
|
|
+ е» (- ^ |
“f |
+ |
|
< |
) |
+ |
< |
’]; |
|
|
||||
|
° g |
= Нсьъ |
l^L + ± |
|
3 |
„'(«-1 .J L и-m_ |
.JA |
«;<*]. |
|||||||||
|
ds |
^ |
h |
|
h |
ds |
s |
|
h |
ds |
|
||||||
§ 12. СФЕРИЧЕСКАЯ И ТОРОИДАЛЬНАЯ ОБОЛОЧКИ |
|
|
|
||||||||||||||
1. |
|
Уравнения |
оболочек в сферической системе координат. Рассмо |
||||||||||||||
трим трансверсально-изотропную сферическую |
оболочку |
постоянной |
|||||||||||||||
толщины. Допустим, что срединная поверхность радиуса R отнесена |
|||||||||||||||||
к сферической системе |
координат |
0, |
ф (0 ^ |
0 ^ |
я, |
0 ^ <р < 2я). |
|||||||||||
Полагая в (10.7) s = |
RQ, Rs = |
R, г = |
R sin 6, |
получаем |
следующую |
||||||||||||
систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Цнэ . |
|
1 |
|
|
< |
|
ctg 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
R |
дв |
|
R sin 0 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
I |
_L a A)____L a*(« — 0: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
' |
|
/? |
°0 3 |
h |
u 03 |
|
|
|
|
|
||
1 |
йд9ф |
+ |
I |
|
^д|рф |
- |
|
2 ctg 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
ae |
R sin 0 |
“ аф“ |
^ |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
ae |
^ |
R sin 0 |
a<p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- 4п- eS*4 W f = 0. лею. JV].
Соотношения упругости (10.6), (10.8) в рассматриваемой системе коор динат преобразуются к виду
0 |
$ = Л (M g + М |
2 + М?>: |
= ЛМ $ |
(12.2) |
|||
|
= |
ft ( M |
e |
+ М |
& |
+ M S ’); |
= Лс« < © |
o g = |
Л (Ciargg + |
c13ej^ + |
c^eg); |
°вф = |
|
||
где
|
ft#» |
|
|
|
|
|
|
|
|
а ^ |
- g e- ft(A>4- — |
а<А>- |
|||
|
|
|
ф_ 4- |
||||
^фф |
Я sin 0 |
|
Ф + |
R ив ^ |
R |
иа |
» |
аф |
|
|
|
|
|||
|
аы(« |
|
i |
a # |
ctg 0 |
w<*>; |
|
4 ф — я |
<?___ j_ |
R sin 6 |
дф |
R |
|
||
ae |
|
|
ф * |
||||
ет |
R дв |
_____L a(« + |
— «;(«; |
|
(12.3) |
|||
евз |
R |
“ () |
• |
h |
ив * |
|
||
|
I |
dui*' |
I |
|
|
I |
и'(лК |
|
|
-------------- ----------—«(*) 4- — |
|
||||||
|
R s in 0 |
dip |
R |
“ <P ' |
А |
ф * |
|
|
Путем подстановки равенств (12.2), (12.3) в (12.1) нетрудно запи сать систему уравнений равновесия оболочки в сферических коорди натах. Однако ниже рассмотрим комплексный вид указанных урав нений.
2. Комллесная форма разрешающих уравнений сферической обо лочки. Проведем стереографическую проекцию сферы единичного ра
диуса на экваториальную полость |
и на ней введем декартовы коор |
||
динаты х и у по формулам |
[25]: |
|
|
х = tg 6 |
cos ф, |
у = tg-g6-sinqp. |
(12.4) |
Тогда метрику на поверхности сферы радиуса R можно записать в по |
|||
лярных координатах г — tg |
<р или декартовых х, у таким образом |
||
(571: |
|
|
|
ds" = fj - ffijr (** + |
' W ) = |
( l + ^ ‘+ if l. i“*‘ + W ). |
(12.5) |
Если учесть значения (12.4), то будем иметь [24]:
ds2 = Л (dx2+ dy2), |
(12.6) |
где Л = 4R2cos4
Из (12.6) видно, что метрика сферы получается из метрики евклидо вой плоскости путем умножения последней на функцию Л.
Воспользуемся далее формулами преобразования компонент тен зора напряжений и вектора перемещений при переходе от одной си стемы координат к другой, в данном случае от декартовой (х, у) к по
лярной = |
tg |
<pj. Запишем эти формулы в таком виде: |
|
||||||||
|
«ее = °п |
( du \2 |
- |
n |
dx |
du . |
|
/ dx \2 |
|
||
|
(-£ •) |
2а* S T ~ST + |
° » (-*•) : |
|
|||||||
|
|
|
( |
dx У |
+ |
2а13 |
dx |
dy |
|
|
|
|
'ФФ |
= а” (“5г) |
ds |
ds + |
|
|
|
||||
% |
= |
(0.1 - |
® м ) -з г - |г |
+ а» |
[(-ж -)’ - |
( -з г )2] : |
<12-7> |
||||
а |
|
|
dy |
|
|
dx |
Ф& |
|
dx |
f23 ds |
|
03 |
13 |
ds |
~ ° 23"5Г ’ |
rW |
ds |
|
|||||
|
|
a< |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dy |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 ds ■ « , Л ; «.
где ds — элемент длины дуги кривой, лежащей в евклидовой плоскости.
Отсюда, |
|
учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dx __ |
|
|
sin ф |
0 |
. |
dy |
|
|
cos ip |
( 12.8) |
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
ds |
|
2R cos2 - 75- |
|||
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2R cos2 ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ИЗВестным |
способом |
[21] получаем равенства |
|
|
|||||||||
|
|
°1S |
+ |
|
С |
|
= |
х |
и |
? |
|
+°'!ЪО |
= |
|
o |
g 8 - |
« |
& |
+ 2 4 |
‘<J= |
x |
|
<“ № - |
(12.9) |
|||
|
|
+ 2 iO |
|||||||||||
|
|
< > + |
4 3 |
= |
|
(а® + ‘' О |
е~'Ф; |
|
|||||
|
|
|
|
+ |
iuM = у ~ |
(«Iм + |
ш?’> е -'ф. |
(12.10) |
|||||
Из (12.2) |
и |
(12.3) |
имеем |
соотношения |
|
|
|
|
|||||
а$0 + СТфф =7 |
|^(С12 "Ь См) ^ |
1 |
|
|
^ h~ UZk) * |
||||||||
< - < i + 2toiS = 2^ «[(^ 00 |
+ |
sin 0 |
dtp |
||||||||||
|
- Х Г |
<*№+ *ст$ |
= hc\ |
- х |
Н*> + |
- ) № |
+ |
'•«!?’)]: |
|
|
( J ___— |
_|___ i__ |
д |
\ ц(к) _ |
|
^ R |
60 |
* sin 0 |
6ф j 3 |
|
Ч*') + |
х |
W " + |
Ч |
‘’>]; |
|
|
= * [«.»(в<й + |
х < > ) + - X |
< |
’] . |
|
|
(12. 11) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81*1= 4 - |
Ч *’ |
+ |
|
1 |
ди1У |
|
|
|
|
|
( 12. 12) |
|
|
|
2 - + ctg0««)- |
|
|
|||||||||
|
|
/? |
60 |
R sin 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
6ф |
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим |
комплексные переменные |
г = х |
+ |
iy, |
2 = |
х — iy и |
|||||||
связанные с |
ними дифференциальные |
операторы |
[25]: |
|
|
||||||||
д |
|
1 ( д |
|
. 6 \ |
д |
” |
1 / 6 |
+ |
, . |
6 \ |
/ю 1 Ч \ |
||
дг |
~ |
2 [ д х |
1 |
д у ) ’ |
£ |
2 (дх |
1 |
ду ) * |
(12 - 13^ |
||||
Если учесть формулы (12.4), то получим следующие выражения:
х - = £-*Фcos2 |
|
|
|
sin 6 |
(12.14) |
дг |
ц |
60 |
|
6ф') = |
|
|
2 |
^ 60 |
^ |
sin 0 |
6ф j * |