книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек

£ ‘s (“) > И

{ s j

2(1 +

0,)-! gradsaf |* -

- 4

“ i ( l М * 1I2 +

1М

" I* +

1x “i<W’ + | х

«2Л)|9 +

-jr- «3(А) grads/t "j

(9.22)

где а х £ R ,

а , >» 0.

<

ЛГ2 ( |

|2 +

1w2(ft) |3);

4 - « з (Л) grads/i

< 2

(9.23)

( £ )

V

‘’is.

Оценим члены,

отмеченные

штрихом,

т. е.

Л/

т

ГН

m

(9.24)

Е | « П 2 = 2 1

S ( «

+ 3 ) « r + "

+

S

(4г + 1 ) « Г

&=0

*=0

(а =

1, 2).

/=fc+l

Отсюда, используя второе неравенство (9.21), получаем оценку

S

l««“ l2< ( W + l) f j V +

4 - V S l « ? , |2.

(9-25)

Е

| а 3"'м |г< (Л Г -1 )(л ? +

4 - ) г 2

Ю

2.

(9.26)

А=0

V

г /

к—О

На основе допущений (9.2)

имеем

i M

a

T

^ l C I2.

(9.27)

Учитывая

значения (9.23) и

(9.25) — (9.27), перепишем неравенство

(9.22) таким образом:

e ? s (и ) >JJ {£ [

g ra1d s

1а - «

А

( | К I Т 2) -+

- a A

| K

f | 2|d S ,

(9.28)

где А, = - | - [eg + (Л7 +

1)(л^ +

4

) V

2];

=

3(JV — 1)(Л7 + - i- )‘x

X

Из

(9.28)

следует

E2I3 («) >

^ { T+'a j

1 grads u |L=(S) — a , (kx| u |L*(5>+ К I u |L«CS))- (9.29)

1“ зfwi(S) ^

cs И

16rad5 «з I2 dS

> 0).

(9-ЗСУ.

получаем

1

-2

^

a l cS

^15

(U) >

Т2 (1 +

0 ^ 4 “

C ’ (S) а »

II

t *<S))- (9 -31)

Els (и) = Я

{ 1

1

I

aAt

Ik)

, (ft)

—

" d i r +

A LA 2

d i2

u>

-

k №

5

{k=C

1

1

dh

"(ft)

+

1

(

1

duf

i

du™

h

A,

d ti

Ul

2

l

A%

dtx

+

At

d£2

__

>

M i

(ft)

1

dA2

(A)____1___ \__

dh

"(ft)

AXA,

d|2

A,A2

d£,

“ 2

A

Л,

d|t

“ 2

1

I

dh

"(*)

1

*8»

,

1

w 2

Л

Л2

d|2 «1

+

A2

d|2

^

ДХЛ2

d|t

1

1

dh

„"(ft)

dS.

(9.32)

А

Л2

d£2

“ 2

(9.27) неравенства,

получаем

N

г

E ls (и) >

№

а,

1

ди^

1

/

1

dt№

1+ а 2

А,

«Е,

+ 2

\

At

dlx

+

1

аИ<*>х

2

,

<ц»

2\

+ А* д$2

+

^

j - ^ M w r p + l ^ ’P ) -

— а а&41 4й Р 11dS,

(9.33)

где

« 2£ Я , а2> 0 ;

=

7 [(-^ -)!' +

-

1>(^ +

- Й ’ ^ У

]

к‘ =

= 64.

Воспользуемся далее первым неравенством Корна для двухмерной

теории упругости (135]. Для вектор-функции u(A),

V & 6 [О,

N],

оно

записывается

таким

образом:

”

И

aS Г■&<%Лг> 41 u“

Vu <wS^5(£2).

(9.34)

где

^ > 0 ;

_<»

а“1И

.

I»

. I

( а4*’

.

М » \

(В

«4В

(9 351

™ -

И Г

1'

т1г

И ^ И Г

+

~ ш г ) •

Т!! =

И г

■ (

’

ди\к)

+

I (

1

duik)

I

ди\®

+

]

ди!р

Аг

^2

>

с21 u№) h2w.(S).

V«'“ 6W !(S)

(сг > 0 )

(9.36)

*i. таким образом,

Els (и) >

т ¥ а Г

^- Hw'(S) ““ а 2(k3II и ||L*(S) +

/г41| u ||L»(S>).

(9.37)

Складывая неравенства (9.19), (9.31), (9.37), будем иметь

Е%(и) >

с3(1 grads и ||L.(S) +

1| grads « ||L*(S)) +

+

£4II и ||L»{S) +

Сь | и ||L*(5).

(9.38)

Здесь

. (

aiCS 1

ЛаСа

\

3

\

2 (1 +

at)

•

1 + «г У

(9.39)

OtgCo

а лс.-I

сл =

СЬ —

1 + а 2

а 1 ^ 1

&2^3>

2 ( 1 + С С 1)

а 1 ^ 2

а 2 ^4 -

с4 > 0 ,

сь > 0. Тогда

получим

£ ! ( « ) >

с, и ^ я ,

(9.40)

где ct

=

min (cs, с4, сь). Из (9.5), (9.40), очевидно, следует неравенство

(9.4)

и, таким образом,

теорема доказана.

Согласно (135] из теоремы 9.1

вытекает

решений задачи (7.13) важную роль играет

Теорема 9.3. Если выполнены условия 1) — 4), то

существует по­

стоянная с > 0 такая,

что

а (и,

и) +

1 и ||L»(S)> с Iufwi(5).

(9.41)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно неравенству (9.4) имеем

а (и>и) -f-1 и ||L«(S) ^ схЕ%(и) + I и |L*(5).

(9.42).

cl — min

°4gf

atc1c2

\

2 (1+

04)

'

l + « J '

*

,

Г а, (с, — 1)

,

,1

(9.49)

C4 =

1 +

I

j _j_ a

otj/fj

a 2^sJ»

£5

1

4

I

^2^4)’

Произвольные

постоянные 04

и а а всегда

можно подобрать такими,

чтобы константы с* и cs были

положительными. Тогда,

полагая с =s

= min (сз, cl,

cl), из (9.48) следует

неравенство (9.41)

и теорема до­

казана.

[—

1

/

*

\

I

2

J

, l

V

/пи

i\ dh (ft—2m—l)

5Л

(ft-2m-l)'

А

(2*!-4т-1)(-5Г ол

+ _

_

0ф(

/л=0

(Ю.З)

r(ft)

>

( - 1)# M ’S] +

(< =

s, 9, 3),

f ? ’

= -J- [Ц+РЙ -

причем

И+ - [ ( ■ + l ) ' - ( - # ) T [ ( . + ' f ^ r + ( 4- ^ ) ' j

(10.4)

_ [ ( . _

+

заданными на кривой dS. Граничные

условия на

поверхностях 5^,

S r при

S t

= 5Г =

0

учитываются

функциями

Ff* (i =

s, q>, 3),

4.

Уравнения

оболочек

вращения

при

постоянной

метрике по

толщине. В случае, когда изменением метрики по толщине можно

пренебречь

(см. п.

3 § 5), равновесие оболочек вращения описывается

уравнениями

doss

,

1

да%

,

cos 9

,_(*)

„<А)Ч ,

I

„(ft)

1 „.(ft) ,

ds

+

“Г

дф

“I----- Г ~

+

- д - <ЬЗ — — <7s3

+

+

I

( dh

„'.(ft)

,

1

dh

,

[~ д Г а ss

+

T

“d ^ (Is®

) +

,

1

( dh

.(ft)

,

1

dh

.<A)\

. .(ft, _

n.

+ ~ h \~ d ra$s

+ —

) + n**

5aff

,

1

5офф

, 2 cos 9

_(ft)

,

sin 9 „(ft)

I „♦<*>

,

- д Г

+ — - Ъ Г + — Т—

а*‘ + - Т

- ,’«3 —

(Г0*’

+

I

1

( dh

„'-(ft)

I

1

dh

+

+

1 Г \ д Г а5,Р

+ —T

дф

+

I

( d h

.(ft)

.

1

dh

.(ft)\

, р.ык)

= 0;

(10.7)

— [—

+ T - a ?

5

da&}

,

i

fa ff

,

cos e

,ft,

1

„(ft)

sin 9 „(А)

1

rrw

““

11Уфф *

ds

г

дф

i

^

~

-

~'*

0S!

4T

dh

••(«

,

1

dh

'*(ft)\

- т

° я

" +

l - F

5»

+

T

^

<r®3

j

a соотношения между моментами напряжений сг}**

(i,

/ = s, ф, <5) и мо*

ментами деформаций

(i, / == s, q>,

5) выражаются

формулами

а» =

Л(<?u eff -Ь claeff, +

с13е(зз);

off —

о<$> — h (clgeff +

с82е $ +

c jS Y ,

off =

tofcd?;

(Ю-в)

сг® =

Л (с13е{£ +

Caeejg, 4- с83езз);

off

=

/wfl6eff),

в которых

_

„(*).

JA) _

„(ft) I

„(Л).

^ss — bss f

=

85ф ~Г Ьф$>

«

= С ;

е'§ _

г)? +

«8У;

(10-91

е$ =

е(рз +