книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек
..pdfs=0 |
i l 8 5=0 |
|
fe£ 10, л]; |
c„V> («§“+'’ _ „»•+») _ |
d ifit+ fa !. uf +" + - i * - « p + » - |
---£s|!i.8m+i, |
^ |
+ ^ . 91аи-ц + |
' |
V (4s + ,) 8g>eB“- |
|||||||||
|
|
|
сэзК |
|
|
|
|
|
n |
s=0 |
|
|
|
|
TyT s? 0 (4s + |
1) « Р -----JCo (4s + |
3) <4s+iM32s+1) -f- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(—) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Т ^ |
. - |
(4,,+”) ^ |
• |
А е|0 ' Я|- |
|
(15.12) |
|||||
|
|
|
|||||||||||
Здесь |
V2 *s* - i. -^£__-----оператор |
|
Лапласа |
на поверхности |
сферы; |
||||||||
«й и . |
б& , И <®, |
«5» — постоянные |
вида |
(11.5) |
и (11.8) |
при усло |
|||||||
виях, |
что с13 = с23, |
си = |
съъ; |
с*си = |
си |
4- 2 (с12 + |
с„0). |
|
|
||||
Частное решение неоднородной системы ищем в виде |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.13) |
гДе ук , y t — постоянные, определяемые |
из |
системы |
уравнений |
||||||||||
|
^ (С12~Н |
( Й |
+ |
■ |
¥ - |
S |
<4s + |
3) l l - +1 |
+ |
|
|||
|
"ee*> |
|
|||||||||||
|
lV2frJ |
|
|
c ee |
S=0s—0 |
|
|
172S+1 |
|
|
|||
n
+1 fO
^6^ |
l ^ 1} - |
{ |
j 4 + f - S ( 4 . + l ) ( Й + |
|||
IV2A+U |
|
lV2л+и |
^ee sa0 |
lY2sJ |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
+ ^ |
- l o |
( 4 s + 3 )* |
' ( l t : ) = |
(4л + |
3) Сдз/? |
|
Для определения |
общего |
решения v f\ |
0oft) однородной системы |
|||
(15.9) — (15.12) поступаем таким же образом, как и в [21J. Применим
к уравнениям (15.9) оператор и в найденных равенствах рас
смотрим их вещественные части. Учитывая при этом тождество [251:
J___ д_ J __ д_ д д (■)
Л дг Л dz |
52 Л |
ог |
* * * • + - Э " |
|
|
11 5 = 0 |
|
з) < & . * * * " + |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4- |
|
|
8 f 1 4- - с» |
V |
Me _L ч'| o|2s+1> — |
|
|||
+ |
|
|
|
^ Ж й , (4 5 + 3 )0 ° |
|
||||
- - f f i - |
I , |
<4s + |
D № |
= |
о, |
к e [о ,«]. |
(15.14) |
||
Аналогично из |
(lo .Il) |
получаем |
равенство |
|
|
||||
V2e f + " + |
|
- т % - + Н |
_ |
_f!L _ |
г9р +п _ |
|
|||
|
|
|
11 |
|
|
^11^33 |
|
|
|
- |
|
|
|
|
^ |
(4s + |
I) 62*V^-> -|- |
||
+ ■ ■ *% **■ e f + " + |
" + |
i Sf e r |
£ ‘4 s + » |
efs’ - |
|||||
--------Ц г |
£ |
|
(4s + |
3)4 ‘,+ i8f |
+l’ = 0 , |
* e Ю, Я]. |
(15. 15) |
||
CJJЯ |
S—0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Присоединим к (15. И), (15.15) однородные уравнения (15.10) и (15.12), т. е.
V ^ 2A) — |
A\CM± ^ - V ? k) — ~ |
е[,2А)------ 2 |
(45 + 3) uj?s+l) + |
|
|||||||||||
|
|
^ 4 4 '' |
|
|
А |
|
|
C44*v* |
5 = 0 |
|
|
|
|||
+ - Л |
- |
£ |
(4 s+ |
3)^*+|в"!+11 — |
^ |
- |
£ |
( 4 * + 1 ) |
r t w |
- |
о. |
||||
С44/<П |
S==Q |
|
|
|
|
с44д |
|
5=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
* €Ю, л]; |
|
|
|
|
|
|
(15.16) |
||
V2 ( o f + |>- |
o f +,>) - |
|
t |
aCg L |
o f +,) + |
— |
o f 4 » - |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
44*^ |
|
|
|
|
с 33с 4 4 ^ |
|
|
|
|
Г |
e f +» + |
Cit l |
^ |
3 » f + " + |
сцЬ |
2 |
<4s + |
1) 5 g ’9 p |
- |
||||||
R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
s=o |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
L33 |
2 |
(4s + |
3 ) < + i o f +1, = |
0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
c« fta |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ € |
[0, |
л]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(15 17) |
Необходимо отметить, что последнее (k = л) уравнение (15.17)
переходит в алгебраическое. Из этого уравнения определяем функцию
п(2п+1) |
_ |
2 ,.<2л+1) |
|
Cja^? \S ,а_ . |
, ч / л (25) |
. |
2 (2s)\ |
0 о |
-------I T * 3 |
“ |
Ж % л" 5й ,(4 з + 1 } Г |
+ |
“1Г 0* J “ |
||
|
|
-----2 ^ Р " |
J0<4s + - 3> |
+U. |
|
(15.18) |
|
|
|
|
|
||||
лено в виде
4/1+3
Д|
Отсюда следует, что
где Wp — решения уравнений
|
|
II |
о |
|
|
• |
|
4п+3 |
|
|
|
= |
2 |
v „ |
|
Р=1 |
|
|
|
k\ |
. ш |
|
о |
- р |
— |
||
Rh |
W P |
и* |
|
(15.26)
(15.27)
(15.28)
Необходимо отметить, что корни k% /? £ [1, Ап + 3] могут быть
как вещественными, так и комплексно-сопряженными. Если, напри мер, последние 2г корня комплексно-сопряженные, то W представим
таким образом:
4л—2/+3 4л—г+3 _
|
г - |
2 |
Wp + |
2 |
( ^ , + |
Г ,), |
(15.29) |
||
|
|
1* |
р=4л—2г+4 |
|
|
|
|
|
|
где |
— сопряженная к |
Wp функция. |
|
|
|
v ^ \ 0oft) из |
|
||
Согласно (15.27) и (15.28) моменты функций |
(15.24) |
||||||||
преобразуются к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4л+3 |
c f w c\ |
|
|
|
4я+3 |
|
(15.30) |
|
o f = |
2 |
9(В = |
4 |
- 2 |
4 “ ®',. |
|||
|
|
P=I |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
постоянные c£ft>, |
d(ft)р |
|
;(*> |
d f } |
равенствами |
|
||
связаны о с'р', |
|
||||||||
|
|
4л+2 ^ |
d(k) |
4Л+2 л |
|
|
|||
|
I'p -- |
у |
r {k)k2m- |
|
V |
Wp |
fvp • |
|
|
|
^ |
Up ftp у |
tip -- |
|
|
|
|||
|
|
m=0 |
|
|
m=0 |
|
|
||
Нетрудно видеть, что |
и ^ |
определяются |
непосредственно при |
||||||
помощи алгебраических дополнений элементов т-й строки определи*, теля Д(4а+3*(k2p).
Внося значения (15.30) в (15.18), найдем функцию
,4п+3
С 4 *1* = |
- L £ |
d p{ n + l)W p, |
(15.31) |
|
где |
|
P = I |
|
|
|
|
|
|
|
4а + " — 4?-4,"+"- |
|
| о(4s + 1) (С + |
4ЗД) - |
|
^ |
2 |
(4 s+ |
3 ) 4 ;!H 4 2s+". |
|
s^=0 |
|
|
|
|
Замечание 15.1. При & = |
О |
уравнение (15.14) можно |
проинтегри |
|
ровать, найти из него функцию 0оО) и тем самым сократить на единицу число разрешающих уравнений. Этот прием используется в работе
Интегрируя их, будем иметь
dYk |
4rt+3 |
|
vm = iR JO ± + R S |
|
|
дг |
o“ |
~P d2 |
где a?’ = — 2kJ2$ \ Y k, k £ [0, |
2n + |
11,— произвольные веществен |
ные функции (общие решения однородных уравнений (15.35)).
Если внести (15.30), (15.31) и (15.36) в (15.9), (15.11) и использо
вать при этом тождество |
[25] |
|
|
|
1 |
^ Л & |
_ I |
^ /у 2 I |
/ \ |
— |
-д Г Л - & - г Г — !------~ |
i r ( V + ТГ)(->< |
||
то относительно функций |
получим следующую систему уравнений: |
|||
(V* + |
Г» — |
|
Г * - |
- З г I |
<* + |
I) РВ*. + |
|
|||
+ |
44 |
S |
(4s + |
3) y 2s+i = 0 , |
k £ [0, nj; |
( 15.37) |
||||
(V ’ + 4 - ) K„ +1- - J j r |
(K»+, |
+ |
^ |
r |
| |
H S+ |
I)K2i- |
|||
|
44 |
|
|
|
|
|
0—, |
0[, |
|
|
|
с«Ла s=0(4 S -} -3 ) |
|
|
|
ti\. |
|
||||
Отсюда определяем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 {«+ 0 |
|
|
|
|
(15.38) |
||
|
|
Y> = |
S |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
S=1 |
|
|
|
|
|
|
где Qs — решения уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Я? |
|
|
|
|
(15.39) |
|
|
|
T O « + - * r ^ e о* |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
в которых параметры |
Я^ — корни характеристического уравнения |
|||||||||
|
|
|
Д(2л+2) (Я2) = |
0. |
|
|
|
(15.40) |
||
Здесь Д(2'1+2) (Я2) — определитель |
вида |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
д(2п+2> |
= |
|
|
|
|
|
|
— Я2 4- |
|
|
|
|
|
|
(4п + |
3) -SJ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ивв |
|
| |
- V + - $ - < « » . + ^ « В н |
|
Коэффициенты |
определяются, очевидно, |
алгебраическими допол |
нениями элементов- т-к строки определителя |
Д (2я+2) (Я2). |
|
Р=\ |
дг |
|
|
|
A n - L 4 |
(-) |
, Ж |
|
|
|
(15.41) |
|||
|
(тГРз + |
v f |
Ра); |
|
m lk) = £ |
djjV p, /5£ [0, 2л -f- 1 |
]. |
|
|
В=1 |
|
|
|
|
Замечание 15.2. Аналогичным способом определяем общее решение уравнений равновесия оболочки при четных значениях N (N — 2п, п — 1, 2, ...). Однако при этом необходимо пользоваться формулами
(3.14).
§ 16. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
1. Преобразование уравнений (13.3) и (13.6). Рассмотрим транс версально-изотропную пластину, плоскость изотропии которой сов падает с координатной плоскостью. В этом случае
^22 ^12 ”Ь |
— с23; Сц — сБ5 |
(16.1) |
и, следовательно
Принимая во внимание равенства (16.1), (16.2), записываем урав нения (13.3) в комплексной форме. Для этого умножим второе урав нение (13.3) на i и сложим с первым. Вводя при этом комплекс ную переменную z = л* + ix2 и дифференциальные операторы (12.13),
получаем
где А = 4 ---- =— оператор Лапласа;
дгдг
Третье уравнение (12.13) перепишем таким образом;
с .М ^ " + 4 - S ( 4 S + 1) б?.’е,гя -
П 5=0
Применяя аналогичную процедуру к первым двум уравнениям си.
стемы (13.6), получаем следующее уравнение: |
|
^ |
|||
с , М ? +]’ + 2 «*, + О |
+ 4 |
Е <4s + |
1 ) « |
- |
|
|
|
02 |
п s=0 |
02 |
|
— |
S (4s^ -.3)a^ lM + +1) + |
/7+ +,, = 0, |
6 £10, п\. |
(16.6) |
|
'* |
5 = 0 |
|
|
|
|
Оставшееся третье уравнение представим в виде |
|
|
|||
|
с , м гк1+ 4 |
s < 4 5 + з) «г+10|й+|1 _ |
|
||
|
'* |
i=0 |
|
|
|
2(4s - ы ) РЙ>«Г’ 4- = 0. A e i o . s l . (16.7)
п5=1
2.Преобразование уравнений (14.5), (14.11). Аналогичным спо
собом записываются в комплексной форме уравнения (14.5) и (14.11). Следовательно,
|
«нА кР + |
2 <*, + |
«и) |
дг |
|
|
саа |
дг |
+ |
|
|
||||
|
|
|
+ 4 Е ( 4 . + з ) « в н ^ 1 1 _ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
н |
s=o |
|
|
|
дг |
|
|
|
|
|
|
|
- |
> |
! |
<4s + |
1) Й ? и ? ’ + F? '1= |
0 . |
А £ 10, п ); |
(16.8) |
||||||||
|
|
е«Аизм+н + |
4 |
5 |
(4s + |
1 )6й вт ) __ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
“ " Г Г J |
j |
<4s + |
3 > “ и+1“ зй + “ + /? * ’, |
|
А 6 Ю , П — |
1], |
(16.9) |
||||||||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 (еи + |
С,.) |
|
___ У п |
■»<*■+” |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,(2si |
сзз |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
' f S |
0( 4 s + |
О ® |
dz |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V - S > (4e + |
3) а^>+1“+ +,) + ^ |
+1) = |
о, |
А €10, |
л]; |
(16. 10) |
|||||||||
е«Д“зЛ' + |
4 |
£ ,(4 S + |
3) ^ V I60,+ I >— «и. |
(4s + |
3) в(2"+ц — |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
s=0 |
|
|
|
|
|
"" " Ж S i (4S + ^ |
^ |
в °. * € [0, л]. |
(1 6 .П ) |
§ 17. ПОСТРОЕНИЕ ОБЩИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТИН ПРИ РАСТЯЖЕНИИ — СЖАТИИ
1. Случай произвольного приближения п. Изложим метод постро
ения общего решения однородной системы уравнений (16.3), (16.5), принимая F[p = 0, Ff**1' = 0. Следуя [21], применяем к уравнениям
(16.3) операцию | - и в найденных равенствах рассматриваем вещест
венные части. В результате этого получаем уравнения
|
сп Лвт + S f - 2 |
(4s + |
3 )A u f+ " = |
0; |
(17.1) |
||||||||
|
|
|
|
п |
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СиДе'2*’ + -jr |
£ |
(4s + |
3) «!&,ДиТ 1-" - |
|
||||||||
|
|
|
|
n |
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
----ТГ £ |
(4s + |
t)PS?e®!| - 0, |
|
ki |1, rt], |
(17.2) |
|||||||
|
|
1 |
s = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенства |
(17.1) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
9'0,= |
- |
|
|
(4s+ 3)U3!s+1,+ |
-2^-u0, |
(17.3) |
||||||
|
|
|
|
c l l n 1=0 |
|
|
|
|
C13 |
|
|
||
где a0 — произвольная |
гармоническая функция. |
|
|
||||||||||
Согласно (17.3) уравнения (16.5) преобразуются к виду |
|
||||||||||||
дыз’- |
-pfc- £ |
(4S + 3)«?+" + X |
£ |
|
<4s + !)0(2,1= «о |
(17.4) |
|||||||
|
u44/b |
s=0 |
|
|
|
'• |
1=1 |
|
|
|
|
||
при k = 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДиГ+1> — ^ |
£ |
(4s + |
3) |
|
|
+ |
' |
s |
(4S + 1 ) 62>8(М= |
и0 |
|||
П |
5=0 |
|
|
|
|
|
C4A" |
s= l |
|
|
|
||
при k = 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.5) |
|
л. Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С11С83 — |
1 |
•(£) _ g3d -J*) |
|
|
J L |
|
||||||
С — ' |
|
|
0&2S+1O c -L I = |
------------ |
0 C 2 s - fl |
— |
|
||||||
|
|
^11^33 |
|
|
ь44 |
|
|
|
|
С11СМ |
|
||
Отметим, что для компактности изложения метода громоздкие значе ния постоянных приводить не будем.
Из равенств (17 5), рассматривая их как алгебраическую систему относительно функций 0(2fc>, определяем
0(2) __ |
Cjl |
|
|
|
W S . (4s 4- 3) |
I ^ПСЭЗ —‘^13 (gl3 |
g44) + |
|
|
|
L |
^11 (^18 "Ь С4а) |
g33C44 |
|
5=0 |
‘ 18 (‘ 18 + ** .) |
( 4 / + 1 )] ^ 2 ,+ 1 )'* |
||
|
|
|
|
(17.6) |
7В
|
|
|
^S3 |
S ( 4 s |
+ |
3)«3P!+H, |
* e t2 ,n \. |
|||
|
|
(cta + c44) h |
||||||||
Внося значения |
0(2*\ k £ [1» n], |
из (17.6) в (17.4), (17.5), получаем |
||||||||
следующую систему |
уравнений: |
|
|
|
|
|
4 |
|||
А |
+ |
и“"+11) ~ 4 |
|
<4s + 3>4S”+ i« f+” = |
Са t l3c,i- |
|||||
ДД (и ? + |
Y |
А* |
2 |
(45 + |
3)vg,+ iA«32s+l,+ |
|||||
|
|
|
|
s= 0 |
|
|
|
|
||
+ |
- j r |
S (is + а и в н я р ^ ' = |
- |
|
|
(17.7) |
||||
ДА |
|
- |
« f - ”) - |
4 - |
£ |
(4s + |
3) « |
" Д Г |
" + |
|
+ 4 - |
£ |
(4s + |
3) |
= |
_ |
^ W ± ll £ ! d L £ t ilS l. U| |
||||
n |
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где vS ft!>f Лй+ I1’ — безразмерные постоянные. Частное решение ее имеет вид
Из" |
“^ + , , = о . * е п . я | . |
Для определения общего решения однородной системы
S |
2 ta ( A ) « r + " = 0, ft 6(0, п], |
m=0 |
|
в которой через |
(Д) обозначены операторы вида |
(17.8)
(17.9)
£оо (А) = Л“А — ЭлР........... #о« (А) = |
Л2А — (4/г + |
3) irfiJ+iJ |
^no (А) = — ЗЛЧ2л+1)Л + ЗлГ+1), . . . , |
<£.пп(А) = |
А4Д2 - |
- ( 4 Л + 3 )(А Ч Э Д > Д _ Т1а д " ), |
|
|
воспользуемся упомянутым в § 15 операторным методом. Введем функ цию V по формулам
u t +li = |
(— 1)*+ ,М 1Л(А) V, |
(17.10) |
где Aft* (А) — миноры элементов первой строки операторной |
матрицы |
|
!| £km (А) | л+ 1)х(п+1). Выбор |
первой строки объясняется |
тем, что |
первое уравнение (17.9) (или же (17.7)) содержит оператор Лапласа в первой степени, тогда как остальные уравнения содержат его во вто рой степени.