книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек

«+ = **Ф (г) — zVW ) — ' Ж + У.

Й )Л2т+‘ ■д-"У- ;

ZZo

62

2/1

л -1

«!? = х > У (г) +

£

aSVm+l

+

V

Й ’Л!”+' i C

i ;

«1=0

дг

~

0

Й2

« Р - 2

+

J j - A W . i C L ,

* € R n j.

(17.27)

т - 0

6/2

/п = 0

*

Согласно (17.17) моменты иТ*+Х) принимают вид

из" =

— ЩЬ [ф# (z) +

ф' (г)] +

£

c\nh2nAmV\

ma=t0

(17.28)

« f + l,=

1

й г л л у т

й е н . nJ.

ш=0

а моменты 0<2,,,) из (17.14) перепишем таким образом:

0,O =

n t

J , (г) +

_____

2л

5№Лг»->д"Ч/.

, (г)] +

£

c«6n

m=0

(17.29)

0'“’=

2« .

ft?n,n).

E /tfV ’-'A T

m = 0

Здесь

(c12 -f" fafi/O Сдд — C13

V*

^C13Cn«

.

y* —

4с1Псвл

и* —

ъг r

r

»

I5c1c11t?33 *

( ,7 -30)

^1^11^33

o c l c l l c 33

шений

соответствующих уравнений Гельмгольца. Пусть /р и

Л,. —

корни

характеристических уравнений

^2(2л+1)

_|_

_|_ /±2nl2-j- Лгл+l = 0;

%»>+

л У " - 2 +

+

л

и

/ + л ; = о.

(17 31)

Допустим, что все

корни простые. В

этом

случае уравнения

(17.11)

и (17.26) могут быть представлены таким образом:

2/1+1

# Г 2) Vp = 0;

llh~2) Х5 = 0.

П (А -

П

(Д _

(17.32)

1

S=1

Тогда

2л+1

п

%

V = V V,;

X =

v

(17.33)

р=1

S=1

где Vp и Xs— решения уравнений

AVp-

t y r 2Vp = 0;

AXS -

=

0.

(17.34)

Согласно (17.33), (17.34) решения (17.27) — (17.29) системы (16.3),

(16.5)

преобразуются

к

виду

и+ =

х*ф (г) — гф' (г) — ф (z) +

ЛаГ —

;

в? =

x jA V (г) + £

Ав®- % - +

( У

Aftf

;

р=1

S=1

2п+1

и

в ? 1=

£

A e f’

+ i S

A b f ^ s - ,

А 6 [2, «];

(17.35)

2л+1

«У* =

—Л

[ф' (2) +

ф' (2)] +

£

Р=1

2я+1

e f + ,,=

£

сГ +1>Кр,

А е п .я ];

Р=1

в™ -

т ^ -

If' (г) + ? W

] +

x

Р=1 4 Х :

С1С11

П

Т

2л+1

е,и, =

4

£

| < £ %

* е п , щ .

Здесь постоянные а?*, Срй+1), d%k) и bfft) определяются равенствами

2Л

Vw

л(2Л+ 1)—

2/1

Л

а р

—

V

fr2k)12nl-

V

^A+DfZni.

ZJ

u m

>p 9

ьр

—

ZJ

Ltn

l p

t

m=0

m=0

(17.36)

2n

<C Г S Д Г Й Г ; AP = £ « » .

Ш—0

m=0

Замечание 17.1. Аналогичным способом находим общее решение

уравнений равновесия пластин при четных значениях

N,

т. е. при

N = 2п (п =

1,

2,

...).

Замечание 17.2. Изложенным выше способом можно построить об­

щее решение системы уравнений (16.8), (16.9) (см. [1221).

2.

Частные

случаи.

Приведем

далее

вид построенных решений

для нескольких

первых

приближений.

Приближение N = 1.

u+

=

и*ф (г) — гф' (z) — а|)(г) —

2сгзЛ

dV

2в1ЯА»

5ДК

5с44

:=— h

15сс3;,

<}г

^2

и<2) __ х *д2ф" до _|_

2 <gg4 c33 —54>) /г

дУ _

2сгг/га

с)АУ'

ih

ах

25с44

дг

7Я)?5с-44..

дг

+

dr ;

W3° =

— K\h 1ф' (z) +

ф' (2)] -f У,

(17.39)

где К и

X — решения

таких

уравнений:

ДДУ —

С44“

ДУ +

У = 0;

С11Л

(17.40)

|5^4 X =

дх

0.

Приближение

N = 3.

^св^2

«+ =

х*Ф

— 2ф' (г) — i^ i) +

Й У т+| 5A,”F

т=О

dz

4 ’ = X;/.W )+ 2

Й’л!”+|

P-f

+

л

дх

m—О

dz

дг

(17.41)

4 '

=

-

и!л [ф- (г) + 54F)J +

2 c ' ' W

V ;

т=О

и? =

2

сй'л2™д- v .

Здесь

т = 0

S J=

2 Юс'13 .

>

)

__

S4c13

#

~(0)

__Г

2с13с4,

#

л

__

CCt l C33 — С13С44 .

*

1

~

с..

’

“2

“

ССпСзз

’

С2 ~

С..С...

спсзэ

(2) _

42с,з (С2С1 3 +

6 с44) .

*<2) _

6 с44 .

;<2) _

п .

О — ------------ — ----------

>

“I

—

—г--- •

02 — и,

СцС44

сп

(1) _

105 (6сп с33 — с\з)

в

^(1)

42сегп г?33 +

15c44

^

-^(1) _

1в

О -------------- г:----------- I

С\

— ------------ г—:

*

02 —

If

41

С 1 1 С * 4

с?> =

_

- 45“

;зз

.

*(3)

=

3

+

5с1 Яс44)

в

ДЗ) —

■1

W

---------~

»

02

— v,

t'll

С11Ч4

У и X — решения уравнений

'

Д3У +

AxfT 2-A2V +

ЛаА"4ДУ -f- Aah~6V =

0;

(17.42)

д х — я2л~ 2х = о,

в которых

1575сс|з

'Г_сзз .

л

=

‘л* = -!**«-;

А ,'----

__________ ,

--------

I

-----

S.

*

»

^

-

9

1

С

C1\CU

свв

44

л

5сс33 (7ссп с33 — 14с,3с44 +

Зс44)

0(2А-Н) _

(2Й+2)

(44+3)(с1з+ с,1(

А («У

и П -

‘•зя

i (4s + , ) ^ '

* е ю . Я— И:

¥ + ¥ »

0(2rt+lJ _

c^h

(18.1)

(4я -f- 3) (ffjg -f- С44)

~ ^ r S ( 4 s + l ) P W M] .

c*vl

s=1

J

си Д в|2*+,> +

4 £ (4 s + 1)

«Й » Л а р -

П к==П

- - ТЙ- S (4 s +

з ) с4«н е|!^ '1 =

0 . A G [0 , « т .

( 18 .2)

ДД«§” =

ДДиР -

t

(4s +

I) AuS*.

(18.3)

а при остальных значениях k (k =

1, 2,

я) — систему

уравнений

дд («Г -

« г * 1) -

и**

[ 2(4s +

1) д («4? - “f

») -

ls=J

Л

(4S+

0 * * *

-

| г

| , (4s +

о и в - f }

=

0.

А €[1, я — 1];

ДА ( « Г +

(

£

<*» +

D [ а *

+

(18.4)

s—l

11

L

4/ +

3

у

Au fs)

+ - ^

S ( 4

S + 1 ) TS'4S, =

0.

C l * C * i

M

4/t+

3.

Д2пш Н-

2*2я-1

+

—4п

+ BinhT^w = О,

и ? -

m=0

^33

2л—1

(18.11)

t$ k) =

v c T h 2mAmw,

k £ [2, nj.

m=i)

е - =

S

д«Г +

«V

/71=0

2л—1

9(й+11 _

J

2В»+»А» - ' Л»'Ю>

/ее 11, „ _

I

(18.12)

т=0

в|г"+"= 2лI—1 й,г',+'|Ла"-|Д”ш-

т=0

(4л

cf3^

-}- с44)

Ли?

6с1Я/1

ил.

3) (С|3

(4л -f- 3) (с1а -|- с44)

®

Если исключить из (18.12) функцию w при помощи равенства

w =

(Д2пау + B f i - ^ - ' w

+

+ B2n - itr 4n+2Aw),

D2n

то моменты (18.12) можно записать таким образом:

в1" = 4 - *S' а"Лы+'&Г+'ш - чп -S ^ . '-Ди? + — ^

^ т=0

2л—1

3 (С1Я4* C4i)

(С18 4* С44)

~

е(2Л+1) =

2

i

2V m+V

+ V

|1, л — 1];

(18.13)

2л—1

т=0

W

(Д«^0) +

6и0).

в'“+|,= 4

V г;вл+"ла”+'л”'+|

С-ioft

^ т2Го'

(4л + 3) (Cj3-f- С44)

Отсюда, полагая

ь0 = Г (г) + Р'(г),

(18.14)

a„(2fr+l>

<да+1>

.

2я—1 л

— Гг

+

i

= Т

a ? 4 !* + 14 " + lB

A ? [1 , n — l|;

(is. 15)

-^1 ^ - +

дг

4

‘I?

дг

'

2

rn—O

JO)

~ 'к . +

X

+

lA“"

+

l 2 'f 'W

+

F f l l ) .

Интегрируя

уравнения

(18.15),

находим

.,01 _

in—I

“•(Di.to+1 _ад“®

2c1(A

a»S*

V

+

-

2 ,, ч -

«

й

з(С„ + Си)

- * - +

m=0

2с„л

,

. . a y ,

2п—1

+

^

r

k

r f

<*>+'•

*

аУ„

« Г " =

I

a ^

h

^

' ^

L

+

,

(,8.16)

i ^

f L

m=0

UB»+I, _

2/1—1

(Ци'

V

j ; ,2„+.1й!»+.|

2 /7 ] g fl

вд=0

&

(4;г -}- 3) [c13-f- c44) fa

6cish

ay2n+\

(4n +

3) (c?|3 +

£4,5)

f ( z » + ;

дг

Здесь У2к+) {k =

0,

1, ...,

n) — произвольные

вещественные функции

ций обратимся к

уравнениям (16.6).

Внося в них значения моментов

(18,11),

(18.13),

(18.14),

получаем

при

k = 0

уравнение

п

2cuc4ifi

д&и^

АУ‘ -

ттт £

+

дг

<4 s

+

3 > > " * + '

3^66 (*i3 +

с\д

дг

Чп—1

S

.

dbT+'w

,

^„(CjCnCaa — CisCn) Л^Т^ч __ л

/ю ,-тч

V

г»(0)г.2т

+

J i

Cm

k

^ Г

~

+

Cnfiniev + c j

t

&

“

<18Л7)

2л—1Л

____

АиР =

S A

2mAm+1iw — 6 [F (z) + F* (г)];

(18.18)

/п=О

А^ 1

S

4- 3) Уал+1 —

_ _

fccff (с13-f- С44) — сцСдд! h

^ __р7^ )],

(18.19)