книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

З а д а ч и и у п р а ж н е н и я

5.3.1. Рассматривается функционирование большого аэродро­ ма с единственной взлетно-посадочной полосой (ВПП). В сред­ нем за сутки взлетает 240 самолетов и садится тоже 240 самоле­ тов. При посадке самолет занимает ВПП в среднем в течение 3 мин, а при взлете 1,5 мин. Определить характеристики работы

аэродрома в стационарном режиме. Р е ш е н и е

Аэродром можно рассматривать как одноканальную систему с приоритетом. Самолету разрешается взлет с аэродрома в том случае, когда нет самолетов, идущих на посадку. Поток самоле­ тов, идущих на посадку, можно рассматривать как поток заявок, обладающих приоритетом в использовании ВПП. Характеристи­ ки такой системы с приоритетом следующие:

X, = X,= 240 — !— = — —

Характеристика обслуживания

Следовательно:

Условие ai + (X2< l выполняется.

Среднее число самолетов, ожидающих в воздухе, пока осво­

Среднее время пребывания самолета в воздухе перед по­ садкой

т1

t04 = — = — 6 = 3 мин.

2

Среднее время, затрачиваемое самолетом на посадку:

71=Гоч,+— = 3 + 3 = 6 мин. V-1

211

Среднее время ожидания разрешения на взлет для самолета, находящегося на аэродроме, равно

Среднее число самолетов, ожидающих на аэродроме разреше­ ния на взлет, найдем по формуле

r0 = A0tf04(, = — • 16,5 = 2,75.

6

Среднее время, проходящее от момента готовности самолета ко взлету с аэродрома до момента осуществления взлета, равно

t2= / о ч — = 16,5+ 1, 5= 18 мин.

М-2

Среднее число самолетов, готовых ко взлету, но находящихся на аэродроме, равно

4 = л272= — - 1 8 = 3 .

6

Таким образом, мы видим, что несмотря на довольно большое число посадок и вылетов за сутки (240) вможно считать, что аэродром будет функционировать нормально: самолетам, иду­ щим на посадку, не придется долго ждать в воздухе освобожде­ ния ВПП.

Замечание. Задача решена приближенно. При реальном функ­ ционировании аэродрома самолеты, идущие на посадку, не име­ ют полного (абсолютного) приоритета: если взлетающий само­ лет уже бежит по ВПП, то его взлет не прекращается. Однако приближение не вносит сколько-нибудь заметных изменений в полученное в задаче решение.

5.3.2. Анализируется работа междугороднего переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет только один телефон­ ный аппарат для переговоров. Переговоры бывают двух видов: обычные и срочные. При проведении срочного переговора обыч­ ный переговор прерывается. В среднем за сутки поступает 180 заявок на обычные переговоры и 60 — на срочные переговоры. Средняя длительность переговоров обоих видов (с учетом вы­ зова абонента в другом городе) составляет 5 мин. Определить

характеристики работы переговорного пункта в стационарном режиме.

212

Р е ш е н и е

Переговорный пункт можно рассматривать как одноканаль­ ную систему массового обслуживания с приоритетом. Ее харак­ теристики следующие:

Среднее число ожидающих срочного переговора будет равно

Среднее время ожидания срочного переговора

^<>4,= — = 1 ,2 0 мин. h

Среднее время ожидания обычного переговора

Среднее число ожидающих обычного вызова

Г2— оч2*— 4,11.

Среднее число людей, находящихся на переговорном пункте (за исключением обслуживающего персонала):

Таким образом, мы видим, что приобретение за дополнитель­ ную плату права на срочный переговор сокращает время ожида­ ния в очереди приблизительно в 27 раз.

Глава 6

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С РАЗЛИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ВРЕМЯ

ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ

До сих пор мы рассматривали такие СМО, когда заявки, по­ пав в систему, «терпеливо» ожидали конца обслуживания. Однако на практике имеют место случаи, когда заявки по тем или иным причинам, не дождавшись окончания обслуживания, покидают систему. Будем называть такие заявки «нетерпеливы­ ми». Их «нетерпеливость» может проявиться либо при нахожде­ нии заявки в очереди, либо при |нахождении заявки на обслужи­ вании, либо и в очереди и на обслуживании.

С тем, чтобы остаться в рамках марковских случайных про­ цессов с непрерывным временем, нужно сделать допущение, со­ стоящее в том, что на заявку, находящуюся в системе, действует пуассоновский поток уходов из системы. Будем считать, что параметр этого потока различен в зависимости от того, находится ли заявка на обслуживании или ожидает в очереди. Интенсив­ ность потока уходов заявки из очереди обозначим v, а интенсив­ ность потока уходов из каналов обслуживания — т]. Для некото­ рых случаев эти параметры могут быть равны. Иногда эти интен­ сивности называют параметрами «нетерпеливости»: параметр v есть параметр «нетерпеливости» при нахождении в очереди, а параметр т] — параметр «нетерпеливости» при нахождении на об­ служивании.

Примером системы массового обслуживания с ограниченным временем пребывания заявки в системе является радиолокаци­ онный комплекс определения параметров полета самолетов по трассе. Этот комплекс имеет определенную зону, в пределах которой он может «обслужить» самолет, т. е. измерить различ­ ные параметры движения самолета и передать эту информацию на самолет или в другое место. Если за время пребывания само­ лета в зоне действия комплекса его параметры не успеют изме­ рить, то самолет покинет зону «необслуженным».

Другим примером может служить работа конвейера по сбор­ ке. На каждом рабочем месте собираемый агрегат находится

214

ограниченное время, по истечении которого этот агрегат перево­ дится на другое рабочее место. Если за отведенное время все операции не будут выполнены, агрегат не будет обслужен на этом месте.

Наиболее типичным примером работы системы массового об­ служивания с ограничением времени пребывания заявки в систе­ ме является работа системы противовоздушной обороны (ПВО). Система ПВО имеет вполне определенную зону обстрела, в пре­ делах которой самолет (заявка) может быть поражен (обслу­ жен). Следовательно, самолет, попав в зону обстрела, находится там ограниченное время (проявляет «нетерпение»),

§ 6.1. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ,

заявки в системе. Алгоритм работы системы следующий: если к моменту поступления заявки в систему свободен хотя бы один из

Рис. 6.1.1

п каналов, то эта заявка принимается к обслуживанию только

одним (любым) из свободных каналов. Если к моменту поступ­ ления заявки в систему все каналы заняты, то данная заявка остается необслуженной. На занятый канал действует пуассонов­ ский поток освобождений с интенсивностью р*. Эта интенсив­ ность слагается из интенсивности потока обслуживаний одного канала р. и интенсивности потока уходов заявки из-под обслужи­ вания, которую обозначим буквой 4 :

системы (не дожидаясь конца обслуживания). Интенсивность потока заявок равна X.

В любой момент времени t рассматриваемая система может

215

Граф возможных состояний такой системы с указанием пара­ метров потоков событий, переводящих систему из состояния в со­ стояние, изображен на рис. 6.1.1. В соответствии с приведенным на этом рисунке графом и мнемоническим правилом, указанным б § 2.3, система дифференциальных уравнений для вероятностей

•состояний будет иметь вид

Эту систему дифференциальных уравнений обычно интегри­ руют при следующих начальных условиях:

Л )(0)=1; /с*(0)=о ( л=1, 2, . . . , п)

(в начальный момент времени при / = 0 система свободна). Для любого момента времени t выполняется нормировочное условие

к=0

Граф, изображенный на рис. 6.1.1, с точностью до обозначений совпадает с графом состояний классической системы массового обслуживания, приведенным на рис. 4.1.1. Поэтому вероятности состояний системы в стационарном режиме могут быть найдены по формулам, аналогичным (4.1.12):

P(k, а*) и R(n, а * ) — табличные функции пуассоновского рас­

пределения.

Для рассматриваемой системы вероятность обслуживания заявки уже не может быть определена как вероятность того, что заявка, поступившая в систему, застанет свободным хотя бы один из каналов. Это лишь необходимое условие обслуживания. Для того чтобы заявка была обслужена, нужно, чтобы к мо-

.216

менту поступления ее в систему был свободен хотя бы один из каналов и чтобы за время обслуживания заявка не покинула систему.

Для отыскания вероятности обслуживания заявки восполь­ зуемся выражением

При т]= 0 рассматриваемая система превращается в СМО с отказами, анализ которой был проведен в § 4.1. Продолжим ис­ следование системы с ограниченным временем пребывания за­ явки в системе.

Плотность потока обслуженных заявок будет равна

Время занятости канала по условию распределено по показа­ тельному закону с параметром р*. Следовательно, среднее время занятости канала будет

Среднее время простоя канала определим на основании эргодического свойства:

Среднее время, в течение которого заняты все каналы (сред­ нее время полной загрузки системы), равно

217

откуда среднее время неполной загрузки системы найдем по фор­ муле

— вероятность того, что в системе заняты все каналы (система полностью загружена).

Ввиду небольшого объема этого параграфа не будем здесь приводить сводку основных расчетных формул.

Параметры движения самолета измеряются в среднем в тече­ ние одной минуты. Если самолет, влетевший в зону измерения параметров, застает обе радиолокационные станции занятыми, то его параметры не измеряются. В среднем за один час в зону измерения параметров влетает 30 самолетов. Определить раз­ личные характеристики работы такой системы.

Р е ш е н и е Рассматриваемый радиолокационный комплекс состоит из

а*= — —0,375.

[1*

Таким образом, радиолокационный комплекс можно рассмат­ ривать как двухканальную систему массового обслуживания с

218

отказами ограниченным временем пребывания заявки в системе и упорядоченным обслуживанием.

Вероятность того, что параметры самолета будут измерены, определяются по формуле (6.1.8):

Среднее число занятых каналов

k==_ P occb — Q 3 5 g

JL

Вероятность того, что канал занят:

- з .к = — =0,179.

П

Среднее время занятости радиолокационной станции (канала)

ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ И УПОРЯДОЧЕННЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ

П о с т а н о в к а з а д а ч и . Рассматривается п-канальная система массового обслуживания, которая отличается от рас­ смотренной в § 6.1 лишь тем, что заявка, заставшая все каналы занятыми, может быть в дальнейшем обслужена, если за время пребывания ее в очереди освободится хотя бы один из каналов.

живаются (каждая заявка одним каналом). Если в системе на­ ходятся (/г+ г) заявок (г^ га), то п из них обслуживаются, а г

находятся в очереди на обслуживание.

Если в системе находится /г + га заявок, то п из них обслужи­

ваются, ага — ожидают обслуживания. Если заявка, поступив­ шая в систему, застала в ней (/г-Нга) заявок, то она получает отказ и обслуживанию не подлежит при любых условиях.

Находясь в очереди, заявка может проявлять «нетерпение». Обозначим интенсивность потока уходов заявки из очереди вели­ чиной v, которая в общем случае может отличаться от интенсив­ ности потока уходов заявки из-под обслуживания т) (см. § 6.1). В частном случае, если заявка ведет себя статистически одина­

219

ково, находясь как в очереди, так и на обслуживании, интенсив­ ности v и г] могут быть равными.

На рис. 6.2.1. показан граф состояний такой системы. Мы видим, что до состояния хп этот граф совпадает с графом систе­

мы с отказами и ограниченным временем пребывания заявки в системе, изображенным на рис. 6.1.1. Далее, в схеме имеются другие состояния, характеризующие наличие того или другого

Рис. 6.2.1

числа заявок «в очереди» на обслуживание. Для определенности

—обслуживается п заявок, т заявок ожидают обслужи­

вания.

Пользуясь графом, изображенным на рис. 6.2.1, можно выпи­ сать систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний системы с ожиданием и ограниченным временем на­ хождения заявки в системе:

dpAt)

( U < * 0 ) ;

dpn ' m (t) = — + /И pn+m 0) + bpn+m_\ (t). dt

220