книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания
..pdfЗакон распределения времени занятости канала определяет ся с помощью графа состояний, имеющего вид, указанный на рис. 4.3.3.
Соответствующую этому графу состояний систему дифферен циальных уравнений нужно интегрировать при начальных усло виях
РЛ0)= 1; РЛ0) = 0 {кф 1). |
(4.3.20) |
Рис. 4.3.2 |
Рис. 4.3.3 |
Вероятность полной загрузки системы равна вероятности того, что в системе обслуживается п заявок:
^П.з---Р п - |
(4.3.21) |
Закон распределения времени полной загрузки системы Гп.3 будет показательным с параметром лр, так как граф состояний для определения этого закона имеет вид, показанный на рис. 4.3.4.
Рис. 4.3.4 |
Рис. 4.3.5 |
Следовательно, среднее время полной загрузки системы будет
= — , |
(4.3.22) |
nix |
|
откуда (на основании эргодического свойства) среднее время неполной загрузки системы, когда в системе имеется число зая вок меньше, чем л, равно
I , з =7 „ . 1 |
(4.3.23) |
Яп.з
Закон распределения времени неполной загрузки системы опре деляется с помощью графа состояний, изображенного на рис. 4.3.5.
Систему дифференциальных уравнений, соответствующих это му графу состояний, нужно интегрировать при начальных усло виях
Рп—\ (0) = 1; /?*(0)=0 (к ф п — 1). |
(4.3.24) |
131
Среднее время нахождения заявки в системе определяется равенства [см. (4.3.14) и (4.3.15)]:
1 |
]] |
х ф 1; |
Л[Л |
при |
|
(1 — У/1-*"1) (1 — 7.) |
(4-3.25) |
|
п |
при |
|
~2Г |
У.= 1. |
|
|
|
Расчеты показывают, что функцию распределения времен^ пребывания заявки в системе довольно хорошо можно аппроцси' дмировать выражением
F (0 = [*п.з + гсн.з( 1 — < |
\{t) |
(4.3.26) |
где Яп.з=1— Яц.з — вероятность полной загрузки системы.
О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы
Вероятность того, что занято ровно k каналов:
|
1 — уПП |
при у. Ф |
1; |
||
Ри= |
|
|
|
||
1 |
|
при у.= |
1, |
||
|
|
||||
|
п + 1 |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nv- |
|
|
|
Вероятностъ обслуживания заявки |
|
|
|||
|
|
1 — |
|
при |
Ъ ф \\ |
|
1 |
---- У .'1 т 1 |
|||
|
|
|
|||
Р обе 1^ |
Рп= |
п |
|
при |
У.— 1. |
|
|
Л+ 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Среднее число заявок, находящихся в системе: |
|||||
ц1 |
|
+ 1] |
при у. Ф 1; |
||
(1 - * )(1 - * « п, |
|
||||
|
|
|
|||
п |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
при |
х = 1 . |
|
|
|
|
||
* Эта формула получается при сохранении в аппроксимированной функ |
|||||
ции F (0 величины скачка |
при t=0 и математического ожидания таким же, |
||||
как и для функции F(t). |
|
|
|
|
|
132
Среднее число занятых каналов
т - |
1 — У .п |
при X Ф 1; |
1 |
---- У .П - г |
1 |
/12
при х= 1.
/2+1 Вероятность того, что канал занят:
Т
Вероятность того, что система полностью загружена:
|
уП-- уЛ-И |
При |
х Ф 1; |
|
|
1— ХЛт1 |
|
||
^П.З---Рп--- |
|
|
|
|
1 |
|
при |
х= 1. |
|
|
|
|||
|
/2+1 |
|
||
|
|
|
|
|
Среднее время полной загрузки системы |
||||
|
1 |
|
|
|
|
^з.е :— “/2IX |
|
|
|
Среднее время неполной загрузки системы |
||||
“7 _Т 1 |
лп.з |
• |
|
|
/н.З-- :/з.С |
|
|
||
Среднее время нахождения заявки в системе
1\
За д а ч и и у п р а ж н е н и я
4.3.1.Указать, какая система имеет большую пропускную способность: 1) система массового обслуживания с отказами и без взаимопомощи или 2) система массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью, если параметры обеих си
стем (л, Я, р) одинаковы (я> 1). Р е ш е к и е
Очевидно, введение взаимопомощи должно привести к увели чению абсолютной и относительной пропускной способности си стемы и формального доказательства можно было бы и не при водить. Однако методические приемы, употребленные при доказательстве, помогут нам решать другие задачи.
133
Перейдем к решению задачи. Покажем, что если
РобеО) |
R(n— 1, з) |
|
R (л, а) |
P i t |
1— Xя |
1 _ %Л+1 ’ |
|
где |
а |
|
то Робе !> Роес, т. е. СМО с отказами и взаимопомощью име^т
большую пропускную способность, чем СМО с отказами и б^3 взаимопомощи.
Рассмотрим три различных случая:
Случай 1.
х = —п = 1 |
( а = й ) . |
|
|
|||||
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. |
P i t > Робе, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
^ |
R ( n ~ |
1, |
л) |
|
|
|
п + 1 |
|
R(n, |
п) |
|
|
|
||
Перепишем это неравенство в виде: |
|
|
|
|||||
л |
ч. |
R ( n , л) — Р |
(л, |
п) |
|
|||
л + 1 ^ |
|
R ( n , |
п) |
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
n.R{n, /г)> (/г-И )[/?(я , |
п) — Р(п, |
п)\ |
||||||
и |
|
|
п )> Р (п , |
|
|
|||
(й + 1 ) Р ( и, |
/г), |
|
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
(я+1)Р(я, |
я ) = 2 Р ( я , |
» ) > V P ( i , й), |
||||||
|
|
k=0 |
|
|
А’ -О |
|
||
|
|
|
п |
Р (п> п |
|
|
||
так как каждый член |
суммы |
^ |
«роме последнего, |
|||||
|
|
|
к=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
больше каждого члена |
суммы ^ |
|
|
и) |
[см. |
(1-5.24)], а пс- |
||
следние члены сумм равны. |
|
*=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
134
Рассмотрим другой случай.
Случай 2. х < 1 . В этом случае |
1 —хп> 0 |
и |
|
|
|
1 — *"+ > > |
о. |
|
|
Проведем доказательство: |
|
|
|
|
1 — ~/,П |
R {п, а) —Р (п, а) |
|
|
|
1— *nti |
R(n, а) |
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
( 1 - х л)Я (й, а ) > ( 1 - * л+1)[/?(й, а) —Р ( п , |
а)]. |
|||
Заметим, что если х < 1 , |
то 1 —*л+1 ;> i _ * л > о , |
откуда |
||
(1—хл)[/?(й, а ) -Р (й , |
®)]>(1 —%n+')[R(n, |
а) —Р(п, а)]. |
||
Но |
|
|
|
|
( 1 - х л)/?(й, а) > |
(1 — X") [/?(«, а) —/ >(й, а ) ] > |
|||
> ( 1 - * " +1)[/?(й, а) - Р ( п , а)].
Таким образом, и во втором случае доказано, что
P o( l > P (oL
Предоставим читателю самостоятельно доказать это неравен ство и в третьем случае, когда х>1 (рекомендуется воспользо ваться неравенствами 1— хп+1<1 — хп<0).
Таким образом, система со взаимопомощью всегда имеет большую пропускную способность, чем система без взаимопо мощи.
4.3.2. Обслуживание заявок производится системой массового обслуживания с отказами, параметры системы /г, А,, р. Обслужи вание каждой заявки приносит среднюю прибыль С\. С целью
увеличения доходов от обслуживания предлагается провести ре организацию, состоящую в том, что система будет допускать взаи мопомощь между каналами. На преобразование СМО с отказами в СМО с отказами и взаимопомощью требуется израсходовать стоимость С2. Переоборудование занимает время тп. Определить, по истечении какого времени t после начала переоборудования
вновь организованная СМО с отказами и взаимопомощью начнет приносить прибыль.
Р е ш е н и е
Задачу будем решать при условии, что стационарного режима в системах мало по нем переоборудования тп и временем t(t>
время установления сравнению со време тп). Начало отсчета
135
для времени тп и / одно. В этом случае можно записать следующее уравнение:
где XQ1— X |
~ |
*’ — |
абсолютная |
пропускная |
способность |
|
|
R(n, |
a) |
|
F |
3 |
|
tf> = A 1— 7-Л |
СМО с отказами; |
|
|
|||
-абсолютная |
пропускная |
способность |
||||
|
1 — |
-/Я+Х |
СМО с отказами |
и взаимопомощью; |
||
|
|
|
||||
а = |
- |
|
|
|
|
|
|
,и |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Л(1 |
|
|
|
|
|
Решая это уравнение, получим время t, по истечении которого
реорганизация начнет приносить прибыль:
/ = |
Я( я - 1, «) X]-1 |
|
Я(Л. a) ;J |
||
|
4.3.3. При решении предыдущего примера стоимость содержа ния канала без взаимопомощи и стоимость содержания канала со взаимопомощью предполагалась одинаковой. На самом деле это может быть не так. Рассмотрим случай, когда на содержание одного канала СМО с отказами без взаимопомощи в единицу времени расходуется стоимость С3, а на содержание одного канала СМО с отказами и взаимопомощью в единицу времени расхо дуется стоимость С4> С 3. Преобразование СМО с отказами в СМО со взаимопомощью потребует единовременных затрат Сг, а
время переоборудования будет равно тп. Средняя прибыль при обслуживании одной заявки равна С\. Обе рассматриваемые
СМО: с отказами без взаимопомощи и с отказами и взаимопо мощью имеют одинаковые параметры (я, X, ц ). Определить усло
вия рентабельной работы обеих СМО и при каких условиях с экономической точки зрения есть смысл переходить от СМО с отказами и без взаимопомощи к СМО с отказами и взаимопо мощью между каналами. Указать время t после начала переобо
рудования, по истечении которого вновь созданная СМО со взаимопомощью начнет приносить прибыль.
Р е ш е н и е Рассматривается стационарный режим работы. Для СМО с
отказами и без взаимопомощи условие рентабельности будет иметь вид
Хо1)С 1> С 3я,
где ?*о(1) — абсолютная пропускная способность СМО с отказами и без взаимопомощи.
136
Условие рентабельности состоит в том, что средняя прибыль от обслуживания должна покрывать средние расходы на содер жание системы массового обслуживания [см. (4.1.33) в примере 4.1.4]. Тогда
С 3 |
^ ) Д ( п — 1 , а ) |
|
C l |
' |
n R ( n , а) |
Условие рентабельности для СМО с отказами и взаимопо мощью определяется по формуле
> С4я,
откуда с учетом (4.3.11)
Ci |
л(1 |
при |
х ф 1; |
|
|
|
|||
64 ^ |
^ |
при |
х = 1. |
|
С ! |
/г + 1 |
|||
|
|
С экономической точки зрения переход от СМО с отказами и без взаимопомощи к СМО с отказами и взаимопомощью может быть оправдан только в том случае, если прибыль в единицу вре мени, получаемая от СМО с отказами и без взаимопомощи, будет ниже, чем прибыль в единицу времени, получаемая от СМО с от казами и взаимопомощью:
Xo!)Ci — С4га > l-o^Ci — С3п
или |
|
|
|
|
- |
Слп > |
ХЯЙ’сС, - |
С3п, |
|
откуда |
|
|
|
|
P i l - Р 1{ |
> |
С (С4 - |
С3). |
(4.3.27) |
В примере 4.3.1 было показано, что вероятность обслуживания
для СМО с отказами и взаимопомощью Р0(бс всегда больше ве
роятности обслуживания СМО с отказами и без взаимопомощи РоУс Поэтому левая часть неравенства (4.3.27) всегда положи тельна. Правая часть неравенства также положительна по усло вию задачи. Следовательно, решение о переходе на обслужива ние со взаимопомощью зависит от конкретных значений парамет ров системы га, Я, р, а также от коэффициентов стоимости Ci,
С3, С4.
Предположим, что условие (4.3.27) данной задачи выполняется и обе системы рентабельны. Тогда время t, по истечении которого
вновь созданная СМО с отказами и взаимопомощью начнет при
137
носить прибыль большую, чем система с отказами, определится из уравнения
(X^Cj - С3п ) t = - С о |
( X f c , - |
С4л ) ( t - |
||
откуда |
|
|
|
|
1 — У.” |
£± |
п тп |
||
(Х 1 — |
+ 1 |
|||
С) |
|
|||
/ ? ( / * - ! , а) |
Сз п |
|||
R(n, |
а) |
Cl |
|
|
Рассмотрим численный пример. Допустим, что на переобору дование СМО требуется время тп=1 [месяц]. Обе СМО имеют параметры
л = 6; X= 15 — — ; ц = 3 — — ,
месяц месяц
откуда
15
5,
3
— = 0,833.
п
Стоимостные характеристики заданы отношениями
Проверяем, являются ли обе СМО рентабельными. Проводим вычисления:
} (]) _ |
1 R(n — 1, а) |
р, |
1_ |
1 — у/* |
0 |
п R ( n t а) |
|
п |
:2,38. |
|
I — %лт1 |
|||
Убеждаемся в том, что |
|
|
|
|
|
С3 ^ |
|
R (п — 1, а) |
|
И |
Cl |
П |
R(fl, а) |
|
|
|
|
|
|
|
С4 |
__Х |
1— Xя |
|
|
Ci |
п |
1— |
|
Следовательно, обе СМО рентабельны.
138
Выясним, целесообразно ли переоборудование, для чего про верим, выполняется ли условие (4.3.27) данной задачи:
P i l - |
Р о1=( |
0,95 - |
0,8=0,15; |
|
п |
I С 4_____ С 3 |
\ |
= 0,14, |
|
X I С, |
с, |
/ |
|
|
следовательно, условие (4.3.27) данной задачи выполняется, так как 0,15>О,14.
Подсчитаем, через какое время / переоборудованная система начнет приносить прибыль:
/= 3 ,0 2 (месяца].
4.3.4.Доказать, что среднее время пребывания заявки в СМО
сотказами и полной взаимопомощью с параметрами п, Я, ц
всегда меньше среднего времени пребывания заявки в СМО с
отказами и без взаимопомощи и теми же параметрами (п, Я, ц).
Р е ш е н и е Для системы с отказами и взаимопомощью среднее время
нахождения заявки в системе определяется по формуле
7 (2 ,_ Т ^
где
. 1 - У.” [/1(1-— у.) 4- 1] |
при XФ 1, |
|
(l-y -M l-v /1-!) |
||
|
||
п |
при х = 1 |
|
,7 |
||
|
среднее число заявок, находящихся в СМО. Для системы с отка зами и без взаимопомощи среднее время нахождения заявки в системе определяется из выражения
7(1)=
где
R(ti — 1, д)
*(1) =
R (л, «)
— среднее число заявок, находящихся в СМО, равное среднему числу занятых каналов, так как каждый канал может обслужи вать только одну заявку.
Для доказательства того, что
7(2) < 7(1), достаточно доказать, что I (_) < £(1).
139
Рассмотрим вначале случай, когда х = 1 , т. е. когда а = л > 1 . В этом случае должно выполняться неравенство
|
JL < ц R (n ~~ |
”) |
|
|
||||
или |
|
2 |
^ |
R (я, п) |
|
|
||
Я (л, |
n ) < 2R(ti — 1, |
я). |
|
|||||
Вспомним, что |
|
|||||||
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я (я, я )= 2 |
Я (Л, |
«X |
|
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
я<*, |
л) < 2 |
2 |
р (*, «). |
|
||
|
k=0 |
|
|
|
k=0 |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n'2i P(k, |
n ) - ^ P ( k , |
n) > |
0. |
||||
|
fc=0 |
|
|
ft=0 |
|
|
|
|
Произведя |
почленное вычитание, получаем |
|||||||
л—2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
я (Л, |
д) + Я ( л - 1 , |
я) —Я (л, |
л) > 0 |
||||
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
п) — Р(п, |
|
|
/?(/г — 2, |
/г) + |
Я(/г — 1, |
/г) > 0. |
|||||
В § 1.5 при рассмотрении потока Эрланга было доказано, что для любого целого числа /г>0 имеет место равенство
Р (п — 1, п) = Р(п, /г).
Следовательно, окончательно имеем
Р(п —2, /г)> 0 .
Это неравенство выполняется для любого п>1, так как функция
л—2 |
|
/?(я — 2,м) = ^ |
т- е- равна сумме вероятностей, которые |
*=о
больше нуля.
Рассмотрим теперь случай, когда х< 1 . В этом случае нужно
доказать, что |
|
.^ - ^ П + л О -* )] |
/? (л - 1, а) |
(1 — у.) (1 — %л+1) |
R ( n , а ) |
140