книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

одинаково распределенных (в общем случае зависимых) случай­ ных величин.

Рассмотрим произвольную заявку и предположим, что время ее пребывания в системе Т приняло значение, лежащее в интер­ вале (t, t + dt);

Я (Гс=(/, t + dt) )^f \t) dt .

За время пребывания t заявки в системе в нес поступит в среднем )Л заявок, т. е. к моменту выхода заявки из системы в ней будет находиться в среднем М заявок.

Тогда полное математическое ожидание числа заявок в си­ стеме будет

I = j t).f (/) dt = X/

О

иформула (3.2.14) доказана.

2.Система работает по принципу «заявка, поступившая в систему позже, может уйти из нее как раньше тех заявок, кото­

рые поступили в систему до нее, так и позже» (рис. 3.2.5).

Рис. 3.2.5

Перенумеруем заявки в выходящем потоке событий в соот­ ветствии с порядком выхода заявок из системы (рис. 3.2.6).

Относительно вновь перенумерованного выходного потока заявок /7'пых можно сказать, что заявки в нем выходят строго друг за другом.

101

Глава 4

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ

Система массового обслуживания называется системой с от­ казами (потерями), если заявка, пришедшая в момент, когда все

каналы заняты, немедленно получает отказ и покидает систему (теряется).

Рассмотрим я-канальную разомкнутую систему массового обслуживания, на вход которой подается простейший поток зая­ вок с интенсивностью К. Поток обслуживаний каждого канала —

простейший с интенсивностью ц. Если заявка застает все каналы занятыми, то она покидает систему необслуженной (получает отказ).

При наличии свободных каналов могут рассматриваться раз­ личные алгоритмы распределения заявок по каналам: строгое (неслучайное) распределение заявок по свободным каналам или же случайное (хаотическое) распределение заявок по каналам. Кроме того, могут иметь место случаи, когда заявка, принятая к обслуживанию, по тем или иным причинам, не дождавшись конца обслуживания, покидает систему, т. е. остается необслуженной (случай «нетерпеливых» заявок). Могут иметь место случаи не­ полного обслуживания заявки, выхода канала из строя и т. п. Общим для всех этих систем является то обстоятельство, что заявка получает отказ, если все каналы заняты.

Перейдем к анализу различных систем массового обслужива­ ния с отказами. Рассмотрение каждой системы будем начинать с постановки задачи и заканчивать сводкой основных расчетных формул.

Хотя большинство систем, рассматриваемых в книге, являет­ ся частными случаями схемы гибели и размножения, тем не ме­ нее с целью развития навыков анализа этих систем будем каж­ дую систему изучать достаточно подробно.

юз

§4.1. КЛАССИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СОТКАЗАМИ (СИСТЕМА ЭРЛАНГА)

П о с т а н о в к а з а д а ч и . На вход n-канальной системы массового обслуживания подается простейший поток заявок с интенсивностью X. Интенсивность простейшего потока обслужи-

ваний каждого канала ц. Если заявка застала все я-каналов занятыми, то она получает отказ (покидает систему необслуженной). Если заявка застала свободным хотя бы один канал, то она принимается к обслуживанию любым из свободных каналов и обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).

Рис. 4.1.1

Описанная выше система названа нами классической потому, что с рассмотрения такой системы Эрлангом и начала разви­ ваться теория массового обслуживания. Эрланг рассмотрел ра­ боту такой системы на примере работы автоматического теле­ фонного узла связи. В этом случае поток заявок представляет собой поток вызовов со стороны абонентов. Длительность обслу­ живания характеризуется длительностью коммутации и длитель­ ностью разговора. Число каналов п равняется максимально воз­

можному числу одновременно осуществляемых разговоров. Анализ работы любой СМО будем начинать с рассмотрения

возможных состояний системы и составления размеченного гра­ фа состояний системы с указанием интенсивностей потоков, переводящих систему из состояния в состояние.

Рассмотрим следующее множество состояний системы:

Хо — все каналы свободны, ни одна заявка не обслуживается; Х\ — занят ровно один канал (какой — неважно), обслужи­

вается одна заявка;

хк — занято ровно k каналов (каких именно — неважно), об­ служивается k заявок;

хп — все п каналов заняты, обслуживаются п заявок *

Граф состояний данной СМО с отказами представлен на рис. 4.1.1. Как и ранее, возможность перескока «через состояния» не рассматривается, так как все потоки ординарны.

* Можно было бы рассмотреть и более обширное множество состояний с указанием, какие именно каналы заняты, но в этом нет необходимости, так как все каналы одинаковы.

104

Поясним порядок определения интенсивностей потоков собы­ тий на рис. 4.1.1. Когда система находится в состоянии x0i на нее

действует поток заявок с интенсивностью X, переводящий систему в состояние Х\. Если система находится в состоянии то на нее

действует уже два потока событий: 1) поток заявок с интенсив­ ностью 7., который стремится перевести систему в состояние Л'2 и

2) поток освобождений канала («поток обслуживаний»), кото­ рый стремится перевести систему в состояние лг0. Интенсивность этого потока равна р.

Рассмотрим случай, когда система находится в состоянии xh(k = 1, 2, ..., п— 1). В этом состоянии на систему действует опять

два потока:

1)поток заявок с интенсивностью X, который стремится пере­ вести систему слева направо, т. е. в состояние xh+\;

2)поток освобождений всех А занятых каналов с интенсив­ ностью Ар, который стремится перевести систему справа налево

всостояние хк~\.

Если система находится в состоянии х1и то на нее действует

только один поток событий с плотностью яр, переводящий систе­ му справа налево в состояние хп-\.

В соответствии с мнемоническим правилом составления си­ стемы дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (см. § 2.3) получим

Система (4.1.1) обычно интегрируется при начальных условиях

что соответствует случаю, когда система в начальный момент при /= 0 свободна. Решение системы (4.1.1) при начальных усло­ виях (4.1.2) удовлетворяет нормировочному условию

Уравнения (4.1.1) называются уравнениями Эрланга. Заме­

тим, что выражения (4.1.1) — (4,1.3) справедливы и для случая, когда потоки событий не являются простейшими, а представляют собой нестационарные пуассоновские потоки. В этом случае пара­ метры X = k(t)y р = р (0 являются некоторыми функциями вре­

мени. В дальнейшем мы, как правило, не будем выписывать систе­ му дифференциальных уравнений для вероятностей состояний, так как читатель, зная мнемоническое правило составления этих уравнений и глядя на граф состояний, может без труда самостоя­ тельно их записать.

Вернемся к анализу нашей системы и рассмотрим стационар­ ный режим работы при t— *оо. Такой режим существует (см.

§ 2, 4), так как наша система эргодична: в ней нет групп состоя­ ний без выхода или без входа и все потоки простейшие.

0 = — яр./?я + \p n-u

которые нужно решать совместно с нормировочным условием (4.1.3).

Для решения системы (4.1.4) введем обозначения такие же, какие были введены при анализе .схемы гибели и размножения:

С учетом (4.1.5) уравнения (4.1.4) примут вид

«1 = 0;

Анализируя систему (4.1.6), убеждаемся в том, что

Следовательно:

100

Величина а равна среднему числу заявок, поступающих в систе­ му за среднее время обслуживания одной заявки в одном канале.

Преобразуем выражение (4.1.10) к виду, удобному для вы­ числений. С этой целью используем обозначение (4.1.11) и умно­ жим числитель и знаменатель дроби (4.1.10) на величину е~%:

Р(Ь> а)

R(n, а)

(4.1.12)

к =0

где P(k, а) и R(n, а) табличные функции пуассоновского распре­

деления (см. приложение).

107

Подробнее эти функции были рассмотрены в § 1.5.

Найдем характеристики работы классической системы маисо­ вого обслуживания с отказами. Вероятность обслуживания за­ явки Робе очевидно, равна вероятности того, что заявка, посту­ пившая в систему, застанет свободным хотя бы один канал:

С другой стороны, вероятность обслуживания заявки равна отно­ сительной пропускной способности системы

где ).о — плотность потока обслуженных заявок (абсолютная

пропускная способность СМО), a k — среднее число занятых ка­

налов.

Отсюда

Выражение для среднего числа занятых каналов k можно полу­ чить и непосредственно через вероятности ри.

k = 0

Это соотношение нам потребуется в дальнейшем изложении. Вероятность того, что канал з_анят, будет равна отношению

Введем в рассмотрение случайную величину ГЛЛ( — время занятости канала, равную длине промежутка времени, начинаю­ щегося с момента поступления заявки в канал до следующего непосредственного момента освобождения канала. Время заня­ тости канала Тям по условию распределено по показательному

108

закону с интенсивностью ц. Следовательно, среднее время заня­ тости канала /З.и будет равно

Временем простоя канала Тик называется длина промежут­

ка времени, начинающегося с момента освобождения канала до его занятия следующей заявкой. Среднее время простоя канала

tп.к определяется из следующего выражения, имеющего место

для эргодической системы, находящейся в стационарном режиме:

т. е. вероятность занятости канала равна отношению среднего времени занятости канала к сумме среднего времени занятости канала и среднего времени простоя канала (см. 2.4.15).

Сравнивая выражения (4.1.19) и (4.1.20), получим

Вероятность полной загрузки системы, т. е. вероятность того, что все каналы будут заняты, равна

Введем в рассмотрение время полной загрузки системы 7V;„ время, протекающее с момента занятия заявками всех п кана­

лов до момента освобождения хотя бы одного канала, т. е. время однократного пребывания в состоянии хп. Время полной загрузки

системы Гп.з распределено по показательному закону с парамет­ ром п\х. Это следует из того, что граф состояний подсистемы для

определения закона распределения времени пребывания в состоя­

нии хп имеет вид, показанный на рис. 4.1.2. Соответствующие

дифференциальные уравнения нужно решать при начальных ус­

ловиях рп(0) = 1, рп-\ (0) =0. Следовательно, среднее время пол­

ной загрузки системы будет

Время неполной загрузки системы Г„.а равно длине проме­ жутка времени, протекающего от момента перехода системы из состояния хп в состояние хп- и до следующего момента возвраще­ ния системы в состояние хп. Граф состояний подсистемы для

определения закона распределения времени неполной загрузки системы имеет вид, показанный на рис. 4.1.3. Систему дифферен­

109

циальных уравнений, соответствующую графу состояний, изобра­ женному на рис. 4.1.3, нужно решать при начальных условиях

где вероятность pn{t) определяется из решения системы диффе­

ренциальных уравнений, соответствующей графу состояний, изо-

браженному на рис. 4.1.3. Система дифференциальных уравнений должна решаться при начальных условиях

Р*-\{0) = 1; рк(0) = 0 ( к ф п - \ ) .

Плотность распределения времени неполной загрузки системы равна

Среднее время неполной загрузки системы Тп.3 найдем на

основании эргодического свойства: вероятность яГ1.3 того, что система полностью загружена, равна отношению среднего вре­ мени полной загрузки системы к сумме средних времен полной и неполной загрузки системы:

когда все каналы простаивают.

Вероятность простоя системы яп.с, очевидно, равна вероятно­ сти того, что все каналы свободны, т. е. вероятности пребывания

110