книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

протекает однородный марковский случайный процесс, будем называть простейшими системами.

Теорема Маркова утверждает, что любой транзитивный одно­ родный марковский процесс с конечным числом состояний обла­ дает эргодическим свойством, т. е. предел

достаточно большого времени функционирования системы веро­ ятность того, что она будет в состоянии Xj не зависит от того,

в каком состоянии она находилась в начальный момент времени t0 и практически не зависит от времени т, т. е. при достаточно большом т вероятности pj будут достаточно близки к своим пре­

дельным значениям. Режим работы системы, при котором веро­ ятности нахождения системы в состоянии xj (/ = 0, 1, 2, ..., п) не зависят от времени, называется стационарным режимом. Сле­

довательно, любой процесс, обладающий эргодическим свойст­ вом, имеет предельный стационарный режим, который практи­ чески наступает после достаточно продолжительного времени функционирования («работы») системы. Этот режим не зависит ■от того, в каком состоянии система находилась в начальный момент времени.

Таким образом, для того чтобы марковский процесс, проте­ кающий в системе с конечным числом состояний, обладал зргодическим свойством, нужно, чтобы 1) граф состояний не имел ни

одного состояния без выхода и без входа и ни одной группы состояний без выхода и без входа; 2) все потоки событий, пере­

водящие систему из состояния в состояние, были простейшими. Такие системы будем называть простейшими эргодическими системами. Основное внимание в книге будет уделено изучению

стационарных режимов работы простейших эргодических систем. Для всякой простейшей системы (в том числе и эргодической)

интенсивности пуассоновских потоков событий не зависят от вре­ мени и системы дифференциальных уравнений (2.3.11) превра­ щается в систему (/i+l) обыкновенных линейных дифференци­ альных уравнений с п о с т о я н н ы м и коэффициентами:

пп

Рассмотрим эргодическую простейшую систему, работа кото­ рой описывается уравнением (2.4.5).

Все время работы системы можно разбить условно на два интервала: интервал (0,/п) и интервал (/п, оо) (рис. 2.4.4), при­ чем для моментов времени t>tn можно практически считать вероятности /?,• постоянными. Интервал времени (0, tn) обычно

называется интервалом переходного режима работы системы,

61

интервал (/„, оо) — интервалом стационарного режима работы

системы, а величина ta— временем переходного режима систе­ мы. Время переходного режима системы можно определить из следующего условия:

для любого t> tn

также от начальных условий (2.3.13), при которых интегрируется

Рис 2.4.5

(2.4.4) вероятности состояний практически не будут зависеть от времени.

Имеем

Система дифференциальных уравнений (2.4.5) превращается при этом в систему (п+1) алгебраических уравнений:

62

неопределенность устраняется, если учесть нормировочное условие

п

(2.4.7)

k—О

Вприкладных задачах часто ограничиваются изучением лишь стационарных (установившихся) режимов работы систе­ мы. В дальнейшем основное внимание будет уделено рассмотре­ нию стационарных режимов работы.

Выше мы рассмотрели эргодическое свойство как свойство независимости вероятностей состояний от времени и начальных условий при t— и » .

Однако эргодическому свойству можно дать и несколько иную трактовку, которая поможет решать различные приклад­ ные задачи.

Пусть система, в которой происходит эргодический процесс, находится в стационарном режиме, в ходе которого она время от времени попадает в состояние Xj и через некоторое случайное

время выходит из него. Изобразим на оси fit зачерненными уча­ стками промежутки времени, в течение которых система нахо­ дится в состоянии Xj, а незачерненными — промежутки, в тече­

ние которых она находится вне этого состояния (рцс. 2.4.5).

системы в состоянии xj i-й раз; бР — время пребывания системы вне состояния xj /-й раз; /Ур) = 7"И) + 0/(;) —время /-го цикла.

Вследствие того, что система обладает эргодическим свойст­ вом, она рано или поздно попадет в состояние Xj, затем выйдет

состояниям, иногда попадая в состояние Xj.

Рассмотрим достаточно большое число циклов N и возьмем

отношение суммарного времени нахождения системы в состоянии Xj к общему времени всех N циклов:

(2.4.8)

Можно доказать, что при неограниченном увеличении числа циклов N отношение (2.4.8) будет сходиться по вероятности к вероятности события pj\

(2.4.9)

63

С другой стороны, в силу однородности рассматриваемого процесса случайные величины (/=1, 2, N) распределены

одинаково, а так как процесс марковский, то они независимы. То же самое можно сказать и о случайных величинах (/=1, 2. ..., N). Поэтому при достаточно большом числе циклов N можно написать следующее приближенное равенство:

т. е. вероятность пребывания системы в состоянии х-} (при рас­

смотрении стационарного режима работы) равна отношению среднего времени пребывания системы в состоянии х$ к среднему

и выражение (2.4.12) можно записать в следующем виде:

где moo*) — среднее время пребывания системы вне состояниях,. Таким образом, вероятность Pj можно трактовать как среднее относительное время пребывания системы в состоянии Xj. Из

этого равенства следует, что для отыскания среднего времени /птО) пребывания системы в состоянии xj достаточно знать ве-

64

роятность пребывания системы в этом состоянии pj и среднее время пребывания системы вне этого состояния т ^ и на­

оборот.

Равенством (2.4.15) будем часто пользоваться. Напомним еще раз, что это равенство имеет место только для простейших эргодических систем, находящихся в стационарном режиме работы.

§ 2.5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ

Для большинства систем массового обслуживания, которые будут рассмотрены в этой книге, граф состояний имеет вид, по­ казанный на рис. 2.5.1. Для этих систем характерно то обстоя­ тельство, что каждое состояние (кроме двух крайних) имеет только два соседних состояния. Крайние состояния (крайнее ле­ вое и крайнее правое) имеют только по одному соседнему со­ стоянию.

с ним состояния: хк- Х (предыдущее) и хк+1 (последующее). Из крайнего левого состояния XQ возможен переход только в состоя­

влитературе принято называть «процессами гибели и размно­ жения». Такое название они получили потому, что впервые были применены в биологии для анализа численности популяций, рас­ пространения эпидемий и при исследовании других проблем. Так, например, если считать, что состояние хк соответствует числен­ ности популяции, равной k, то переход системы из состояния хк

всостояние хк+\ происходит при рождении одного члена популя­ ции, а переход в состояние хк-\ — при гибели одного члена попу­ ляции. Число п может быть как конечным, так и бесконечным.

Конечное число членов популяции может иметь место в том случае, когда имеются физические ограничения на максимальную численность популяции, например, при анализе развития микро­ организмов в каком-либо запаянном стеклянном сосуде. При ана­ лизе численности популяций в естественных условиях можно практически считать, что нет ограничений на эту численность.

05

На самом деле, такие ограничения есть в силу ограниченности размеров земного шара, но на практике эти ограничения не до­ стигаются.

Систему дифференциальных уравнений для вероятностей со­ стояний процесса гибели и размножения можно записать с по­ мощью правила, приведенного в § 2.3:

Эта система уравнений справедлива как для постоянных ин­ тенсивностей потоков, так и для случая, когда интенсивности потоков являются некоторыми функциями времени:

/-*=>-*(/) (£ = 0 , 1 , . . . , п 1); р,= {!,(/) ( i = l , 2 , ... , п).

Для интегрирования этой системы дифференциальных уравнений нужно задать начальные условия

Если число состояний п в системе конечно, то для любого момен­

та времени выполняется нормировочное условие

/

Рис. 2.5.2

Если переход возможен только справа налево, то такой про­ цесс называется п р о ц е с с о м г и б е л и (чистой гибели). Граф процесса гибели показан на рис. 2.5.3.

66

Для того чтобы написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний процесса размножения достаточно в системе (2.5.1) положить все параметры Цг = 0 (/= 1, ..., п). Ана­

логично, если требуется написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний процесса гибели, достаточно в си­ стеме (2.5.1) положить все параметры Xk=0 (& = 0, 1, ..., п— 1).

Рассмотрим несколько подробнее случай, когда у процесса гибели и размножения все параметры являются положительными постоянными величинами. Это означает, что величины Яь, |м не

зависят от времени, но зависят от индексов. Такой процесс ги­ бели и размножения, вписываемый с помощью графа, изобра­ женного на рис. 2.5.1, будет обладать эргодическими свойствами,

Рис. 2.5.3

1)граф состояний не имеет ни одного состояния без выхода

ибез входа и ни одной группы состояний без выхода и без входа;

2)все потоки событий, переводящие процесс из состояния в состояние, являются простейшими, так как параметры являются постоянными (во времени) величинами.

Будем называть такой процесс простейшим процессом гибели

иразмножения.

Таким образом, для простейшего процесса гибели и размно­ жения с конечным числом состояний п всегда существует стацио­

нарный режим работы *. Для определения предельных вероят­ ностей для стационарного режима, который наступит в процессе гибели и размножения после достаточного периода времени функционирования, можно записать систему (м+1) однородных алгебраических уравнений [см. (2.4.6)]:

* Случаи, когда п = °о, будет рассмотрен ниже.

67

Тогда уравнения (2.5.4) примут вид

и0= 0;

tin—i==- 0.

Анализ полученной системы уравнений показывает, что имеет место равенство

следовательно [см. (2.5.5)]:

Таким образом, мы получили возможность с помощью рекур­ рентной формулы (2.5.8) выразить значение любой вероятности Ph+i через все предыдущие.

Найденное выражение для всех вероятностей состояний про­ цесса гибели и размножения зависит от вероятности р0 и пара­ метров потоков. Вероятность р0 можно определить из нормиро­

вочного условия (2.5.3):

Итак, совокупность формул (2.5.9) и (2.5.10) дает возмож­ ность определить все вероятности состояний процесса гибели и размножения для конечного числа состояний п.

В случае, когда число состояний не ограничено (п = оо), ста­

ционарный режим может не существовать даже при постоянных

68

(не зависящих от времени) параметрах X/г; рг\ Это объясняется

тем, что могут иметь место условия, при которых нет никаких ограничений на рост популяции, и процесс все время «будет двигаться направо».

Для того чтобы нормировочное условие

2 Л (0 = !

к=0

выполнялось, достаточно расходимости ряда (см. 20):

Вдальнейшем изложении будет дано физическое обоснование

иприведены примеры, когда наличие постоянных интенсивностей потоков еще не гарантирует существование стационарного режи­ ма в процессах гибели и размножения.

Если рассматривается процесс чистого размножения, то нор­ мировочное условие

2 ^ ( ' ) = 1

выполняется только в случае, когда ряд

го

(2.5.14)

69

расходится [22]. В противном случае имеет место неравенство

2 а ( 0 < 1 .

откуда

1—2 P * V )= P (f)> 0 -

к=0

Последнее неравенство означает, что за время t имеется конечная вероятность p(t) того, что в процессе чистого размно­

жения произойдет сколь угодно большое (бесконечное) число переходов. Такие процессы имеют место при рассмотрении явле­ нии типа «взрыва».

В процессах чистого размножения при отсутствии ограниче­ ний на число состояний (п=оо) стационарный режим не сущест­

вует. В этом случае будет иметь место постоянное «движение» системы в сторону состояний, находящихся «справа».

В начале этого параграфа указывалось, что процессы функ­ ционирования большинства рассматриваемых в книге систем массового обслуживания можно представить как процессы гибе­ ли и размножения. Из этого следует, что основные соотношения и формулы для этих систем массового обслуживания могут быть получены из формул этого параграфа как различные частные случаи процесса гибели и размножения. Однако такое методи­ ческое построение книги привело бы к более формальному изложению материала и не дало бы возможности раскрыть физический смысл, вкладываемый в те или иные соотношения и формулы.

Так как книга имеет прежде всего прикладной характер, по­ этому все соотношения и формулы мы будем выводить из физи­ ческих условий работы той или иной системы массового обслу­ живания, а не как частные случаи формул этого параграфа. При этом мы будем широко использовать общие результаты, полу­ ченные для процессов гибели и размножения.

§ 2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ НАХОЖДЕНИЯ В ГРУППЕ СОСТОЯНИИ

При рассмотрении различных задач теории массового обслу­ живания зачастую требуется найти закон распределения времени пребывания системы в группе состояний. Например, при рассмот­ рении системы с очередью требуется определить закон распреде­ ления времени наличия в системе очереди, которое отсчитывается от момента возникновения очереди до момента, когда последняя заявка, стоящая в очереди, уйдет из нее (т. е. очередь будет ликвидирована).

70