книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

ожиданием, когда параметры ц, т], Л, v являются постоянными и система работала достаточно долго для того, чтобы переходной процесс затух. Тогда вместо системы дифференциальных урав­ нений (6.2.1) мы получим систему алгебраических уравнений. Эту систему можно получить из системы (6.2.1), если положить все производные равными нулю. Решая последовательно такую систему алгебраических уравнений, можно получить следующие выражения для вероятностей состояний в установившемся ре­

где величина а* определяется так же, как и в § 6.1:

Введем новые обозначения

^__L

(6.2.5)

(6.2.6)

Величине у можно дать такое истолкование: это есть среднее

число заявок, которое находилось бы в системе, если бы ни одна из них не обслуживалась. В этом случае заявки покидают систе­ му только за счет своего «нетерпения».

Величина 6 есть среднее число циклов обслуживания всеми п

2 2 1

Умножим знаменатель и числитель правой части (6.2.8) Н0 е-а* и с уЧехом обозначений (1.5.23) и (1.5.26) получим

т-Г

R (Л, а*) + Р (л , а*) ^ ---------

Г=1 П (6 + у )

}=1

Дальнейшие преобразования связаны с необходимостью введе­ ния в рассмотрение гамма-функции Г(х). Напомним ее опреде­ ление

Нам потребуется использовать следующие два свойства гаммафункции:

1) для любого действительного положительного х

2) для любого неотрицательного целого х

На основании первого свойства гамма-функции можно на­ писать следующее равенство:

222

Р (В, 7)

Таким образом, при целом неотрицательном б окончательно по­ лучим следующие выражения для вероятностей состояний:

рa 7)

Вслучае, если величина б не является целым числом, можно воспользоваться следующим приближенным приемом, который дает вполне удовлетворительную точность. Любое положитель­ ное число б может быть записано следующим образом:

223

Например, число 7,75 может быть записано так:

7,75 = [7,75] + {7,75} =7 + 0,75

После этого вычисляются вероятности ри (или рп+г) для двух

значений [6] и [6]+1. Затем производится линейная интерполя­ ция на величину {б}.

Расчеты показывают, что такая линейная интерполяция впол­ не достаточна. При больших значениях б (6 ^ 1 0 ) можно обой­ тись и без линейной интерполяции, а просто число б округлять до ближайшего целого числа и расчеты производить по этому числу. В дальнейшем будем предполагать, что число б является целым.

Найдем основные характеристики такой системы. Начнем с математического ожидания числа занятых каналов k :

Вероятность обслуживания будет равна

Р обе

\хк

т

Найдем среднее число заявок, «ожидающих» обслуживания г

[см. (6.2.20) и (6.2.17)]:

Для вычисления суммы, входящей в числитель выражения (6.2.23), применим метод дифференцирования рядов:

224

Таким образом, окончательное выражение для среднего числа

заявок, находящихся в очереди на обслуживание, будет иметь вид

Я (<-. 7)

Если по условиям задачи величина т достаточно велика, то

выражения (6.2.22) и (6.2.25) можно упростить, имея в виду следующие предельные соотношения:

Нт/?(/и + 3, у) = 1;

т-*- о?

(6.2.26)

Нт Я ( / / z - f - у) =0 .

Рис. 6.2.2

Вероятность того, что канал (любой) будет занят, опреде­ ляется из выражения

(при 6 = 0 полагать R { 6— 1, у) = 0).

Закон распределения времени неполной загрузки системы определяется с помощью графа состояний, изображенного на рис. 6.2.2. Систему дифференциальных уравнений, соответствую­ щую этому графу состояний, нужно интегрировать при началь­ ных условиях

Плотность распределения времени простоя системы будет

/п .с(* ) = *А,(*) ( * > 0 ) .

Среднее время неполной загрузки системы будет таким же, как и у системы с отказами и ограниченным временем пребыва­ ния заявки в системе [см. (6.2.14) и (6.2.15)]:

{ _ Р (я, а*)

1________ /?(л, а*)

(6.2.30)

'ц* Р (я, а*)

R (Я, а * )

Для определения закона распределения времени полной за­ грузки системы составим граф состояний, изображенный на рис. 6.2.3.

Рис. 6.2.3

Систему дифференциальных уравнений, соответствующую этому графу, нужно интегрировать при начальных условиях

Плотность распределения времени занятости системы найдем из выражения

/н . з (О—/7!А Рп(£)-

Среднее время полной загрузки системы определим на осно­

где 7 н.з и Яп.з определяются из выражений (6.2.30) и (6.2.28) со­

ответственно.

Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены в § 5.1 при выводе формулы (5.1.15), найдем среднее время занятости канала:

J J *

где Рил — вероятность наличия очереди в системе, которая опре­

деляется из выражения

226

т

Среднее время наличия очереди t „ . 0 определяется с помощью графа подсистемы X, приведенного на рис. 6.2.4.

Я (®, 7)

R ( т + 5. 7) — R (о — 1, 7 )

Р+ г, 7)

Ял+л— R ( m + Ъ, 7 ) — R ( b — 1, 7 )

227

Среднее время пребывания в состоянии хп (см. граф на

рис. 6.2.4) будет

Следовательно, среднее время наличия ^очереди, т. е. пребы­ вания системы в группе состояний хп+\, ..., хп+т, примет вид

заявки в очереди введем в рассмотрение гипотезу, состоящую в том, что в системе к моменту прихода очередной заявки имелось в очереди г заявок (/*=О, 1, ..., т). Вероятность этой гипотезы равна по определению /?п+г. В этом случае время нахождения вновь поступившей заявки в очереди будет определяться из вы­ ражения

Гг = гп1п(Ог, 7\),

где 0Г— время, потребное для освобождения хотя бы одного канала при условии, что в очереди имеется г заявок (будут ли эти заявки обслужены или нет, нас не инте­ ресует) ;

7V— время пребывания заявки в очереди в случае, если эта заявка не будет передана на обслуживание.

Случайная величина 7\ подчинена показательному закону с параметром v[/v (/)= v e _v* ( t ^ 0)]. Случайная величина 0Г пред­

ставляет собой сумму независимых показательно распределен­

ных случайных величин

г

228

с параметрами яр,*, яр* + л>, яр*+г\’ соответственно. Извест­

но, что закон распределения суммы независимых показательно распределенных случайных величин является обобщенным зако­ ном Эрланга г-го порядка и в данном случае имеет вид [19]

Тогда закон распределения минимума двух независимых слу­ чайных величин можно найти из выражения [19]

i=o (i+J)

При г= 0 получаем закон распределения минимума двух не­ зависимых показательно распределенных случайных величин с параметрами яр* и v соответственно. Этот закон также будет показательным:

Условное математическое ожидание времени нахождения заявки в очереди при условии, что в очереди имеется г заявок, равно

Безусловную плотность распределения времени нахождения заявки в очереди можно найти следующим образом:

п + т — 1 л—1

Наличие в составе плотности f(t) дельта-функции указы­

вает на то, что время ожидания в очереди представляет собой смешанную случайную величину с одним скачком при t= 0. Ти­

пичный график функции распределения времени ожидания пока­ зан на рис. ь.2.0.

Среднее время пребывания заявки в системе определяется

величины k н г находим по

формулам (6.2.22) и (6.2.25) соответственно.

О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы

Вероятность того, что занято ровно k каналов и очереди нет:

Р ( k , а * )

R (т + Ь, i) — R (Ь, т)

R (Л, а * ) + Р ( п , а * )

Р (*■ V

где

а = ■

П<х*

целое число;

Y = .

Вероятность того, что все п каналов заняты обслуживанием п заявок и в системе есть еще г заявок в очереди:

230