книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

Время простоя системы Г„.с распределено по показательному за*-' кону с параметром л, так как граф соответствующей подсистемы имеет вид, показанный на рис. 4.1.4. Следовательно, среднее время простоя системы равно

Среднее время пребывания заявки в системе t определяется

из условия

f l = l = s --- k,

где / — среднее число заявок, находящихся в системе, равное среднему числу занятых каналов k или среднему числу

обслуживаемых заявок 5,

откуда

Для того чтобы найти закон распределения времени Т нахож­

дения заявки в системе, воспользуемся следующими рассужде­

ным величинам смешанного типа, функции распределения кото­

i = 0. Следовательно, плотность распределения времени Т пребы­

вания заявки в системе будет иметь следующий вид:

ill

Функция распределения времени Т пребывания заявки в снеге*

ме определяется из выражения

Напомним, что в данном случае единичная функция (единич­ ный скачок) имеет следующее определение:

Дельта-функция равна

3(0 — 57 ,( /) *

График функции распределения F(t) представлен на рис. 4,1.5.

Предлагаем читателю самостоятельно проверить справедли­ вость формулы (4.1.29), вы­ числив математическое о>кидание времени t по формуле

t = J tf(f)dt,

где f(t) определяется из вы­

ражения (4.1.30).

В дальнейшем при фор­ мулировке условий задач будем для краткости число каналов /г, интенсивность потока за

явок X и интенсивность потока обслуживаний \х называть пара­ метрами системы и перечислять всегда в указанной последова­ тельности (п, Ху и).

О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы

Вероятность того, что занято ровно k каналов:

где а = Х/|х.

Среднее число занятых каналов

R («. *)

112

Вероятность обслуживания заявки (относительная пропуск­ ная способность системы)

Вероятность того, что система полностью загружена:

Среднее время пребывания заявки в системе

т=±-

З а д а ч и и у п р а ж н е н и я

4.1.1.Рассматривается двухканальная система массового

обслуживания с отказами и параметрами (п = 2, А,, р). Найти за­

кон распределения времени неполной загрузки системы в стаци­ онарном режиме.

113

Р е ш е н и е Граф состояний подсистемы для определения плотности

4.1.1а.

Выпишем систему дифференциальных уравнений для опреде­ ления плотности распределения /н.з ( 0 :

dp- ~^- --- — Хр0( 0 + O');

dp\(t)

—( * f i i)Pi 0)+x/?00);

dt

dp? (О = ^ |(0 = /н.з(0.

dt

Начальные условия для интегрирования системы следующие:

Й (0 )= 1 ; Я (0) = 0; л (0 ) = 0.

Дифференциальные уравнения будем решать с помощью преоб­

График плотности распределения времени неполной загрузки

114

Математическое ожидание времени неполной загрузки систе­ мы для этого случая будет

На рис. 4.1.16 пунктиром показана плотность распределения

0,5 сек. т. е. ~Y =0,5 сек. Требуется найти характеристики рабо­

ты АТС. Робе1 ^З.К, ^З.К1 ^11.К» ^П.З) ^п.з?

Р е ш е н и е АТС представляет собой 120-канальную систему массового

обслуживания с отказами. Параметры системы следующие:

п =120; Х =2 Г—-—1 ;

115

Среднее число занятых каналов будет равно [см. (4.1.15)]:

120 + 0 ,5 — 120

Ф*

1/Т20

Вероятность обслуживания

Ро6с = — = - 7 ^ - ~ ° > 931-

Вероятность того, что канал занят, будет равна

Среднее время занятости канала

/З.к = — = 1 мин = 60 сек.

и.

Среднее время простоя канала

1‘п.к=/3.1< ‘ ~ Яп-к ss4 ,5 сек.

л п.к

Среднее время пребывания заявки в системе (с учетом того, что разговор может и не состояться)

Вероятность полной загрузки системы

*п.3 = 1-Яобс = 0,069.

Среднее время полной загрузки системы

А|.з= —^-=0,5 сек.

Среднее время неполной загрузки системы

/ в.з = /„.з — -Яп— = 13,5 сек.

Л'П.З

116

откуда

л — 2

—V — > 0 ,

пк=О к\

что имеет место для любого а > 0 и любого п> 1.

Найдем приращение А вероятности обслуживания заявки за счет «дробления» общей производительности между п каналами:

жет быть выгодно, так как в этом случае увеличивается время пребывания заявки в системе. Действительно, для первой систе­ мы (п каналов с производительностью каждого канала ц) сред­

нее время пребывания заявки в системе равно

Для второй системы (один канал с производительностью пр)

среднее время пребывания заявки в системе равно

118

Покажем, что для любых л]>0, ц > 0 и //>*1

откуда

или

(4.1.32)

Выше уже была доказана справедливость неравенства

Робе >Робс. Следовательно, и неравенство (4.1.32) тем более

будет иметь место. Таким образом, при дроблении общей произ­ водительности увеличивается вероятность обслуживания, но вместе с ней увеличивается также и среднее время пребывания заявки в системе в основном за счет уменьшения потерь заявок.

Ci, создание одного канала обслуживания требует среднего рас­ хода С2, эксплуатация одного канала в единицу времени требу­ ет среднего расхода С3.

Определить, при каких соотношениях стоимостей Сь С2 и С3 система будет рентабельна и через какое время t она начнет при­

носить прибыль.

Р е ш е н и е Будем решать задачу в предположении, что система находит­

ся в стационарном режиме. Тогда за время t эксплуатации

системы она принесет среднюю прибыль.

W ,

ность системы. За это время будет израсходована в среднем стои­ мость

С2п С3я/.

Прибыль такая система начнет приносить через время t, оп­

ределяемое условием

СjX0tf —С411-(- C3nt,

119

откуда

t

СгК — Qin

Условие рентабельности системы очевидно, следующее:

Сi/»o С$/1 О

или

С Л ^ С$п.

Преобразуем это выражение (с учетом того, что = ХR ( n — 1, а).

Таким образом, для фиксированных значений л, |х, Сь С3 существует область значений числа каналов п, в которой система рентабельна. Максимальное число каналов птлк определяется из

условия

Область рентабельных значений числа канала п определяется из

выражения

стей Ci и С3 вообще может не существовать. Так, например, при

-£ - = 1, >• = !*=! О;)

не существует такого целого положительного числа п, для кото­

рого выполняется условие

так как минимальное значение правой части будет иметь место при п = 1; это минимальное значение равно 2:

120