книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

Как уже указывалось, граф состояний большинства рассмат­ риваемых в книге систем X имеет вид, показанный на рис. 2.6.1.

Такая система имеет (п+1) состояний, переход возможен непосредственно только в «соседние» состояния. Переход «через состояния» невозможен вследствие ординарности пуассоновского потока событий. Процессы, описываемые такими системами, на­ зываются процессами гибели и размножения (см. § 2.5).

' Руппа состояний

Рис. 2.6.1

Найдем закон распределения времени Т непрерывного пре­

бывания системы в группе состояний

x h х 1+и •••, x j - и Xj (/ = 0 , 1, 2,. п; у = 0 , 1, 2, . . . п\ / < у )

при условии, что в начальный момент времени / = 0 система на­ ходилась в каком-то одном из этих состояний. Для определенно­ сти будем считать этим состоянием х*. Очевидно, нахождение закона распределения времени Т эквивалентно отысканию зако­

на распределения времени блуждания системы по состояниям

Рис. 2.6.2

прием: представим себе некоторую подсистему X, состояния ко­

торой изображены на графе (рис. 2.6.2). Эта подсистема имеет, кроме исследуемой группы состояний х,-, ..., Xj, еще два смежных состояния «слева» и «справа», в которые она может только ухо­ дить, но из которых она не может возвращаться. Этой подсисте­ ме соответствует система дифференциальных уравнений:

71

p'i—1(0 = b u -iP /(0 ;

Pi (t)= —Q'IJ+I’T'^IJ—I) Pi (0 “b ^1+ljPi +l (0’»

Найдем функцию распределения F(^) времени Г пребывания

системы X в группе состояний л:*, ..., Xj. Она равна вероятности того, что это время Т будет меньше, чем У, т. е. что к моменту

времени t система не будет находиться в группе состояний Xi, ..., xj, а будет находиться либо в состоянии хг-_ь либо в состоя­ нии xj+1. Следовательно:

временем и счетным числом состояний.

72

система X ведет себя за пределами этой группы и как она в нее

возвращается.

Таким образом, для отыскания плотности распределения вре­

Pi(t) и pj(t) * После этого по формуле (2.6.5) найдем плотность распределения времени Т.

Зная плотность распределения случайной величины Т, можно

найти ее числовые характеристики: математическое ожидание

Если требуется найти закон распределения времени Т пребы­

вания системы в группе состояний «правее» Х{ (включая само

состояние Хг(/>0)), то граф состояний подсистемы X будет иметь вид, показанный на рис. 2.6.3. Интегрировать систему дифференциальных уравнений, соответствующих такому графу

состояний, нужно при начальных условиях /7/(0) = 1; /^ (0 )= 0 ( /^ /^ п , кф1). Плотность распределения случайной величины Т

ных уравнений, соответствующую графу состояний, изображен­ ному на рис. 2.6.4.

Начальными условиями для решения этой системы уравнений будут /5; (0)= 1; Я (0 )= 0 ( 0 < /< У , кф1).

* Заметим, что этим способом можно отыскивать закон распределения времени пребывания в группе состоянии и в случае, когда интенсивности пото­ ков являются переменными.

73

Плотность распределения случайной величины Т в этом случае

найдем по формуле

a t

Таким образом, решая определенную систему уравнений, можно найти закон распределения времени нахождения в группе состояний. Однако зачастую нам не требуется находить закон распределения времени пребывания системы в группе состояний

♦/ v , „ ___

: - - d S E tp

Рис 2.6.3

х,-, ..., Xj, а требуется лишь найти математическое ожидание этого

времени. Мы ограничимся при этом лишь случаем, когда либо j = n, i ^ l ; либо i = 0, a j ^ n — 1 и интенсивности всех потоков со­

бытий постоянные.

Рассмотрим граф состояний, изображенный на рис. 2.6.5. Будем искать среднее время пребывания системы в состояниях

Рис. 2.6.5 Рис. 2.6.6

xit .... x„(t>=l). Очевидно, закон распределения времени нахож­ дения системы в состояниях х,-, ..., хп не зависит от того, какой

конкретный вид имеет граф состояний системы «слева» от со­ стояния х^ Следовательно, для решения задачи можно рассмот­

реть более простой граф состояний подсистемы, изображенный на рис. 2.6.6.

При постоянных значениях всех интенсивностей потоков со­ бытий для подсистемы, граф состояний которой изображен на рис. 2.6.6, существует стационарный режим. Обозначим через Ti, ..., п время пребывания в группе состояний х,-, .... хп, отсчиты­

ваемое от момента попадания в состояние Xj до следующего очередного момента попадания в состояние х;_г, через Т¥-\ —

время однократного пребывания в состоянии Xt—г и через я,-, ..., «— вероятности нахождения системы, граф состояний которой изображен на рис. 2.6.6, в состояниях х», ..., х„.

74

Эту систему нужно решать совместно с нормировочным условием

вания системы в группе состояний нам нужно решать не систему дифференциальных уравнений, а систему а л г е б р а и ч е с к и х уравнений, что значительно облегчает задачу.

Примеры решения задач с применением формул (2.6.11), (2.6.12) будут рассмотрены в следующих главах, где будут ана­ лизироваться конкретные системы массового обслуживания.

Во многих случаях можно приближенно считать, что закон распределения времени 7\-,.... п пребывания в группе состояний

75

ние Xi до следующего очередного момента перехода в состояние

*t-!. Возможность такого приближенного допущения основана

на том, что вероятность Pi(t), определяемая графом состояний,

изображенным на рис. 2.6.7, является монотонно убывающей функцией времени t. Это справедливо только в случае, если в начальный момент система находится в состоянии хс

Обозначим приближенную плотность распределения времени пребывания в группе состояний х^ ..., хп через fi, ...|П(0- Тогда

Г,-,..., п — среднее время пребывания в группе состояний хи •••, хиу

определяемое по формуле (2.6.12).

Метод отыскания закона распределения времени пребывания в группе состояний, изложенный в этом параграфе, может быть применен и в случае, если граф состояний системы имеет произ­ вольный вид, отличный от того, который показан на рис. 2.6.1. Этот метод может быть применен и для отыскания законов рас­ пределения времен пересечения марковским процессом заданного уровня.

§2.7. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

2.7.1.Для системы, граф состояний которой изображен на рис. 2.6.1, найти закон распределения времени нахождения в крайнем «левом» состоянии х0, если в начальный момент система

находилась в этом состоянии. Р е ш е н и е

Для нахождения закона распределения воспользуемся гра­ фом состояний, изображенном на рис. 2.7.1а.

Дифференциальное уравнение будет иметь вид

- ^ = - W o ( 0 .

76

Его нужно решать при начальном условии р0(0) = 1:

? о (0 = « " 41' (* > 0 ).

Плотность распределения времени Т будет

/ ( 0 = ~ТГР1 (1) = }'ОлРо(() = 1оле~1ол> ( / > 0). at

Мы получили показательный закон распределения, что естест­ венно. Числовые характеристики этого закона будут равны

М [ Т ] = т ~ ,

л0,1

Я 1П = Т 7 -

>•5.1

Если требуется найти закон распределения времени пребыва­ ния в крайнем «правом» состоянии х1и то соответствующий граф

состояний будет иметь вид, показанный на рис. 2.7.16.

Рис. 2.7.1

Следовательно, и в этом случае закон распределения будет показательный, но с параметром 7,_i.

2.7.2. Решить пример 2.7.1 при условии, что параметр A,0>i за­ висит от времени

Хол(/) = а(1 —sin о)t).

Р е ш е н и е Дифференциальное уравнение имеет вид

77

2.7.3. Граф состояний системы имеет вид, показанный на рис. 2.7.3а. Требуется определить закон распределения времени Т пребывания в состояниях х0у ..., хп- х при условии, что при t = О система находилась в состоянии х0.

Р е ш е н и е

Граф состояний подсистемы X для определения закона рас­ пределения времени Т будет иметь вид, показанный на рис.

Рис. 2.7.3а

2.7.36. Соответствующая этому графу состояний система уравне­ ний будет

■ ^ P ~ = - h p M

a t

Начальные условия, при которых нужно интегрировать эти урав­ нения, имеют вид:

d t

Преобразование Лапласа для этого уравнения будет

где pi(s) — изображение функции p\(t).

78

Следовательно:

Оригинал для изображения p\(s) будет иметь вид

Pl(t) = l0 е ~ е

h — х0

Для отыскания вероятности р2(0 получим уравнение

dp2(t)

dt ■J -ЧРч^) = \Р1 (0-

Преобразование Лапласа для этого уравнения будет равно

sp2 (s) -f l2p2 (s) = Xjpx (s) = —

П (s + X/)

/=0

откуда

p2(s)--

П(S + X|)

/=0

Соответствующий этому изображению оригинал будет иметь вид

р ( Л= ХХ (Х2 — Хг) в""*0* 4- (Х0 — Х2) g~Xl* + (Xi — К) е Xg*

(Х0 — Xj) (Xj — Х2) (Х2 — XQ)

Выражения для p\(t) и p2(t) можно переписать в следующем

виде:

То, что Л=^/, означает, что рассматривается произведение только различных параметров, т. е. при й= / нужно полагать Xj—Xh— 1. ^

Можно показать, что выражение для вероятности Ph(t) будет

79

Тогда искомая плотность распределения случайной величи­ ны Т запишется так:

Закон распределения, имеющий такую плотность, называется обобщенным законом Эрланга (п— 1)-го порядка (/2= 1, 2, ...).

Его числовые характеристики будут равны

п— \

M[ r ] = £

/=0

/7 — 1

/=0

рис. 2.7.4а. Сравнить между собой законы распределения двух случайных величин Т0 и Ти где

80