книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания
..pdf§ 1.5. ДРУГИЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПОТОКИ ПАЛЬМА
1. Регулярный поток событий
Регулярный поток представляет собой последовательность событий, разделенных строго одинаковыми интервалами (рис. 1.5.1). Плотность распределения интервала между любыми событиями может быть представлена в виде
|
|
f(t)= b{t —mД |
|
|
|
(1 5.1) |
||
где |
6(т) — известная дельта-функция. |
|
|
|
|
|||
|
Напомним основные свойства дельта-функции: |
|
|
|
||||
|
0-иг |
|
|
|
щ |
|
|
|
|
1. j ср (т)о (т )^ = ср(0), (1.5.2) |
|
щ |
• |
т\ , |
|||
|
|
|
||||||
|
0 - г |
|
|
|
IV ; |
|
‘J |
ч t |
где |
ср (т)— любая |
функция, |
не |
0 |
|
|||
прерывная в точке т = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
В выражении |
(1.5.2) величина |
|
Рис. 1.5.1 |
|
|
||
е может быть любым положи |
|
|
|
|
|
|||
тельным числом. В частности, |
если |
ф(т) = |
1, то получим |
|
||||
0+£
} 8 0 0 ^ = 1 .
2. |
6(т) = 0 при тфО. |
(1.5.3) |
3. |
тб(т) = 0 . |
(1.5.4) |
Так как интервал между соседними точками строго постоянен
и равен /П/, то, очевидно, что математическое |
ожидание этого |
интервала равно mt, а дисперсия |
|
Dt= 0. |
(1.5.5) |
Для нахождения плотности распределения интервала, на ко торый случайным образом падает точка S (см. рис. 1.5.1), вос пользуемся соотношениями (1.2.3), (1.5.1) и (1.5.4):
Г ( 0 = — |
/ ( / ) = — о(/ — т,) = 1~ щ + т‘ 8 ( / - т,) = 8(/-,»,). |
|
?nt |
mt |
mt |
|
|
(1.5.6) |
Таким |
образом, наличие |
случайной точки S на каком-либо |
из интервалов между соседними событиями не изменяет закона распределения этого интервала: интервал остается по-прежнему неслучайным и равным mt.
Найдем закон распределения времени 0 от случайной точки S до наступления очередного события. На основании выражений
(1.3.2) |
и (1.5.2) |
получим |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
1— F(b) |
1 — \ l(t — mt)dt |
(— |
при |
0 с: (0, т,); |
|
<?(0) = |
о__________ |
|||||
J mt |
|
|
||||
|
гщ |
mt |
( 0 |
при |
0ф(О, т Д |
|
|
|
|
21
где •&<=((), mi) |
означает |
выполнение |
неравенства |
а выражение |
mi) |
означает, что |
или Ф^О. Таким |
образом, случайная величина 0 распределена по закону равно мерной плотности на интервале (0, mt). Найдем числовые харак
теристики случайной величины 0 [см. (1.3.5), (1.3.7) (1.5.5)]:
ть |
mt |
| |
Dt _ |
mt |
(1.5.8) |
|
2 |
‘ |
2m t |
2 |
|||
|
|
|||||
D[6] |
m] |
|
(rnty |
^ m] |
(1.5.9) |
|
%mt |
|
4m2t |
12 |
|||
|
|
|
Характеристическая функция интервала между соседними событиями в регулярном потоке будет иметь вид [см. (1.2.4), (1.5.2)]
g (x )= M [ e IJlT] = j |
elixb{t-rnt) d t= e lm<x |
(1.5.10) |
— |
no |
|
Регулярный поток событий сравнительно редко используется при решении прикладных задач теории массового обслуживания. Это объясняется тем, что такой поток событий обладает очень большим («неограниченным») последействием, так как, аная лишь один момент наступления события в регулярном потоке, можно восстановить все прошлое этого потока и предсказать все его будущее.
2. Нормальный поток событий
«Нормальным потоком» будем называть поток Пальма, для которого интервалы между событиями распределены по нормаль ному закону:
Заметим, что, строго говоря, интервал между событиями не может быть подчинен нормальному закону, так как он представ ляет собой не отрицательную величину, а область определения нормального закона (—оо, + оо). Однако если границы практи чески возможных значений случайной величины не выходят за пределы положительной области, например, выполняется условие
mt> 3=>„ |
(1.5.12) |
то можно считать интервал распределенным нормально (вероят ность отрицательных значений практически равна нулю).
22
Заметим, что описанный выше регулярный поток событий можно рассматривать как предельный случай нормального по тока при at— И). Действительно, при at— Ю имеем
|
_ |
± |
/ t-mt \2 |
|
|
Иш |
1 |
2 |
I |
) |
(1.5.13) |
------ Л |
|
|
= <>(*—m t), |
||
а,-*0 V "я Of |
|
|
|
|
|
т. е. при ot— >-0 нормальная |
плотность распределения переходит |
||||
в дельта-функцию. |
|
|
|
|
Т* между дву |
Найдем плотность распределения интервала |
|||||
мя соседними событиями, на который случайным образом пада ет точка S (см. рис. 1.2.2):
t |
t |
1 (‘- " tV |
2 \ at ) |
||
/* (* )= — /(*)= |
mt V ”2я ot |
(t> 0). (1.5.14) |
щ |
|
Определим числовые характеристики интервала Т* [см. (1.2.1),
(1.2.2)]: |
|
|
|
|
|
mt*=tnt-\----------mt-1--------; |
|
(1.5.15) |
|||
|
|
mt |
mt |
|
|
D [7 4 - |
^[7*] |
Ш\ТЦГ- |
|
|
|
|
|
m t |
m \ |
|
|
Величина М[Г3] для нормального закона будет |
|
||||
М [7'3]= |
а3= J tzf(t)d t = 3 m p ^ m f . |
|
|||
С учетом последнего равенства получаем |
|
|
|||
(°? + л*/)2 |
|
Di |
|
|
|
£)[Г*] = За2+ /и*- |
|
|
-Ц(-(/71? —/),).(!. 5.16) |
||
|
|
|
т : |
|
|
Закон распределения |
случайной |
величины 0 |
(см. рис. 1.3.1) — |
||
промежутка времени |
между |
точкой 5 и следующим |
за этой |
||
точкой событием, будет [см. (1.3.2)]: |
|
|
|||
®(0) = 1- /Ч» ) |
- - P i * ) |
> 0 ), |
(1.5.17) |
||
щщ
где
JC |
Г- |
(1.5.18) |
Ф *(л)=-Л г. f е |
2 dt |
|
V 2Я |
|
|
нормальная функция распределения.
23
Числовые характеристики случайной величины 0 найдем из выражений (1.3.5) и (1.3.7)
|
т{ = МЩ = |
Д(_1 . |
(1.5.19) |
|
|
|
|
mt J ’ |
|
|
|
Д2 |
|
0 |
D[0] |
|
|
(1.5.20) |
|
3mt |
4mJ |
|
||
|
|
12 |
||
При выполнении условия (1.5.12) эта величина не может быть отрицательна.
Характеристическая функция интервала между соседними со бытиями в нормальном потоке имеет вид
g{x)= \ |
оМх . |
г |
2 ' |
' Л* |
imt |
|
|
dt = e |
1 2 (1.5.21) |
||
|
] |
2л |
|
|
|
3. Поток Эрланга
Поток Эрланга получается путем особого преобразования («разрежения») простейшего потока. Это преобразование осу ществляется путем выбрасывания некоторых событий из про стейшего потока (рис. 1.5.2).
Рис. 1.5.2 Рис. 1.5.3
В верхней части рисунка изображен простейший поток П.
Предположим, что из него выбрасывается каждая вторая точка (событие). Оставшиеся невыброшенными события составляют новый поток событий, который называется потоком Эрланга 1-го порядка Э\. Если выбрасывать два события подряд и оставлять
в потоке каждое третье событие, то пдлучим поток Эрланга 2-го порядка Э2 (рис. 1.5.3) и т. д.
Теперь можно дать следующее общее определение: потоком Эрланга k-го порядка называется поток Пальма, у которого ин
тервалы между событиями представляют собой сумму (&+1) не зависимых случайных величин, распределенных одинаково по показательному закону с параметром X. Параметр X представля ет собой интенсивность исходного простейшего потока П. Вели чина k может принимать значения 0, 1, 2, При &= 0 получаем
24
исходный простейший поток /7, так как никакого преобразования мы не делаем.
Можно доказать, что плотность распределения случайной ве личины Г-интервала между двумя соседними событиями в пото ке Эрланга k-то порядка равна
Л ( 0 = - ^ - в - » (/ > 0 ). |
(1.5.22) |
АН |
|
Для дальнейших расчетов нам понадобится ввести в рассмот |
|
рение специальную функцию |
|
P{k, |
(1.5.23) |
Напомним, что вероятность P(k, а) равна |
вероятности того, |
что случайная величина Ху распределенная |
по закону Пуассона |
|||
с параметром а, примет значение k\ |
|
|
|
|
P{k, |
a) = P (X = k). |
|
(1.5.24) |
|
Таким образом: |
|
|
|
|
f k(t) = t.p(k, |
U). |
|
|
|
Функция распределения случайной величины Т будет иметь |
||||
вид |
|
k |
|
|
/ |
|
|
|
|
г * (0 = 5 Л (0 л = 1 - |
2 - ^ г - |
' |
(1.5.25) |
|
О |
/1 = 0 |
|
|
|
Если ввести в рассмотрение функцию
кк
R(k, а) = 2 -Д- «"" = |
2 Я(//’ |
(1-5.26) |
и=0 |
п=О |
|
то выражение для функции распределения примет вид |
|
|
F(t) = 1 —/?(Л, |
>Л |
(1.5.27) |
Функция R(k, а) равна вероятности того, что случайная величи
на X, распределенная по закону Пуассона с параметром а, при мет значение не большее k:
R{k, |
a)= ^P {X ^k). |
(1.5.28) |
Таблицы функции R(k, а) |
даны в приложении. |
введен |
В дальнейшем изложении будем часто пользоваться |
||
ными функциями P(k, а) и R(k, а), поэтому советуем читателю
25
запомнить их определения. Между функциями P(k, а) и JR(k, а)
существуют следующие соотношения:
dR(k, а) — |
P(k, а)\ |
(1.5.29) |
da |
|
|
со |
|
|
R(k, a ) = [ P { k , x)dx\ |
(1.5.30) |
|
a |
|
|
P{k, a)=R(k, |
a) — R{k — \, a), |
(1.5.31) |
в справедливости которых читатель может убедиться самостоя тельно.
При больших значениях параметра а (а > 20) для вычисления функции R(k, а) можно пользоваться следующим приближенным
выражением:
|
R(k, |
а)^Ф * |
|
(1.5.32) |
|
X |
г - |
|
|
где Ф* {х) — — ^ |
[ е |
2 eft— нормальная |
функция распреде |
|
ли Л |
|
|
|
|
ленчя. |
|
|
|
|
Помимо этого, полезно знать следующие свойства функций |
||||
P(k, a ),R (k , а): |
|
|
|
|
ИшЯ(0, а ) = 1 ; |
НтР( £, а) = 0; |
llm/?(£, |
а ) = 1 ; UrnR(k, а)— 1. |
|
а-0 |
а->0 |
(ft ф0) |
a-+Q |
ft-*» |
Рассмотрим случайную величину X, распределенную по за кону Пуассона с параметром а, и найдем наивероятнейшее зна
чение /г* Это значение определяется из условия
P(k*> a) = maxP(k, а).
л
Для того чтобы выполнялось это равенство, требуется сов местное выполнение двух неравенств:
P ( k * - 1, |
a ) < P ( k \ |
а); |
P(k' + 1, |
а ) < Я( й *, |
а). |
Из первого неравенства имеем
„ft*
■е~а <
(k* — 1)! |
^ k*\ |
откуда
а > k*
26
Из второго неравенства
а*♦+1 |
< |
|
|
(к* + 1)! |
к*\ |
||
|
откуда
a < k ' + 1.
Объединяя эти два неравенства, получим
а — 1 < к* < а ,
где к* — целое неотрицательное число.
Рассмотрим положительное число а и обозначим [а] его целую
часть («антье»), т. е. наибольшее целое число, заключенное в а.
Например, |
если |
а = 7,85, то |
[а] = 7; |
если а=0,3, то [а] = 0; если |
а — целое |
число, |
то [а]=а. |
Тогда |
(если а — нецелое число) |
наивероятнейшее значение k* будет определяться из равенства
к* = [а]. Если а< 1, то &* = 0; если а — целое |
число, то имеются |
|
два наивероятнейших значения: k{* = a и |
= |
— 1. При этом |
Р(а, а) = Р(а — 1, |
а). |
|
Вернемся к рассмотрению потока Эрланга й-го порядка. Чис ловые характеристики интервала Т между двумя соседними со
бытиями в этом потоке будут
^ = ^ Л ( 0 Л = - ^ . |
(1-5.33) |
0 |
|
Dl = ^ ( t - m ty / k{t)dt = ±±}- |
(1.5.34) |
о |
|
Плотность распределения интервала времени Г*, на который случайным образом падает точка S [см. формулу (1.2.3)], через функцию P{k, а) выразится следующим образом:
= — /*(*) = — г г - |
^ ^ е - * ' = ХР(*4-1, Щ (1.5.35) |
k -f- 1 |
к\ |
1 |
|
Таким образом, случайная величина Т* будет подчинена за
кону Эрланга (&+1)-го порядка. Числовые характеристики слу чайной величины Т* будут
М [ Г ] = г - £ ± ! ; |
(1.5.36) |
К |
|
D [ n = _ k ± l |
(1.5.37) |
27
Выразим |
плотность |
распределения |
случайной величины 0 |
||||
(см. рис. 1.3.1)— интервала времени между точкой S |
и ближай |
||||||
шим событием [см. (1.3.2), |
(1.5.25), (1.5.33)] |
через |
функцию |
||||
R(m, а): |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
1 — |
m n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1— F(%) |
n =0 |
n\ |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
mt |
|
|
£ + |
1 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
n\ |
|
|
/?(*, |
It). |
(1.5.38) |
|
|
|
k + 1 |
|
|
||
|
/2=0 |
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание случайной величины 0 определим |
|||||||
по формуле |
(1.3.5): |
|
|
|
|
|
|
|
'"• =Т |
+ |
|
|
|
|
|
Сопоставляя выражения |
(1.2.15), |
(1.3.7) |
и (1.5.37), можно найти |
||||
величину D[0]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
В [ Ь ] = к- +. 2- * + 6 |
|
|
|
|||
|
|
1 ' |
М |
12 |
|
|
|
Найдем характеристическую функцию интервала времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга ft-ro по рядка:
ё ь ( - * ) = \ « " х/ » ( 0 < я = '■ |
С1-5 -4 0 ) |
|
о" |
о |
|
Заметим, |
что при достаточно большом k |
(практически при |
£ >5 ) поток Эрланга А-го порядка можно считать приближенно нормальным с параметрами (1.5.33) и (1.5.34). Это следует из того, что в потоке Эрланга k-то порядка интервал между сосед
ними событиями представляет собой сумму (£+1) независимых случайных величин, распределенных одинаково по показатель ному закону, а такая сумма, согласно центральной предельной теореме, при &-мх> асимптотически нормальна.
Рассмотренный нами поток Эрланга получается путем выбра сывания из простейшего потока k точек подряд и оставления
каждой (&+1)-й точки. Такое преобразование приводит к тому, что интенсивность потока Эрланга k-vo порядка Хи уменьшается
в (&+1) раз по сравнению с интенсивностью исходного простей шего потока с интенсивностью X:
(1.5.41)
mt |
* + 1 |
28
Введем новое преобразование простейшего потока, состоящее из такого же «разрежения», как выше, но после этого поток «сжи мают» так, чтобы его интенсивность была равна интенсивности первоначального простейшего потока. Для этого достаточно ин тервал времени Т между двумя соседними событиями в потоке
Эрланга 6-го порядка уменьшить в (6+1) раз. Назовем такой поток нормированным потоком Эрланга 6-го порядка. В этом по
токе случайный |
интервал времени |
Т |
между двумя |
соседними |
|
событиями будет |
Т |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
(1.5.42) |
|
|
* + |
1 |
|
||
|
|
|
|
||
Плотность |
распределения |
случайной величины |
Т будет |
||
иметь вид |
|
|
|
|
|
|
К\ |
е-7*‘ |
|
У ), |
(1.5.43) |
где |
|
|
|
|
|
V=(*+D*. |
|
|
|||
|
|
|
|||
Математическое ожидание величины Т равно |
|
||||
|
М [ f ] = |
- + - |
= |
— , |
(1.5.44) |
|
|
к + 1 |
к |
|
|
т. е. интенсивность нормированного потока Эрланга k-vo поряд
ка равна — ^— = /. |
п равна |
интенсивности |
исходного простей- |
|||
м [Г] |
|
|
|
|
|
|
шего потока событий. |
|
|
|
|
||
Дисперсию величины Т определим из выражения |
|
|||||
D , f , . |
Р\Т\ |
* + 1 |
1 _ |
1 |
(1.5.45) |
|
1 ' (Л + 1)1 |
Г- |
(k + 1)2 |
X2(ft+ 1) |
|||
|
||||||
Таким образом, при |
k— «х> интенсивность потока не изменяется, |
|||||
а дисперсия Z>[f] стремится |
к нулю, т. е. поток приближается |
|||||
к регулярному. Этот вывод подтверждается анализом характе
ристической функции величины Т (см. 5-е свойство характери
стических функций в § 1.2):
Найдем предел этого выражения при k— »-оо:
1х
lim .§■*(*)= |
llm / |
--------------- |
\*'11= е Л |
(1.5.46) |
к-*- |
к -* ос I |
I X |
I |
|
|
\ |
~ Т + Т |
J |
|
29
Это выражение с точностью до обозначений совпадает с ха рактеристической функцией интервала между событиями ре гулярного потока [см. (1.5.10)]. Следовательно, при достаточно большом k нормированный поток Эрланга k-то порядка будет
сколь угодно близок к регулярному потоку.
Таким образом, с помощью нормированного потока Эрланга можно построить целую гамму потоков с различным последей ствием начиная от полного отсутствия последействия (& = 0) вплоть до регулярного потока (соответствующего k=oo). Заме тим, что при к>5 рассматриваемый нормированный поток (так
же как и ненормированный) можно считать нормальным, но с па раметрами (1.5.44) и (1.5.45).
Для нормированного потока^ Эрланга &-го порядка закон распределения участка времени Г*, на который случайным обра зом падает точка 5, имеет вид
/* (') = 1 ‘ 7ГГ7ТГ в“Х*'=Х(А + 1)Р(Л + 1> ЦЛ + 1 )*), 0-5.47)
т. е. тоже представляет собой закон Эрланга, но (&+1)-го по рядка с параметром А*= Л.(Л+1). Следовательно, числовые характеристики случайной величины Г* можно найти по форму лам, аналогичным (1.5.36) и (1.5.37):
Af[f*] = |
- i ± l = |
- А ± 2 _ ; |
(1.5.48) |
D [T1*] = |
k + 2 |
2— . |
(1.5.49) |
|
(Г*Я |
^ ( * + i ) 2 |
|
Плотность распределения случайной величины 0 — остатка времени до наступления очередного события в нормированном потоке Эрланга k-vo порядка — определяется по формуле, анало
гичной (1.5.38):
Ч $ ) = - Г Г Т * ^ |
Х(Л+ 1)0. |
(1.5.50) |
к + 1 |
|
|
Числовые характеристики случайной величины 0 равны соответ ственно
|
к + 2 |
к + 2 . |
(1.5.51) |
|
|
2Xft |
2Х ( k + 1) ’ |
||
|
|
|||
k + 2 |
к + 6 |
__ (к + 2) (к + 6) |
(1.5.52) |
|
(к„у- ' |
12 |
“ Х * (* + 1 ) ? 1 2 |
||
|
Напомним, что величина X в формулах (1.5.43) — (1.5.52) равна
интенсивности исходного простейшего потока событий.
30