книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

ражена через дельта-функцию, о которой подробнее будет сказа­ но ниже). Найдем плотность распределения /*(/) того интервала Г*, на который случайным образом упала точка 5.

Для этого найдем /* (/) d t — вероятность того, что точка S

попадает на промежуток, длина которого заключена в интервале (/, t + dt). Эта вероятность приближенно равна отношению сум­

марной длины таких промежутков на очень большом интервале времени к полной длине интервала. Пусть на очень большом ин­ тервале уложилось большое число N промежутков. Среднее число промежутков, длина которых лежит в пределах (/, t + dt), равно Nf(t)dt; средняя суммарная длина всех таких промежут­ ков будет tNf(t)dt. Средняя общая продолжительность всех N промежутков равна mtNy где

О6

—математическое ожидание случайной величины Т.

Следовательно:

Можно убедиться в том, что функция f*(t) обладает всеми свой­

ствами плотности распределения.

Определим числовые характеристики (математическое ожи­ дание и дисперсию) случайной величины Т*. Для решения этой

задачи (и ряда задач в дальнейшем) воспользуемся аппаратом характеристических функций. Напомним, что характеристической функцией случайной величины Т называется функция g(x), опре­ деляемая из выражения

где f(t) — плотность распределения случайной величины Т. Характеристическая функция безразмерна, а ее аргумент х име­ ет размерность, обратную размерности случайной величины Т.

* Тот же результат можно получить, применяя формулу Бейеса.

11

Напомним следующие основные свойства характеристической функции:

1. Характеристическая функция суммы п независимых слу­

чайных величин

/=1

равна произведению характеристических функций этих величин:

/ = 1

где g i ( x ) — характеристическая функция случайной величины 7V Если складывается п независимых одинаково распределенных

случайных величин с характеристической функцией g (x ), то

2. Характеристическая функция по модулю не превышает

для любого X.

3. Для определения числовых характеристик случайной вели­ чины Т пользуются равенствами

<r(0)=i;

г . ( 0 ) = ( ^ й М Ц = Ш [7 - 1 ;

4. Плотность распределения случайной величины Т выра­

жается через ее характеристическую функцию преобразованием Фурье:

5. Если случайная величина Т имеет характеристическую функцию gt(x), то случайная величина Y=aT имеет характери­ стическую функцию gy{x) = gt {ax).

12

Вернемся к решаемой задаче. Найдем характеристическую функцию случайной величины Г* — интервала, на который слу­ чайным образом упала точка S:

te itx= — i — e'ltx. дх

В этом случае

Анализируя формулу (1.2.14), видим, что математическое ожидание интервала Т*, на который случайным образом падает точка S, в общем случае всегда больше, чем математическое ожидание произвольно взятого участка Т. Лишь в случае регу­ лярного потока событий, когда случайные интервалы Т вырожда­ ются в неслучайные интервалы длительностью rrtt и D j= 0,

математическое ожидание т (* будет равно /«;. Таким образом, указание на то, что случайная точка S попала на какой-то интер­ вал, как бы увеличивает его среднюю длину по сравнению с тем, как мы оценивали бы ее без этого указания.

Найдем дисперсию случайной величины Т*, для чего перво­

начально определим g"*(0):

13

где М[Г3], М[Т2] — третий и второй начальные моменты случай­ ной величины Т.

Дисперсия £>{Г*] может быть как больше, так к меньше дис­ персии Dt.

§ 1.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ДО НАСТУПЛЕНИЯ ОЧЕРЕДНОГО СОБЫТИЯ

Рассмотрим на оси Of стационарный поток Пальма и возьмем произвольную точку S, которая случайным образом занимает на

этой оси любое положение (рис. 1.3.1). Как было показано в § 1.2, интервал Г* распределен не так, как любой интервал между событиями. Если интервал Т имел плотность распределе­

ния /(/), то интервал Г* имеет плотность распределения /*(/) =

= — f(t). В этом параграфе нас будет интересовать закон рас- m

В предположении, что эта гипотеза имела место, найдем услов­ ную плотность распределения случайной величины 0^—'Ф(0*| ^*). Так как положение точки S на числовой оси 01 не зависит от

распределения событий в потоке, то нет никаких оснований счи­ тать какой-либо участок интервала f*, на который упала точка S, более вероятным для положения этой точки, чем другой. Поэто­ му точка 5 на интервале времени t* будет распределена с рав­

номерной плотностью:

Плотность распределения системы случайных величин 0 и Г* будет

/(<*, » ) = / ’ (П<р(«ЧО

14

откуда, учитывая (1.3.1), найдеи

во «о

Так как согласно формуле (1.3.1) подынтегральная функция отлична от нуля только при /*>Ф, получим

где /•"(/)— функция распределения случайной величины Г:

F ( £ ) = \ f ( f ) d t .

О

Таким образом, плотность распределения остатка времени 0 от случайного момента 5 до момента наступления очередного события будет иметь вид

где mt = M[T] — математическое ожидание случайной величи­ ны Т — интервала между любыми двумя собы­

тиями.

Найдем числовые характеристики случайной величины 0. Для этого определим характеристическую функцию ge (х) случайной величины 0:

15

где g (х)— характеристическая функция случайной величины Т.

Учитывая равенства (1.2.9) и (1.2.10), окончательно получим

Теперь найдет числовые характеристики случайной величины 0: М[0] и Z>[0]. В соответствии с формулами (1.2.10) и (1.3.3) будем иметь

При подстановке в (1.3.4) величины * = 0 получается неопреде-

ленность вида — . Для раскрытия этой неопределенности вос­

пользуемся правилом Лопиталя:

всегда не меньше, чем половина математического ожидания лю­ бого интервала между событиями в стационарном потоке Пальма.

Для нахождения дисперсии интервала времени 0 до наступ­ ления очередного события нужно найти вторую производную характеристической функции gо (х):

_}__g" (х)х°- — 2xg' (х) + 2g (х) — 2

откуда (см. (1.2.10)] дисперсия случайной величины 0 будет

1G

Нами рассматривалась случайная величина 0 — интервал между точкой S и первым наступившим после точки S событи­ ем. Аналогичные рассуждения можно провести относительно случайной величины Н — интервала между последним наступив­ шим событием в прошлом и точкой S (см. рис. 1.3.1.) Закон распределения случайной величины Н будет таким же, как и слу­ чайной величины 0. Случайные величины 0 и Н в общем случае будут зависимыми. При этом всегда будет выполняться условие

н+е=г*

§ 1.4. ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ

Среди потоков событий особое место занимает так называе­ мый «пуассоновский поток», обладающий, по сравнению с дру­ гими, рядом замечательных свойств, существенно облегчающих решение прикладных задач теории массового обслуживания.

Пуассоновским потоком событий называется поток, обладаю­

щий двумя свойствами — ординарностью и отсутствием после­ действия. Понятие ординарности было рассмотрено в § 1.1. Здесь поясним смысл термина «отсутствие последействия».

Поток называется потоком без последействия, если для лю­ бых двух неперекрывающихся участков Tj и т2 (рис. 1.4.1) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколь­ ко событий попало на другой.

Обозначим случайное число событий, наступивших на ин­

и Х2 независимы, т. е. вероятность того, что на участке т2 насту­

пит определенное число событий т 2, не зависит от того, сколько событий гп\ наступило на участке времени х\:

В курсах теории вероятностей доказывается, что для пуассонов­ ского потока число событий X, попадающих на любой интервал длины т, примыкающий к точке t (рис. 1.4.2), распределено по

закону Пуассона:

/71!

17

интервале времени т, примыкающем к моменту времени t, будет

равно

Если пуассоновский поток событий является стационарным [k{t) =Х = const], то величина а не будет зависеть от t:

В этом случае вероятность того, что на произвольно выбранном участке времени продолжительностью т наступит т событий, оп­

ределяется по формуле

ш\

Стационарный пуассоновский поток событий часто называют простейшим потоком. Так он назван потому, что применение

простейших потоков событий при анализе различных систем _ массового обслуживания при-

*водит к наиболее простым ре­ шениям.

Найдем закон распределе­

ния интервала времени Т меж­

ду двумя любыми соседними событиями в простейшем потоке (рис. 1.4.3). Вероятность того, что на участке времени t, следую­

щем за одним из событий, не появится ни одного события [см. (1.4.5)], будет

p / (Jf = 0) = e - x< <*>.

Но эта вероятность равна вероятности того, что случайная вели­ чина Т будет больше величины t. Следовательно:

P ( T > t ) = e - “,

Вследствие отсутствия последействия наличие события в начале участка

не оказывает влияния на вероятность появления того или другого числа событий на самом участке.

18

откуда

F (t) = P(T < /) = 1 —Я (Г > /) = 1 —е~х‘ ( / > 0 ) , (1.4.6)

где F(t) — функция распределения случайной величины Т.

Дифференцируя (1.4.6), получим плотность распределения слу­ чайной величины Т:

= (* > 0). (1.4.7)

Таким образом, в простейшем потоке интервал времени меж­ ду любыми двумя соседними событиями распределен по показа­ тельному закону с параметром А,. Вследствие отсутствия после­

действия все интервалы между соседними событиями представ­ ляют собой независимые случайные величины. Поэтому простей­ ший поток представляет собой стационарный поток Пальма. Он отличается тем, что интервалы времени между соседними собы­

ся результатами, полученными в § 1.2. В соответствии с (1.2.3) плотность распределения случайной величины Г* будет

Такой закон называется законом Эрланга 1-го порядка. Число­ вые характеристики интервала времени Т* будут [см. (1.2.14) и

(1.2.15)]

(М[Н])2

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т —

интервала между любыми двумя событиями в простейшем пото­ ке, равны

19

Таким образом:

Сравнивая величины М[Г,:] и mty а также D[T*] и Dt, видим,

что наличие случайной точки S на интервале как бы «раздвига­ ет» его, увеличивая математическое ожидание и дисперсию вдвое.

Найдем закон распределения интервала времени 0 между точкой S и первым наступившим после точки S событием (см. рис. 1.4.4). В соответствии с формулой (1.3.2) имеем

Сравнивая выражение (1.4.13) с выражением для плотности распределения интервала Т между любыми двумя событиями

(1.4.7), убеждаемся в том, что случайная величина 0 распреде­ лена так же, как и случайная величина Т.

Это замечательное свойство простейшего потока является другой формой проявления свойства отсутствия последействия. Это свойство означает, что любая сколь угодно подробная ин­ формация о том, как себя вел поток в прошлом (до произволь­ ной точки S), не дает нам никаких сведений о том, что произой­ дет после этой точки. Другими словами, будущее развитие про­ цесса появления точек не зависит от того, как этот процесс про­ текал в прошлом. Данное свойство намного облегчает исследо­ вание различных задач, связанных с анализом потока событий.

Вычислим характеристическую функцию интервала между двумя соседними событиями в простейшем потоке с парамет­ ром X:

со со

В последующем изложении будем опираться на это выражение, утверждая, что поток Пальма является простейшим, если харак­ теристическая функция интервала между соседними событиями

равна -----Это утверждение основывается на однозначности

I X

связи между характеристической функцией и плотностью распре­ деления.

20