книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания
..pdfмонотонно уменьшается, имея свой предел, равный единице, а выражение
п-----:----'— R ( n - 1, 1)
монотонно возрастает, оставаясь все время больше 2. Следовательно, при проектировании систем массового обслу
живания можно подсчитать, будет ли такая система рентабельна и через какое время t она начнет приносить прибыль. Прибыль С, принесенная такой системой к моменту t\> t (при условии, что
система рентабельна), определяется из выражения
|
С = |
Ci^Q |
/) |
С3 (t\ — t)ti = (tx— /) [C^Q — яС3]. |
|||
4.1.5. Есть возможность спроектировать две системы массово |
|||||||
го обслуживания |
с отказами: |
в первой |
системе производитель |
||||
ность каждого |
канала равна |
pi, во |
второй — p2( pi >P2). По |
||||
условию |
спроектирован |
|
|
||||
ная система должна обес |
|
|
|||||
печивать |
вероятность |
об |
|
|
|||
служивания |
заявки Р0бс |
|
|
||||
при интенсивности потока |
|
|
|||||
заявок |
К. |
Определить, |
|
|
|||
сколько |
потребуется |
ка |
|
|
|||
налов я* 1 при |
производи |
|
|
||||
тельности канала pi и ка |
|
|
|||||
налов я*2 при производи |
|
|
|||||
тельности канала |
рг. |
|
|
|
|||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
||
Для ответа |
на постав |
|
|
||||
ленный вопрос нужно |
по |
|
|
||||
строить |
графики |
зависи |
|
|
|||
мости вероятности обслуживания Р0пс от числа каналов п{ и я2.
На рис. 4.1.5а приведены такие графики. Вероятность Р0с,с оп ределена только при целых положительных значениях аргумен тов П\ и я2. Однако для удобства построения на рисунке изо
бражены непрерывные кривые. По таким графикам легко опре
делить потребное число |
каналов. В рассматриваемом случае |
Л2*= 6. Читателю |
предлагается самостоятельно доказать, |
что при одинаковом числе каналов я и интенсивности потока за
явок К та система будет лучше, для которой |
производительность |
||
канала выше, т. е. |
|
|
|
m n - l , a L)> |
R ( n - \ , a 2) ' где |
a i = _ L ; |
|
R(n, а}) |
R ( n , а2) |
Iх1 |
Iх2 |
4.1.6. Найти основные характеристики системы массового обслуживания с отказами при неограниченном числе каналов (п = оо).
121
Р е ш е н и е
При п = оо вероятность того, что будет занято ровно k кана
лов, найдем из выражения
Pk= Пт R ( l l , a) |
a), |
т.e. эти вероятности будут распределены по закону Пуассона. Среднее число занятых каналов /е будет равно
k = \\m a R (п — 1, а) а.
п—^ Я (л, а)
Вероятность обслуживания будет равна единице:
Робе = 1 •
Вероятность того, что канал занят, равна нулю:
“ з.к = 11т — = 0.
II
Среднее время пребывания заявки в системе равно
а само время Т пребывания заявки в системе распределено по
показательному закону с параметром ц.
§4.2. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ
ИНЕДОСТОВЕРНЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ
П о с т а н о в к а |
з а д а ч и . На |
вход /г-канальной |
системы |
массового обслуживания поступает простейший поток |
заявок с |
||
интенсивностью |
Интенсивность |
простейшего потока |
обслужи- |
ваний каждого канала ц. Если вновь прибывшая заявка застала все п каналов занятыми, то эта заявка получает отказ и покида
ет систему необслуженной. Если вновь поступившая заявка за стала свободным хотя бы один канал, то она принимается к обслуживанию и обслуживается до конца (заявки «терпеливые»). Однако заявка, прошедшая обслуживание в канале, оказывается фактически обслуженной не достоверно, а с вероятностью р.
Такая система отличается от классической системы массового обслуживания с отказами, рассмотренной в § 4.1, только тем, что заявка, побывавшая на обслуживании в канале, выходит из нее обслуженной лишь с вероятностью р. Это схематически показано
на рис. 4.2.1 (на рисунке изображена схема, а не состояния). Такую систему можно представить условно как двухступенча тую систему массового обслуживания: в первой ступени заявка
122
принимается к обслуживанию (или не принимается); во вто рой— обслуживается (или не обслуживается). При этом полное обслуживание обеспечивается лишь в том случае, если заявка пройдет оба этапа обслуживания. Первая ступень обслуживания работает так же, как классическая СМО с отказами, рассмотрен ная в § 4.1. На вторую ступень обслуживания поступают лишь те заявки, которые были обслужены первой ступенью. Обслу
живание второй ступенью осуществляется |
мгновенно, но не до |
||
стоверно, а с вероятностью р. |
|
|
|
СМО |
Ъ>ош^оР Потоп обслуженных |
||
** |
заявок |
||
|
|||
(я.л.ц)
Поток необслуженных заявок
Рис. 4.2.1
Граф состояний такой системы остается таким же, как и в случае классической системы массового обслуживания с отказа ми (см. рис. 4.1.1.). Следовательно, вероятности состояний опре деляются по тем же формулам, что приведены в § 4.1. Все вре менные характеристики работы системы остаются такими же, как и для СМО с отказами. Отличие состоит лишь в том, что вероят ность обслуживания будет определяться как произведение веро ятности того, что заявка будет принята к обслуживанию (1—ри)у на вероятность «успешного» обслуживания р\
Ро бе = |
|
|
R(tl — 1, а) |
(4.2.1) |
|
0 - / 0 |
р = |
R(n, а) |
|||
Абсолютная пропускная способность системы будет |
|
||||
Q |
РобсХ— кр |
R (п— 1, а) |
(4 .12.2 ) |
||
X |
|
R(n, а) |
|
||
|
|
|
|
|
|
О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы |
|
||||
Среднее число занятых каналов: |
|
|
|||
|
k = <x |
R(n- l , а) |
|
||
где |
|
R (Л, |
a) |
|
|
a= X/jJL. |
|
||||
|
|
||||
Вероятность обслуживания заявки |
(относительная |
пропускная |
|||
способность) |
|
|
|
|
|
Я „ 6 с = - у - /> = 0 — P n ) P = - Y
123
Вероятность того, что взятый наугад канал занят:
Вероятность того, что система полностью загружена:
_ . |
_ |
1 |
Робе |
кн 3 |
Рп |
|
* |
Среднее время занятости канала
Среднее время простоя канала
t — t |
1 |
_ |
'll.к — 'з.К |
|
Среднее время полной загрузки системы
1
*з .с = - Л{х
Среднее время неполной загрузки системы
~1 |
_~7 1 |
^ггл |
'п-З |
41-3 |
_ |
Среднее время пребывания заявки в системе
7 = —
А
За д а ч и и у п р а ж н е н и я
4.2.1.Рассматривается круглосуточная работа пункта прове дения профилактического осмотра автомашин. Этот пункт состо ит из четырех каналов (четырех групп проведения осмотра). На
осмотр каждой машины затрачивается в среднем 1/|х = 0,5 |
часа. |
|||
При |
осмотре группа выявляет дефекты с вероятностью р = 0,8. |
|||
На |
осмотр |
поступает в среднем 192 |
машины в сутки: |
1 = |
== 1^2 суткп |
Машина считается |
«обслуженной», |
если |
|
в ней выявлен дефект. Если машина, прибывшая на пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт несбслуженной и вновь эксплуатируется.
Определить характеристики работы пункта профилактическо го осмотра.
124
Р е ш е н н е.
Работу пункта проведения профилактического осмотра мож но рассматривать как работу СМО с отказами и недостоверным обслуживанием с параметрами
/|. = 4;
час
/> -0,8;
А л
а— — = 4.
I*
Характеристики работы системы следующие: среднее число занятых каналов
6 = |
= 4 ff(3’.l t =2,76; |
R(n, a) |
R(4, 4) |
вероятность выявления скрытого дефекта
Яозс=(1 ~ р„) P= R (" ~ Ь — Р=0.55-
а (Л, а )
Абсолютная пропускная способность пункта
) —лРобсг— 4,40------
час
Полная абсолютная пропускная способность, считая все осмот ренные машины:
1 = — = 5,50 —
рчас
Вероятность того, что канал занят:
*э.к= — = 0,69.
П
Среднее время простоя канала
7п.к=7,к 1~ Я' ~ = 0,234 часа.
ЛЗ.К
Вероятность того, что все группы будут заняты осмотром:
/>„= 0,312.
125
Среднее время неполной занятости системы (простоя хотя бы одной группы)
7н.з=-- — |
= 0,275 часа. |
|
Л-п.з |
4.2.2. Производится дозаправка самолетов горючим в возду хе. В районе дозаправки находятся 3 самолета-заправщика. Са. молет, нуждающийся в дозаправке, выходит в район, где доку рят заправщики, с вероятностью р= 0,9. Если самолет вышед'в
район дозаправки и свободен хотя бы один из заправщиков, то он производит дозаправку, на цТ(> уходит в среднем 10 мин. Если
самолет выходит в район доза правки, но все самолеты-за правщики заняты, то этот са молет остается недозаправленным. Во всех случаях, когда самолет недозаправлен, он вы нужден садиться на запасной аэродром. Определить вероят* ность того, что самолет будет
вынужден садиться на запасной аэродром, если самолеты подхо дят к району дозаправки со средним интервалом в 150 сек.
Р е ш е н и е Эта система несколько отличается от той, которая рассмат
ривается в данном параграфе. Схематически работу такой систе мы можно представить в виде двух этапов обслуживания: па первом этапе производится мгновенный отбор на обслуживание (с вероятностью р заявка мгновенно направляется на обслужи
вание), на втором этапе отобранные заявки подвергаются обслу
живанию. |
Схема |
такого обслуживания представлена на |
|
рис. 4.2.2а |
(на рисунке изображена схема, а не |
состояния). |
|
Таким |
образом, |
такая система представляет |
систему массо |
вого обслуживания с отказами, на вход которой поступает про стейший поток заявок с параметром Кр.
Следовательно, вероятность обслуживания для рассматривае мой системы будет определяться по формуле
R(n — 1, ар) Р обе —г R(n, ар)
Все остальные характеристики системы будут такими же, как и у системы массового обслуживания с отказами, параметры
К О Т О Р О Й П \ Хр\ (X. |
|
|
|
|
Таким образом, система дозаправки самолета |
в воздухе мо |
|||
жет рассматриваться как СМО с отказами с параметрами |
||||
я = 3; Х - М |
[ - Ц |
; |
600 [ сек |
J |
150 |
[ сек |
J |
||
126
Следовательно, вероятность Р незаправкн самолета будет
Р = 1 — Р о ь ^ 1 ~ “ (П Л'*Р1= 1 _ |
PCI 3, (S) —0,411. |
К(П, гр) |
R (3, 3, G) |
§4.3. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ
ИПОЛНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ
П о с т а н о в к а з а д а чи . На |
вход /г-канальной системы |
массового обслуживания поступает |
простейший поток заявок с |
интенсивностью л. Интенсивность простейшего потока обслужпваний каждого канала р. Если заявка застает все каналы сво бодными, то она принимается на обслуживание и обслуживается всеми п каналами одновременно. Предполагается, что такое об
служивание возможно и производительность обслуживания при этом увеличивается в п раз (т. е. интенсивность суммарного по
тока обслуживаний равна /гр). После окончания обслуживания все /г каналов освобождаются одновременно *
| Если вновь прибывшая заявка застает в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание. В этом случае часть кана лов продолжает обслуживать первую заявку, а остальные кана лы приступают к обслуживанию вновь прибывшей заявки. Рас пределение каналов по заявкам может производиться любым образом. В дальнейшем мы увидим, что для пуассоновской си стемы характеристики обслуживания не зависят от того, как мы делим общее число каналов; важно, чтобы в се каналы участво вали в обслуживании. Если прибывшая новая заявка застает в системе две обслуживаемые заявки и м > 2, то каналы распреде ляются по всем трем заявкам, и т. д.
Если вновь прибывшая заявка застает в системе |
к заявок |
(й=1, 2, ..., п— 1), то она принимается к обслуживанию |
и все п |
каналов перераспределяются произвольным образом |
между |
k+ 1-заявками, но так, чтобы все каналы участвовали в обслу
живании. |
в системе |
п заявок, |
Если вновь прибывшая заявка застает |
||
то она получает отказ и не обслуживается. |
Попавшая на обслу |
|
живание заявка обслуживается до конца |
(заявки |
«терпели |
вые»). Каждая заявка, принятая к обслуживанию, обслуживает ся достоверно.
Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освобо дившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию ос тальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при на личии в системе хотя бы одной заявки все п каналов все время
будут заняты.
Требуется найти характеристики работы такой системы мас сового обслуживания.
* Другими словами, имеется точная информация о результатах обслужи вания.
127
Будем нумеровать состояния системы по числу заявок, нахо дящихся в системе:
хо — в системе нет заявок (все каналы свободны);
Хц — в системе имеется k заявок, они обслуживаются п канала
ми, общая производительность обслуживания равна нр, каналы распределяются произвольно между заявками.
Граф состояний такой системы показан |
на рис. 4.3.1. |
При |
|||
наличии хотя бы одной заявки в системе интенсивность |
потока |
||||
|
|
обслуживаний будет равна mu |
|||
га г...гЩ г-г0 |
как бы не распределялись ка |
||||
налы по заявкам. |
|
|
|||
Глядя на этот граф |
состоя |
||||
1----- ГЩ1 л у ----- л/i |
яр |
ний, можно |
составить |
систему |
|
Рис. 4.3.1 |
|
дифференциальных уравнений, |
|||
|
которая справедлива и для пе |
||||
|
|
||||
|
|
ременных |
параметров |
д, |
р. |
(Читателю предлагается самостоятельно написать такую си-
стему).
Рассмотрим стационарный режим работы системы (h —const,
p=const, t— »-oo), который существует, так как система |
облада |
ет эргодическим свойством (см. § 2.4). В этом случае |
работа |
СМО будет описываться системой алгебраических уравнений:
0 = — |
nV-Pi> |
|
|
|
|
0 = |
— + |
+ /^ *+ 1 |
(k— \, |
2,. |
л — 1); |
0 = |
— nppn-\->.p„-i. |
|
|
|
|
Для решения этой системы введем обозначение |
|
||||
|
|
U i ^ —lpi-i —nppi |
( /= 1, |
2,. |
л). |
С учетом |
(4.3.2) уравнения (4.3.1) примут вид: |
|
|||
|
|
«1 = 0; |
|
|
|
|
|
и*+1 —« * = 0 (k=\, 2, . . |
л); |
|
|
к„=0,
откуда
и( = 0 (г= 1,2,..., л).
Следовательно:
Pk-- |
_х_ |
\ Ро (А = 0, 1 ,..., я). |
|
|
П \1 |
(4.3.1)
(4.3.2)
(4.3.3)
(4.3.4)
(4.3.5)
128
Введем обозначение
X а ^
(4.3.6)'
ЛЦ П
Величина х равна среднему числу заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания одной заявки всеми п
каналами.
С учетом принятого обозначения получим
Pk=-'-kPo- |
(4.3.7) |
Вероятность р0 найдем из нормировочного условия
пп
У . P k ~ ^ *V 0— Р оХ %к — Ръ ]
к=0 |
к=0 |
*=0 |
|
откуда |
|
|
|
|
Ро: |
1—7. |
(4.3.8) |
|
Л+1 |
||
|
|
1— у.1 |
|
Следовательно: |
|
|
|
|
1- X |
|
(4.3.9) |
pk —*k--------- - (А = 0, 1, 2 ,..., п; х^=1). |
|||
1—х"+1
Это выражение справедливо для любых значений к ф 1. При х = t
имеет место неопределенность, раскрывая которую, получим
pk = — 1— (* = 0, 1, 2 ,..., п; * = 1 ), |
(4.3 Л.0) |
п -г 1 |
|
т. е. все состояния будут равновероятны.
Вероятность обслуживания заявки определяется из выра
жения |
1- ХЛ |
|
|
|
при |
X=£ 1, |
|
|
1— хл+1 |
||
Р обе = 1 — Рц — |
|
(4.3.11) |
|
п |
|
||
|
при |
х = 1 . |
|
|
Я+ Г |
||
|
|
|
Найдем среднее число заявок I, находящихся в системе:
п
/=Хkf>k |
1—х |
У А ** . |
(4 |
.3 |
. 12)1 |
1— хл + 1 |
|||||
|
|
|
|||
к=0 |
|
ft = 0 |
|
|
|
129
Для вычисления суммы, входящей в выражение (4.3.12), вос пользуемся методом дифференцирования рядов:
у лх*=у x - L |
**=*— у **= |
|
||
^ |
^ |
дъ |
(Эх ^ |
|
* = 0 |
Л=0 |
|
k=0 |
|
д |
1 — %n+l |
|
1— %Я[/!(1— х) + 1] |
(4.3.13) |
--X----- ------------= X-------- -—-------------- - |
||||
дх |
1— X |
|
(1 — х)2 |
|
Следовательно, среднее число заявок, находящихся в систе ме, будет равно
у _ |
1 — х |
t l — |
Х Я [ п ( 1 — * ) + |
1 ] |
______ 1 — |
Х П [ л ( 1 |
— У. ) + 1 ] |
- (4.3.14) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
х --------^ |
|
|
||
_ |
1 — х л + 1 |
|
( 1 — Х ) 2 |
|
|
(1 — хл +1) (! — х) |
|
||||
При х= 1 получим [см. (4.3.10)] |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Z = V |
kpk= — -— V |
k |
|
1 |
n (n + 1) |
|
(4.3.15) |
|||
|
= — — |
|
|
|
|||||||
|
|
k=0 |
* |
n + 1 k=0 |
|
|
/1 + 1 |
|
|
|
|
Среднее число занятых каналов k определяется так: |
|
||||||||||
|
|
|
|
т- |
|
1 — хл |
при |
х |
1; |
|
|
|
|
k = n ( l - p 0) = |
1 — Хл i 1 |
|
|
|
(4.3.16) |
||||
|
|
|
П2 |
при |
х= |
1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Л |
+ |
1 |
|
|
|
|
Для этой системы вероятность того, что любой отдельный ка нал будет занят, равна вероятности того, что все каналы будут заняты:
*з.к = 1- Р о = — |
(4.3.17) |
п |
|
Время простоя канала Тпл< распределено по показательному закону с параметром X, так как граф состояний для определения закона распределения времени Тп.к имеет вид, показанный на
рис. 4.3.2.
Среднее время простоя канала будет равно
Т„.к= 4к- |
(4.3.18) |
Среднее время занятости канала определяется на основании эргодического свойства:
L = tп . к |
Яз.к |
(4 .3 . 19) |
|
Яз.к |
|||
1 |
|
130