Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

..pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
12.79 Mб
Скачать
☆

Среднее число занятых каналов

k = — Робе.

н- Среднее число заявок в очереди

Р

R ( п + Ь, 7) — R ( 6, 7)

( П , « * ) |-

г =

Р ( 5 . Т)

 

Л ( п , „ • ) + Р < „, . . ) « . ( '» + '■ T ) - « R 1 )

 

Л ( в , 7 )

Вероятность того, что канал занят:

 

 

Т

 

 

тсз . к ~ ----- .

 

 

 

П

 

Вероятность наличия очереди

 

 

 

 

Л (/и

+

5, 7) — R (5 , 7)

р‘ ° ~ р"

 

т к ъ

•

Среднее время наличия очереди

 

 

 

1 / ? ( т

+

5,

7 ) — /? (5,

1 )

^н.о

 

я (5, Т)

 

 

 

 

Среднее время занятости канала

 

 

^З.К--

 

“I- Р н . о ^ н . о *

 

Среднее время простоя канала

 

 

 

 

i _I

 

1

Яз.к

 

* П . К ------^ з . к

 

 

 

 

Среднее время пребывания заявки в системе

J==j ± ±

За д а ч и и у п р а ж н е н и я

6.2.1.Показать, что система массового обслуживания с ожи­ данием и «нетерпеливыми» заявками имеет большую пропускную способность, чем система массового обслуживания с отказами и нетерпеливыми заявками при одинаковых параметрах п, р, п, X (параметры т и v могут быть любыми).

231

§ 6.3. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ, ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ

ИВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ

Вотличие от систем, рассмотренных в этой главе, когда одну заявку мог обслуживать только один канал, в данном параграфе будет исследован случай взаимопомощи между каналами ана­ логично тому, как это было сделано в § 4.4.

П о с т а н о в к а з а д а ч и . Имеется /г-канальная система массового обслуживания; каждый канал имеет интенсивность потока обслуживаний р,. Заявка доступна к обслуживанию лю­ бым каналом. Если в системе находится одна заявка, то она принимается к обслуживанию и обслуживается одновременно I

каналами. При этом предполагается, что суммарный поток об­ служиваний будет иметь интенсивность /р. Если вновь поступив­

шая заявка застанет в системе i заявок

(i= 0, 1, 2, ...), при этом

( i+ \) l^ n , то эта вновь поступившая

заявка принимается к

обслуживанию и обслуживается одновременно I каналами. Если

вновь поступившая заявка застает в ней / заявок и при этом (j+ l)l> n и /</г, то эта заявка будет принята к обслуживанию. В этом случае часть заявок может обслуживаться I каналами, а

часть — меньшим, чем /, числом каналов. В обслуживании всегда будут участвовать все п каналов. Заявки в системе находятся

ограниченное время («нетерпеливые» заявки). Параметр «нетер­ пения» равен г].

Если вновь поступившая в систему заявка застает все каналы занятыми, она становится в очередь. Как только освободится один из каналов, заявка будет назначена на обслуживание, если за время ожидания в очереди она не покинет систему. Таким об­ разом, уход заявки из очереди может быть по двум причинам: либо заявку возьмут на обслуживание, либо она уйдет из очереди, не дождавшись обслуживания. Всего имеется т мест в очереди.

Если заявка находится в очереди, то ее параметр «нетерпения» будет v.

Если вновь поступившая заявка застает в системе п обслу­ живаемых заявок и т заявок в очереди, то она получает отказ. В частном случае при 1=п получим систему с полной взаимопо­

мощью между каналами.

Состояния системы будем классифицировать по числу заявок,

находящихся в системе массового обслуживания:

 

Xi — в системе имеется i заявок (*'= 0, 1, 2,

Л, где h=

J

— целая часть числа -y-j , каждая заявка обслуживается

одновременно I каналами с общей производительностью

/р;

Xj — в системе имеется / заявок (/ = /z+l, h + 2, ..., п)\ в обслу­ живании этих j заявок участвуют все п каналов, распреде-

2 3 2

ляясь более или менее равномерно между всеми j заяв­

ками;

хп+г — в системе имеется п + r заявок, п из них обслуживается п

каналами

и г стоят в очереди

на обслуживание (г=0,

1,

т).

 

 

Граф состояний такой системы показан на рис. 6.3.1. На этом

графе величина

р* = ц-И]. Читателю

предоставляется возмож-

 

 

j* / ♦ / [ • * • [•**-/**1-*л

'

 

и+Шц+П)

йЦр+тр

 

П\1+(Ы т\

к

\

A

A

 

 

x i

Xj ^ • • • x n-t

x n

X n+f

n p ^ h + j)7)

лц+(/и-;+/1Л

я(р+г|)

 

 

 

rzp#* r v

n | i* + ( r * 7 )v

n\i*+i71V

Рис. 6.3.1

ность составить систему дифференциальных уравнений, соответ­ ствующую этому графу состояний.

Проанализируем подробнее случай, когда величина Л=-^*

является целым числом, равным h. Введем обозначение

— |1*.

(6.3.1)

С учетом этого обозначения и принимая

во внимание, что — =

 

I

= h — целое число, граф состояний системы со взаимопомощью

будет иметь вид, представленный на рис. 6.3.2.

Заметим, что с точностью до обозначений параметров потоков и номеров состояний граф на рис. 6.3.2 левее состояния хп (включая само состояние хп) совпадает с графом, изображенным

на рис. 6.2.1. Следовательно, для нахождения вероятностей со­ стояний системы со взаимопомощью можно воспользоваться фор­ мулами (6.2.3) и (6.2.4):

Рг

Ро (0 < i < h);

(6.3.2)

(«У‘

)J -h

(6.3.3)

Р S= 7~, Ро-

{h < j < я),

h\

j-h

 

rj-h

П

 

 

k=l

 

233

где

 

*

х

X

(6.3.4)

 

а/

fy’+ ’i

*

 

 

f1/

 

 

 

 

 

Е Й Е }

Xi-i

 

 

 

Ht

ф !

(t+/)K

 

*И +п

V '

*y

 

 

*пч •••

Ьц',*Ц-П)Т1 hy**{j*1-h)i\

7?pL%rv

rzfi%(r-f/jv

np%mv

 

Рис. 6.3.2

 

Заметим также, что

конец графа

правее состояния хп на

рис. 6.3.2 такой же, как и конец графа на рис. 6.2.1 правее состоя­ ния хп. Поэтому

р п +

г = р п•

(О < г < m),

(6.3.5)

где

 

 

 

 

(«;>*

Х Я - Л

(6.3.6)

 

 

Рп

Л! /V

 

Для упрощения дальнейших выкладок введем обозначения:

 

X

;

(6.3.7)

v = —

 

V

 

 

8 = - ^

 

(6.3.8)

 

V

 

■

X

;

(6.3.9)

6 =

—

*)

 

. .

.

(6.3.10)

234

С учетом этих обозначений получим [см. (6.3.2) — (6.3.6)]:

P i = - j - P o (0 < /< Л ) ;

(*/)л

фУ~л

(6.3.11)

Л! ^

( Л < у < « ) ;

 

П (? + *)

 

 

k=l

 

Рп+Г =

------ рп(0 < Г < /и).

(6.3.12)

П

(6 + k)

 

к=1

Для простоты будем считать величины ср и б целыми числами. В этом случае получим [см. (6.2.16) и (6.2.17)]:

P j = ^ - P o

f> (9+ J-b.b)

{ll < J < п).

(6.3.13)

h\ ™

(ср, 6)

v

v

}

Рп.г= р п£ ^ ± Л 2 1 { 0 < г < п1).

(6.3.14)

 

р (°. 7)

 

 

 

Величину ро найдем, исходя из нормировочного условия:

^

2

Pn+r— !•

1=0

j=h+1

/•=1

Используя выражения (6.3.2), (6.3.13), (6.3.14) с учетом фор­ мулы (6.2.18), получим

 

L/=0

 

 

 

 

j

* * %

= * * +

 

 

 

 

 

)=h+l

 

 

 

 

 

* 1

 

P('i + n — h, Ф)

т

(6+

г,

т)

 

(д/>

 

y i Р

 

 

 

 

Р(<Р,

ф)

 

г=1

р (5,

т)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Рое +*/

.R { h ,

a*) 4 - Р (Л,

а » )*

(я

/г + Я(<р,

4)

^ .(У - ф>

,

г./,.

.»ч Я (?4 - и — Л, Ф)

Я (т + 6, 7) — Л (6, Т ) 1 _ 1

+Р(А' а'>—

---------г

1.

 

 

235

откуда

___________________Я (0, д,)___________

Я о =

.

я (Л , а * ) г

Я (Л, а ,)+ —— —■ R (п — Л + 9, 4-) — R( f ,

49 +

 

Я(«р. 4)

L

 

 

 

 

 

_______________ Я (0, а,)_______________

 

+ P('? + n - h ,

Ф)---------R(m + -----------------0,

7) — /? (о, 7)1J

 

я , - я (О,

а*)

Яо

( 0 < i< A ) ;

 

Рг-

я (Л. аг)

Р(<р+/ —Л, <Ь)

^

^ .

------- Г" Яо----

hr,— г:---- L (Л ^у</г);

 

Я (0, а*)

 

Я (<р,

ф)

 

 

(6.3.15)

(6.3.16)

/с о 1 7 4

(6.3.17)

f u l f i l .

P(b Ф)

?£<1± Л 7L (0 <

г <

т).

(6.3.18)

Я (О, а*)

Я (8, -()

^

 

v

'

В случае, если величины ср и 6 не являются целыми числами, можно применить следующий приближенный прием: сосчитать вероятности для величин [ср]; [ср]+1; [б]; [6]+1 и провести линей­ ную интерполяцию. Напомним, что [х] есть целая часть числа х.

Найдем характеристики системы. Среднее число занятых ка­ налов к [см. (6.3.16) — (6.3.18) и (4.1.17)] будет равно

k =S'-,>'+“( t

w+S p"')=7 ^ S

- (i'-:)+

 

/=0

\ /

=

/i+ 1

 

r=1

/

V * V 1 =о

 

 

 

Jr Tl

P ( f

l ,

OL j )

p

 

 

V

P(r + j —л, ф) +

 

 

—

 

a*)

——

 

 

 

Я ( 0,

!Я(<P,

Ф)

L i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=h+1

Юm

-|

 

 

, .

*.

 

 

Я (у

+

/t — А, Ф)

 

 

P (A. a/)

 

 

^

y)

=

 

P(0,

at)

 

P°

P(f,

Ф) Я (5. 7)

P(3 + r,

 

 

T - 1

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IPoA

 

 

а р + й

P (A, op

P(n — А + у,

ф) — /?(?, ф) ,

 

• /? (A — 1,

 

 

Я(0, a*)

Я(<р, ф)

 

P(0, *J)

 

 

 

 

 

 

,

Я (A, <zp

Я(у + я— А, Ф)

Я (от + 8, у)- Я(В, 7)

. (6.3.19)

^

Я (0. ар Р°

 

Я (?, ф)

 

 

 

Я (8, 7)

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

вероятность

обслуживани я заявки

будет

 

 

 

 

 

Ро6с =

К .

 

 

(6.3.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 6

Найдем среднее число заявок г, находящихся в очереди [см. (6.2.23) и (6.2.24)]:

—

т

—

- /1

*

р (ср ^ /2_ ft ф)

„

т

 

 

 

Р (h,

оiL

 

 

 

 

г = 0

 

 

*

 

 

г = 0

Y )=

 

 

 

 

 

 

 

_ _ P ( h ^ d _

P(<f + n — h,i>) (

R(m + 5, 7) — R(<>. 7) ,

^

,

 

P(0, a])

™P(<?, b ) P $ ,

7)1

Я(«.

7)

j

'

№ . .

Вероятность того, что канал занят, найдем из выражения

“ З . К '

J

(6.3.22

 

где Лопределяется из (6.3.19).

Вероятность того, что система полностью загружена, равна

__ Р (hi ai) P(<f 4- п — h, i) /? (m 4- 8, 7) — Л[(8. 7)

p‘* '=

Т Х л Л

?(ГТ )

 

r=0

 

 

(6.3.23)

 

 

 

Среднее время нахождения заявки в очереди будет

 

 

7< » = Т 9

(6*3*24)

где г определяется

из формулы

(6.3.21).

 

Ввиду небольшого объема этого параграфа сводку основных формул приводить не будем.

§ 6.4. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ

И НЕОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ЗАЯВКИ НА ОБСЛУЖИВАНИИ

Отличие системы, рассматриваемой в этом параграфе, от си­ стемы, рассмотренной в § 6.1, состоит лишь в том, что заявка проявляет «нетерпение», только находясь в очереди. Попав же на обслуживание, заявка «терпеливо» дожидается конца обслу­ живания. В качестве примера такой системы может рассматри­ ваться система дозаправки самолетов в воздухе: самолет может ждать дозаправщика ограниченное время, но, начав заправку, самолет-дозаправщик проводит ее полностью.

237

Другим примером является работа парикмахерской: клиент может быть «нетерпелив», пока стоит в очереди, но, дождавшись своей очереди, терпеливо ждет пока его побреют или постригут.

П о с т а н о в к а з а д а ч и . На вход /г-канальной системы массового обслуживания поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью к. Каждый канал обладает производительно­

стью р. Взаимопомощь между каналами отсутствует: каждая заявка обслуживается одним каналом. Заявка, попавшая на об­ служивание, обслуживается до конца. Если все п каналов заня-

 

А

А

А

Xn+r-l

* п + г

Xft+n-f • • • ^Л4Л|-i

хп+т

np+rv

np+{r+i)v

rifi+mv

 

 

Рис. 6.4.1

 

ты, то заявка

становится в очередь. Число мест в очереди т.

Находясь в очереди, заявка проявляет нетерпение. Параметр «нетерпения» при нахождении в очереди равен v. Если заявка застает в очереди все т мест занятыми, то она получает отказ.

Состояния такой системы мы будем связывать с числом зая­

вок, находящихся в системе:

 

все они обслужи­

хи — в системе имеется k заявок (0^ & ^ /г);

ваются; каждая заявка обслуживается

одним

каналом;

хп+г — в системе имеется п + r заявок

(O ^ r^ m ); п из них об­

служиваются (каждая заявка

одним каналом)

и г ожи­

дают в очереди.

Граф состояний системы приведен на рис. 6.4.1. Этот граф состояний с точностью до обозначений совпадает с графом со­ стояний системы, приведенным на рис. 6.2.1. Поэтому можно для определения вероятностей состояний воспользоваться формулами (6.2.19) и (6.2.20):

Рк==-

Р (*, а)

■(*=0,

1,

2,.

 

 

R(tl, а)

 

Р(т Ч- а, т) — R (с, 7)

 

 

Р (п, а)

7)

 

 

 

 

Р (°.

 

 

 

Р (п,

Р (* + г, у)

 

 

 

у)

 

 

 

Рпл-Г—

 

Р (°, У)

(r = 0,

1,

2, . .

 

 

R (п,

а) -г Р(п,

R(m -h q, у) — R (з, 7)

 

 

а)

 

 

 

где

 

Р(*, У

 

 

 

 

X

 

 

 

 

а =

 

 

 

 

— ;

 

 

«);

(6.4.1)

т ) ,

(6.4.2)

(6.4.3)

238

o= - 2 t ;

(6.4.4)

у = —

(6.4.5)

'V

 

Напомним, что при выводе формул (6.4.1) и (6.4.2) преди >- латалось, что величина о является целым числом. Если величина а не является целым числом, то можно проводить линейную

интерполяцию так, как это указывалось в § 6.2.

Среднее число занятых каналов определяется по формуле, аналогичной (6.2.22):

aR (n — 1, я) -f пР (л,

а) R (т 4 - a, 7) —

R ( J , 7 )

k = -

Р (°. 7)

(6.4.6)

R ( m - t - o , т ) — Я ( з . 7)

R ( п , а) + Р (Л, а)

р « 7 )

Вероятность обслуживания заявки найдем из выражения

Р обе :

ЦЛ

(6.4.7)

 

Среднее число заявок, находящихся в очереди, будет равно [см. (6.2.25)]:

R (т + a, f) — R (о, 7)

(Y - ° ) + Y [

Р (т 4- a, f)

 

Р (п, а)

р (а. 7)

. (6.4.6)

Р (о, 7)

 

Л (Л, а) + р (л, а) Я (ш + о, 7) — Я (о, 7)

я (О, 7)

Вероятность того, что канал занят, определим из выражения

*з.к= — ;

(6.4.9)

вероятность того, что система полностью загружена, равна

———

[/?(/и + о, у )-А ? (о -1 , у)]. (6.4.10)

Я (®, 7)

 

г = 0

Среднее время неполной загрузки системы определим по фор­ муле [см. (6.2.30)]:

 

Я (л, я)

 

 

 

1_______ Я (л, а) _

1

Я (л — 1, а)

(6.4.11)

la

Я (Я, а )

Л|1

Я (л , я)

 

Я (Л, а)

239

Среднее время полной загрузки системы будет

^ П .З ---- А

Ян.з

(6.4.12)

1 — ЗТц.з

 

 

Среднее время занятости канала будет равно

_ 1 •

т

(6.4.13)

*з.к — ------ j

Рн.о * ^н.о»

ji

 

 

где рн.о — вероятность наличия очереди в системе; tH,0— среднее время наличия очереди.

Вероятность наличия очереди определяется по формуле

Pi -Ег - 1

рп+г---Рп

R (т 4- а, 7) — R(a, 7)

(6.4.14)

Р (3» Т)

 

Среднее время наличия очереди определяется по формуле, ана­ логичной (6.2.35):

j_

R\(m + q, т) —

7)

(6.4.15)

X

Р (а> 7)

 

 

 

Среднее время простоя канала равно

Jl1.к ^3.к

^з.к

(6.4.16)

^з.к

1

 

Среднее время ожидания заявки в очереди находим из фор­ мулы

A,4=Y

(6.4.17)

Закон распределения времени ожидания заявки в очереди можно определить по формулам (6.2.41) и (6.2.44), заменив в них величину р* величиной р, а вероятности ph и рп+г найти из

выражений (6.4.1) и (6.4.2) соответственно. Среднее время пре­ бывания заявки в системе равно

J = -^ — = - k + r - .

(6.4.18)

X

X

 

Ввиду небольшого объема этого параграфа не будем приво­ дить сводку основных расчетных формул.

За д а ч и и у п р а ж н е н и я

6.4.1.После выполнения задания самолеты производят доза­

правку в воздухе. В районе дозаправки

постоянно дежурят

4 самолета дозаправщика. Среднее время

дозаправки одного

240

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности