книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

о т к у д а

(4.6.25^

Напомним, что последнее выражение справедливо только при целом положительном а. Если а не целое, то при большом чис­

ле каналов n(/i>10) можно приближенно провести линейную интерполяцию: сначала найти решение для [а] — целой части а,

а затем для числа 1а]+'1 и после этого линейно интерполировать на величину а.

Найдем различные характеристики работы системы. Для оп­ ределения вероятности обслуживания проведем следующие рас­ суждения. Выдвинем гипотезу о том, что к моменту поступления

при р= \ рассматриваемая система и система с отказами и слу­

чайным распределением заявок имеет одинаковую пропускную способность.

Вероятность того, что система будет полностью загружена,

(эта формула справедлива для любого а > 0 ). Время полной за­ грузки системы распределено по показательному закону с па­ раметром /гц, следовательно, среднее время полной загрузки сис­ темы будет

t

пц

161

откуда среднее время неполной загрузки системы можно найти из выражения

п

X-f я

Для отыскания закона распределения времени неполной за­ грузки системы составим граф состояний подсистемы X, пока­

занный на рис. 4.6.2.

Л

Рис. 4.6.2

Систему дифференциальных уравнений, соответствующих это­ му графу состояний, нужно интегрировать при условии, что в мо­

Покажем, что время простоя системы в этом случае также распределено по показательному закону с найденным выше па­

раметром Л= ~ ~ tн.з.

Выпишем систему дифференциальных уравнений, соответст­

вующих графу состояний подсистемы X, изображенной на

рис. 4.6.2:

- ( Ж я - 1 ) р ) Я - 1 W;

162

Преобразование Лапласа для этой системы уравнений при на­ чальных условиях (4.6.30) будет иметь вид

(s + X -f (/г — 1) а) Рп—1(5) = S]

Можно убедиться, что сумма изображений всех этих вероят­ ностей состояний имеет вид

7 -1

п S 1 П (л — /)

1=1

Следовательно, оригинал для этой суммы равен

£ -х/. (4.6.35)

Преобразование Лапласа является линейной однородной опе­ рацией, для которой выполняется свойство суперпозиции:

если

/ ( 0 = 2 //(о

/=1

163

В соответствии с графом состояний, изображенным на рис. 4.6.2, плотность распределения времени неполной загрузки системы будет определяться по формуле

откуда на основании эргодического свойства среднее время про­ стоя канала можно вычислить так:

Л 3.к

Найдем среднее время пребывания заявки в системе. Допу­ стим, что к моменту прихода очередной заявки система была в состоянии xh(k<n). Вероятность этой гипотезы равна р/г. В этом случае очередную заявку начнут обслуживать (п—k) каналов.

Обслуживание будет продолжаться до тех пор, пока для всех (п—k) каналов не кончится время обслуживания, которое осу­

ществляется каждым каналом независимо от других (при этом заявка с некоторой вероятностью может быть и не обслужена; вероятность этого равна (1—р) п~к). Следовательно, обслужива­

ние будет продолжаться до тех пор, пока оно не закончится у того канала, который обслуживает заявку максимальное вре­ мя среди всех п—k каналов. Таким образом, время обслужива­

ния будет определяться из формулы

где Ti(i= 1, 2, ..., п—k ) — система независимых случайных вели­

чин, распределенных одинаково по показательному закону с па­ раметром |х.

164

Известно [19], что закон распределения максимума (п—k)

независимых одинаково распределенных случайных величин имеет вид

Следовательно, плотность распределения максимума (п—k)

случайных величин, распределенных одинаково по показательно­ му закону с параметром р, будет иметь вид

а функцию распределения этого времени можно найти по фор­ муле

Если вновь прибывшая заявка застает все каналы занятыми (вероятность этого равна рп), то она немедленно получает от­

каз, следовательно, плотность распределения времени нахожде­ ния заявки в системе будет равна

где 6 (0 — дельта-функция (см. § 1.5), а функцию распределения найдем по формуле

i

где 1 ( 0 = f b(t)dt —единичная функция.

Таким образом, безусловная плотность распределения време­ ни нахождения заявки в системе будет иметь вид

165

m - 0

Исходя из последнего выражения, получим следующую фор­ мулу для среднего времени нахождения заявки в системе:

л—1 п — Р— 1

Зная среднее время пребывания заявки в системе, можно найти

О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы

Вероятность того, что занято ровно k каналов:

п

Р о= 1

/? = 1

где а —— Iх

16G

При а целом положительном числе эти формулы принимают вид

^ = - ^ = L ( 0 < * < « )■ ^а+л

Вероятность обслуживания

* г ,

к=О

где <7 = 1 —р.

В частном случае при р = 1 (^=0)

Ро6с = — -— .

П+ а

Вероятность полной загрузки системы

Среднее время полной загрузки системы

1 ^З.С-- 'Щ

Среднее время неполной загрузки системы

7 _ _ L

* н . з — К

Среднее число занятых каналов

£ = 2 Ьр„

*=0

Вероятность того, что канал занят

‘ГСпК-- k

Среднее время занятости канала

7 3.к = —Iх •

Среднее время простоя канала

^П.К Iх ' ЯЗ.К

167

т- О

Вчастности, при а целом положительном числе

Среднее число заявок в системе

Т = а .

З а д а ч и и у п р а ж н е н и я

4.6.1.Рассматривается система ПВО с нарушенным управле­

нием Нарушение управления состоит в том, что каждую вле­ тающую в зону обстрела цель обстреливают все свободные к это­ му времени каналы. Обстрел цели каждым каналом длится слу­ чайное время, распределенное по показательному закону с параметром ц. За это время каждый канал поражает цель с ве­ роятностью р независимо от других каналов, принимающих

участие в обстреле. Определить характеристики работы системы,

если параметры системы ПВО следующие: п = 4; к = 4 —— ;

мин

! * = 1 — ; р=0,5.

мин

Р е ш е н и е

Врассматриваемом примере величина

\ л

а= — = 4 — целое число.

и-

Вероятности различных состояний системы будут равны:

ft = 0

168

Вероятность поражения налетающего самолета

*= 2 ^ * = 3 , 2. k-0

смотренную в предыдущем примере, с системой ПВО, работаю­ щей как СМО с отказами и вероятностью успешного обслужива­ ния р (см. § 4.2), если параметры системы /г, X, р, р одинаковы

(такие же как в задаче 4.6.1).

169

Р е ш е н и е

Для СМО с отказами и вероятностью успешного обслужива­ ния р относительная пропускная способность определяется по

формуле (4.2.1):

Таким образом, система массового обслуживания с отказа­ ми и вероятностью успешного обслуживания р при данных зна­ чениях параметров п, X, ц, р имеет большую пропускную способ­

ность.

4.6.3. Рассматривается си­ стема массового обслуживания с отказами и недостоверным об­ служиванием (см. § 4.2) и си­ стема массового обслуживания с отказами, взаимопомощью и отсутствием информации о ре­ зультатах обслуживания, кото­ рая анализируется в этом па­ раграфе.

Показать, что при малом значении параметра X система мас­

сового обслуживания, рассматриваемая в этом параграфе, имеет

При малом значении параметра Я(ЖСр) у обеих систем веро­ ятность ро того, что все каналы свободны, будет близка к едини­

це. Тогда практически каждая заявка, поступающая на вход сис­ темы, рассмотренной в этом параграфе, будет обслуживаться всеми «каналами и вероятность ее успешного обслуживания при­ ближенно будет равна 1 — (1—р)п, в то время как каждая заяв­

ка, поступающая на вход системы, рассмотренной в § 4.2, будет обслуживаться одним каналом и вероятность успешного ее об­ служивания будет равна р.

При большом значении параметра Л и в той и в другой сис­ теме практически будут заняты все каналы, т. е. рп^ 1. В этом

случае абсолютная пропускная способность системы, рассмот­ ренной в § 4.2, будет равна пцр, а вероятность обслуживания прр/Х. Для системы, рассмотренной в этом параграфе, вероят­

ность обслуживания будет практически равна нулю:

П

2 (1 —(1 —p)n~k) jP *~(i —(i — р )п~п) р„= о-

=П

170