книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

рис. 2.1.5; 2.1.6; 2.1.7 состояние х0 является состоянием без входа.

Очевидно» если состояние без входа будет ду, то

lim /?,(/) = 0.

t -*■ос

исследование и делает его бо­ лее наглядным.

§2.2. ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

СНЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Рассмотрим один из важных с прикладной точки зрения класс дискретных случайных процессов — дискретные марков­ ские случайные процессы с непрерывным временем *.

Пусть имеется дискретный случайный процесс, протекающий в системе с возможными состояниями

стоянии была система в момент t0, в какое состояние она должна

перейти через время т.

Другими словами, все вероятностные характеристики марков­ ского процесса в будущем (при t> t0) зависят лишь от того, в

каком состоянии этот процесс находится в настоящий момент времени t0 и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал до момента t0 (в прошлом). Короче можно сказать

так: для марковского процесса «будущее зависит от прошлого только через настоящее».

Различают два типа марковских случайных процессов: с дис­ кретным временем и с непрерывным временем. Марковским

* «Марковскими» называют процессы без последействия потому, что их впервые изучил А. А. Марков (1856—1922).

51

случайным процессом с дискретным временем называется про­

цесс, у которого переходы из одного состояния в другое возмож­ ны в строго определенные заранее моменты времени tu U, h , ...

Такие процессы редко встречаются при анализе систем массового обслуживания, поэтому мы их рассматривать не будем.

Марковским случайным процессом с непрерывным временем

называется процесс, у которого переход (перескок) из одного состояния в другое возможен в любой момент времени t. Можно

доказать следующее важное утверждение: если все потоки собы­ тий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс, протекающий в системе, будет марковским с непрерывным временем Таким образом, марковские случайные процессы с непрерывным временем тес­ нейшим образом связаны с пуассоновскими потоками событий. В первой главе было показано, что стационарные и нестацио­ нарные пуассоновские потоки событий часто встречаются на практике. Соответственно часто встречаются процессы марков­ ские или близкие к марковским процессам с непрерывным вре­ менем.

Для того чтобы описать дискретный марковский процесс с непрерывным временем, нужно знать следующие характеристи­ ки: перечень возможных состояний с указанием возможных не­ посредственных переходов из состояния в состояние, интенсив­ ности всех потоков событий, под влиянием которых осуществля­ ются эти переходы, и, в общем случае, состояние системы в начальный момент при ^ = 0.

Таким образом, для исследования процесса нужно:

1. Указать все состояния, в которых может находиться си­ стема.

2.Составить граф состояний, т. е. указать пути возможных непосредственных переходов системы из состояния в состояние.

3.Для каждого возможного перехода указать соответствую­

щую интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния Хг непосредственно в состояние xj.

4. Указать, в каком состоянии находится система в началь­ ный момент времени (при £ = 0).

Рассмотрение марковских случайных процессов, протекающих в системах со счетным множеством состояний, будем начинать всегда с описания самих состояний и составления графа состоя­ ний, на котором у каждой стрелки проставляется интенсивность соответствующего пуассоновского потока событий. Граф состоя­ ний с интенсивностями пуассоновских потоков событий полно­ стью определяет процесс, протекающий в системе, если указано

* Справедливо и обратное утверждение: если процесс, протекающий в си­ стеме, является марковским с непрерывным временем, то все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими.

52

*0, Х\\ переход системы из состояния л*0 в л*1 происходит под

воздействием пуассоновского потока событий с интенсивностью V i ( 0 ; из Xi в Хо — с интенсивностью h to(t).

В дальнейшем договоримся, что если переход из состояния xk непосредственно в состояние xi невозможен, то соответствую­

щей стрелки на графе состояний указывать не будем и интен­ сивность соответствующего потока событий бу­

дем считать равной нулю: Khj ( t ) = 0. Удобно также считать, что для любого k интенсив­ ность Xk,k(t) = 0.

§ 2.3. СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИИ

Основное преимущество пуассоновских систем в отношении Их исследования состоит в том, что для этих систем вероятности состояний описываются с помощью обыкновенных линейных диф­ ференциальных уравнений.

Чтобы продемонстрировать методику вывода этих уравнений, рассмотрим простую систему с двумя состояниями л:0, Х\у граф которой изображен на рис. 2.2.1. Составим уравнения, опреде­

ляющие вероятности po(t) н p\{ t) того, что система в любой момент времени t будет находиться в состоянии х0 и Х\ соответ­ ственно. Для этого рассмотрим момент времени t и дадим ему малое приращение At. В этом случае вероятность po(t+\At) есть вероятность того, что в момент времени (t + At) система находит­ ся в состоянии .Vo. Это событие может иметь два исхода:

А— система в момент времени t была в состоянии Л'о и за время At из него не вышла;

В— система в момент времени t была в состоянии Х\ и за время At перешла в состояние х0.

Всилу ординарности пуассоновских потоков событий вероят­ ность осуществления нескольких переходов за время At пред­ ставляет собой величину высшего порядка малости по сравне­ нию с At (0 (At) ).

Найдем вероятность события А. Это событие будет иметь место, если в момент времени t система будет находиться в со­ стоянии Хо (вероятность этого po(t)) и за время At не наступит ни одного события в потоке с интенсивностью hofi(t). Условная вероятность этого (в силу отсутствия последействия) равна [см. (1.4.2) и (1.4.3)]:

53

/+м е- :tf

Следовательно:

Событие В будет иметь место, если система в момент време­ ни t будет в состоянии х\ и в потоке событий с интенсивностью ?ч,о(t) за время Д£ наступит хотя бы одно событие, а в потоке событий с интенсивностью A0,i(/) за это же время At не наступит

P a d + At)—p0(t)

и->-o.iWiMO + M O p .W + - ^ 7 i

Переходя к пределу при At— >-0, найдем уравнение

Так как предел левой части есть производная функции /?о(0> то окончательно дифференциальное уравнение для Ро(0 примет

вид

54

Следует обратить внимание на то, что при выводе этого диф­ ференциального уравнения использовались оба свойства пуассо­ новского потока событий: ординарность и отсутствие последей­ ствия.

Очевидно, пользуясь аналогичными рассуждениями и учиты­ вая для каждого состояния все возможные переходы, связываю­ щие это состояние с соседними, можно получить столько обык­ новенных линейных дифференциальных уравнений, сколько имеется возможных состояний системы.

Для нашего примера второе уравнение для p\{t) будет

Естественно, для любого t должно соблюдаться условие

Таким образом, вероятности состояний pi(t) для дискретной

системы, в которой протекает марковский процесс с непрерыв­ ным временем, определяются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Другими словами, если все по­ токи событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то вероятности состояний определя­ ются обыкновенными линейными дифференциальными уравне­ ниями *.

Вероятности состояний марковского процесса находятся интегрированием соответствующей системы дифференциальных уравнений при определенных начальных условиях. Если система в начальный момент времени находится заведомо в одном опре­ деленном состоянии хт, то при / = 0 вероятность этого состояния равна единице: рт (0) = 1, рг ( 0) =0 при 1фт. В общем случае

могут быть заданы вероятности всех состояний в начальный момент, отличные от 0 и 1, при непременном соблюдении условия

Существует определенный методический прием, намного об­ легчающий вывод дифференциальных уравнений для вероятно­

стей состояний [19].

Продемонстрируем этот прием на конкретном примере. До­ пустим, что система имеет четыре возможных состояния: х0у Х\у х2, *3, и что переход системы возможен из любого состояния в

любое. Граф состояний такой системы показан на рис. 2.3.1. На этом рисунке около каждой стрелки, указывающей возможность

* Заметим, что если процесс, протекающий в системе, не является марков­ ским процессом с непрерывным временем, то обыкновенных дифференциальных уравнении для вероятностен состояний составить нельзя.

55

и направление перехода, проставлены интенсивности пуассонов­ ских потоков событий, переводящих систему из состояния в со­ стояние по данной стрелке. Напомним, что интенсивность пуас­ соновского потока событий, переводящего систему из состояния Х( в состояние Xj, мы договорились обозначать hij(t); функция h yj(t) для любого момента времени t является неотрицательной.

Условимся для краткости граф состояний, на котором простав­ лены не только стрелки переходов, но и интенсивности соответствую­ щих потоков событий, называть

«размеченным графом состояний».

Если составлен размеченный граф состояний, то для составления

м о н и ч е с к о е правило. Производная dpi(t)/dt вероятно­

сти пребывания системы в состоянии

состояниями. Если стрелка направлена в состояние л'г-, то член берется со знаком плюс; если стрелка направлена из состоя­ ния л*,*, то со знаком минус. Каждый член суммы равен произве­

дению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систе­ му по данной стрелке. Число отрицательных членов равно чис­ лу стрелок, направленных из состояния Xi\ число положительных членов равно числу стрелок, направленных в состояние х{.

Пользуясь этим правилом, составим дифференциальные урав­ нения для вероятностей состояний системы, размеченный граф состояний которой приведен на рис. 2.3.1:

-Г >4.3 (0 Pi (*) + 4.3 (t)p2(it).

56

При составлении этой системы дифференциальных уравнении рекомендуется смотреть на граф состояний: это существенно

облегчает запись уравнений. Систему (2.3.9) можно короче за­

писать так:

зз

иметь вид

ПП

Для того чтобы проинтегрировать эту систему дифференциаль­ ных уравнений, нужно задать начальные условия

так как в любой момент времени t система будет достоверно

находиться в каком-нибудь одном из своих состояний * Отметил! еще раз, что систему обыкновенных дифференциаль­

стемы, в которой переход из состояния в состояние осуществляет­ ся под воздействием пуассоновских потоков событий. При этом

57

интенсивности в системе (2.3.11) могут быть любыми не­ отрицательными функциями времени. Это означает, что потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, явля­ ются пуассоновскими, не обязательно стационарными (простей­ шими).

Таким образом, допущение о марковском характере процес­ са, протекающего в системе с конечным (или счетным) числом состояний приводит к необходимости анализа системы о б ы к ­ н о в е н н ы х л и н е й н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в ­ нений. В настоящее время аппарат обыкновенных линейных дифференциальных уравнений разработан достаточно подробно. Это является одной из причин широкого применения пуассонов­ ских потоков событий при анализе различных случайных процессов, протекающих в системах массового обслуживания.

Если не делать предположения о том, что процесс, протека­ ющий в системе массового обслуживания, является марковским, то аналитическое исследование работы такой системы требует привлечения более сложного математического аппарата, с кото­ рым инженер либо не знаком вовсе, либо знаком, но весьма поверхностно. К тому же в большинстве задач прикладного ха­ рактера замена непуассоновских потоков событий пуассоновски­ ми с теми же интенсивностями приводит к получению решения, которое мало отличается от истинного, а иногда и вовсе не отличается. При этом погрешность решения, как правило, нахо­ дится в пределах точности исходных данных, которые зачастую известны весьма приближенно. Специальное моделирование раз­ личных задач, проведенное методом Монте-Карло [3], показало, что в большинстве случаев эта погрешность ограничена 3—5% и лишь в редких случаях доходит до 10-^ 12%, что вполне прием­

лемо при решении прикладных задач. Данное положение объяс­ няется тем, что потоки событий, протекающие в реальных си­ стемах, в силу предельных теорем теории потоков по своей структуре весьма близки к пуассоновским.

Однако, как показал А. Д. Соловьев, имеются особые усло­ вия, когда погрешность может достигать значительных величин. Поэтому при решении сложных задач, когда нет уверенности в том, что замена реальных потоков пуассоновскими потоками приведет к малым ошибкам, нужно рекомендовать проверять аналитическое решение методом Монте-Карло (методом стати­ стических испытаний). При этом решение, полученное с помощью пуассоновских систем, можно рассматривать как первое прибли­ жение. Это сокращает проведение расчетов методом Монте-

Карло.

В качестве простого инженерного критерия небольшого отли­ чия реального стационарного потока от пуассоновского можно рассматривать близость математического ожидания и дисперсии числа событий, наступающих на определенном участке времени в реальном потоке.

58

Сделаем следующее замечание. Выше для составления диф­ ференциальных уравнений, описывающих вероятности состоя­ ний, мы пользовались размеченным графом состояний системы. Любому размеченному графу состояний однозначно соответ­ ствует система дифференциальных уравнений, и наоборот. Таким образом, информация, заключенная в размеченном графе и си­ стеме дифференциальных уравнений одна и та же. Однако граф обладает большей наглядностью. Поэтому в дальнейшем, говоря о различных системах массового обслуживания, мы в основном не будем писать дифференциальных уравнений, а будем ограни­ чиваться размеченным графом. Слово «размеченный» для крат­ кости будем опускать.

§ 2.4. ЭРГОДИЧЕСКИЕ МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ТЕОРЕМА МАРКОВА. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ СИСТЕМЫ

Рассмотрим дискретные марковские случайные процессы с непрерывным временем, которые обладают так называемым эргодическим свойством. Будем называть процесс эргодическим,

если по истечении достаточно продолжительного промежутка времени т вероятности со­

нии она находилась в на­ чальный момент времени и не зависят от са­ мого промежутка вре­

мени т.

Пусть имеется система с состояниями (х0, л*ь ..., х п). Для простоты будем считать число состояний п конечным * Допус­ тим, что система в момент времени t0 была в состоянии л'.-. Обо­ значим через pi,j(to, т) условную вероятность того, что система в

Назовем процесс транзитивным, если для любой пары состоя­

* Случаи бесконечного (счетного) числа состояний будут также рассмот­ рены в дальнейшем.

59

в том числе, и вернуться в исходное. Это утверждение вовсе не означает, что каждое состояние системы должно непосредствен­ но соединяться с каждым другим состоянием.

На рис. 2.4.2 приведен граф состояний транзитивной системы,

Возвращаясь к ранее рассмотренным графам состояний, мож­ но сказать, что на рис. 2.1.2; 2.1.3; 2.2.1 и 2.3.1 приведены тран­ зитивные системы, а на рис. 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, 2.1.7 — нетранзи­ тивные.

Очевидно, транзитивность процесса (достижимость любого состояния из любого другого) является необходимым условием того, чтобы этот процесс обладал эргодическим свойством. Если процесс не транзитивен, то система по истечении достаточного времени окажется в одной из групп состояний без выхода или в одном из состояний без выхода. Однако для того, чтобы процесс был эргодическим, этого недостаточно. Нужно, чтобы процесс кроме того, протекал о д н о р о д н о во времени, т. е. чтобы вероятность перехода из состояния Х{ в состояние Xj за время т не зависела от того, в какой момент времени t0 система находи­ лась в состоянии Xij а зависела лишь от величины т. Назовем

марковский случайный процесс однородным, если это условие выполняется:

Для того чтобы марковский случайный процесс был однород­ ным, нужно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, были стационарными пуассоновскими, т. е. простейшими потоками. В дальнейшем системы, в которых

60