книги / Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей

Все режимы, начиная со второго, аналогичны и отличаются друг От друга только величиной v радиуса окрестности. Режимы состоят 6 следующем. Случайным образом выбираются перестановки, лежащие в круге радиуса v с центром в точке р*. По окончании се­ рии так же, как и в первом режиме, определяется вероятность полу­ чения лучших, чем уже имеющиеся, значений функционала / (р). Действует то же правило, определяющее необходимость перехода

к новому режиму. Если лучшее значение /функционала, получен­

ное после данного прохождения режима, такое, что / < /* , то в качестве перестановки р* далее используется перестановка р, для

которой / (р) = /.

Правила изменения радиуса v окрестности лучшей перестанов­ ки и правило выбора длины серии бросков рассматриваются в § 5 данной главы. Отметим лишь, что радиус v уменьшается, а длина серии бросков остается неизменной.

Процесс поиска по методу сужающихся окрестностей заканчи­ вается, когда при v = 1 появляется необходимость в уменьшении радиуса.

В предыдущих параграфах приведены строгие доказательства теорем об изменениях математического ожидания и дисперсии при специальном выборе перестановок в шаре заданного радиуса. Та­ кой выбор перестановок, оказывается, осуществить довольно просто. Тем самым у нас есть возможность управлять как математическим ожиданием, так и дисперсией. А это значит, что вероятность полу­ чения «плохих» значений функционала при переходе с одного режи­ ма на другой существенно уменьшается. К сожалению, это еще не означает, что вероятность получения «хороших» значений функцио­ нала увеличивается. Последнее надо понимать в том смысле, что авторам не известно строгое доказательство сходимости метода сужающихся окрестностей к глобальному экстремуму. Лучшим «оп­ равданием» использования этого метода являются эффективные ре­ зультаты его применения для решения прикладных задач. Со­ ответствующие примеры приведены в четвертой главе.

Отметим, однако, что метод сужающихся окрестностей вслед­ ствие своей структуры во всяком случае не менее эффективен, чем классический метод Монте — Карло, так как функционал / рассмат­ ривается на таких перестановках, что вероятность получения луч­ ших значений целевой функции по крайней мере не уменьша­ ется.

Важно и то, что при использовании метода сужающихся ок­ рестностей «результат» получается за конечное число шагов. В самом деле, переход к новым режимам поиска (а при v = 1 к окон­ чанию поиска) определяется поведением вероятности Рк. Между тем, как следует из формулы (3.62), эта вероятность неизбежно уменьшается, как только находятся лучшие, чем ранее, значения функционала /, т. е. при уменьшении Л.

lo t

GO TO 16

PRINT 113

GO TO 15

16IF (KN.NE.3)

- GO TO 17 PRINT 114

19READ 125,NS PRINT 118,NS IRAD = 0 CALL RADIUS IRAD = 1

IQ = 0 GO TO 21

20 CALL LENGTH CALL CTIME (A,B)

A — A __ Д 1

PRINT 151,A JS = IS PRINT 152, IS PRINT 127,BZ

IF (LEN) 22,22,23 22 IRAD = 0

CALL RADIUS IRAD = 1

IQ — 1

21IF (KA.EQ.l)

- GOTO 60

24PP = 0.

XX= 0.

NP = 0

25XM = 0.

S= 0.

BZZ = 1 .E + 15

IF (KH) 26,26,27

27YM = 0. YS = 0.

26DO 35 1 = 1 , NS IF (IQ) 28,28,29

28CALL PERMUT GO TO 31

29CALL NEIGHB

KQ = 0

31 CALL AIM IS = IS + 1

IF (Z — BZZ) 32,33,33

IF(IQ) 46,46,47

46PRINT 121,BZZ,XM,S,P GO TO 48

47PRINT !22,NR,BZZ,XM,S,P

48IF (P — PP) 49,49,50

50 PP = P GO TO 25

49IQ = 1

XX = XX/NP

IF (KA.EQ.l)

—GO TO 61

PRINT 119,(ISTR(K), К = 1,106)

PRINT 123,XX

61CALL RADIUS IF <NR)5I,51,24

51IF (ISS.NE.O)

-PRINT 160,BZS,ISS,AB

PRINT 163,BZ,ISZ CALL OUTPUT

IF (KM) 52,52,53 53 CALL MONTE

23 CALL OUTPUT

52PRINT 124,IS CALL CTIME(A.B)

ДI = Д __ Д I

PRINT 162,A1 A1 = A RETURN

101 FORMAT (211,12,511)

102FORMAT (///45,X ,'РАБОТАЕТ МЕТОД', ♦'СУЖАЮЩИХСЯ ОКРЕСТНОСТЕЙ')

103FORMAT (//5Х,'ДЛИНА СЕРИИ',

♦'ВЫБИРАЕТСЯ АПРИОРНО')

104FORMAT (//5Х,'ДЛИНА СЕРИИ', ♦'ВЫБИРАЕТСЯ АВТОМАТИЧЕСКИ')

105FORMAT (5Х,'ИСПОЛЬЗУЕТСЯ НОРМАЛЬНЫЙ',

♦'ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ')

106FORMAT (5Х,'ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ЛОГНОРМАЛЬНЫЙ', ♦'ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ')

107FORMAT (5Х,'РАДИУС УМЕНЬШАЕТСЯ'.

♦'ПО ЧИСЛАМ ФИБОНАЧЧИ')

108FORMAT (5Х,'РАДИУС УМЕНЬШАЕТСЯ ВДВОЕ')

109FORMAT (5Х,'РАДИУС УМЕНЬШАЕТСЯ',

♦'НА ЕДИНИЦУ')

111FORMAT (5Х,'ЕСТЬ ПРОВЕРКА ПО', ♦'МЕТОДУ МОНТЕ — КАРЛО')

112FORMAT (5Х,'ЦЕПНАЯ МЕТРИКА')

ИЗ FORMAT (5Х,'ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКАЯ МЕТРИКА')

114FORMAT (5Х,'АЛФАВИТНАЯ МЕТРИКА')

115FORMAT (5Х,'ИНВЕРСНАЯ МЕТРИКА')

116FORMAT (5Х,'ТРАНСПОЗИЦИОННАЯ МЕТРИКА')

118FORMAT (//15Х,'ДЛИНА СЕРИИ',15,

.'БРОСКОВ'///)

119FORMAT (10Х,':', 106А1,':') 150 FORMAT (

110Х,': РЕЖИМ ПОИСКА : ЛУЧШ ЕЕ', 2'ЗНАЧЕНИЕ : СРЕДНЕЕ :', 3' МАТЕМАТИЧЕСКОЕ : ',

Q испытаний, проведенных по методу Монте-Карло, не обеспечивают отсутствия значимых отклонений, то исходное предположение 0 характере закона распределения считается неверным. В таком слу­ чае использование метода адаптивного перебора не рационально, поскольку вероятностные характеристики, которые применяются при работе метода, будут недостоверными. Поэтому метод адаптив­ ного перебора не используется. После проведенных Q испытаний выбирается рекордная перестановка р*, и соответствующее значение функционала / (р*) считается лучшим приближением к глобальному минимуму.

Число Q определяется заранее, исходя из оценок затрат машин­ ного времени на поиск одного значения функционала и возможных улучшений. Считается, что если число бросков в серии превышает Q, то использование метода адаптивного перебора экономически не эффективно.

Определение числа N бросков в серии осуществляется с помощью метода дихотомии. Выбираются два конца интервала (М, N). Пер­ воначально М = 1, N = 10. Определяется наличие или отсутствие значимых отклонений в сериях из М и N бросков. Значения М и N удваиваются до тех пор, пока на правом конце интервала значимые отклонения будут отсутствовать. Далее происходит деление интер­ вала (М , N) пополам и выполняется серия из (М + N)/2 бросков. Один из концов интервала переносится в середину, причем так, чтобы на левом конце интервала значимые отклонения существова­ ли, а на правом отсутствовали. Последовательное деление интерва­ ла пополам продолжается до тех пор, пока не определится минималь­ ное число бросков в серии, гарантирующее отсутствие значимых отклонений.

Ша г 2. Провести Серию из N бросков.

Ша г 3. Если обнаружены значимые отклонения от гипотети­ ческого закона распределения, то перейти к шагу 4; иначе пере­ йти к шагу 10.

Ша г 4. Положить М = 2N.

Ш а г 5. Если М < Q, перейти к шагу 6; иначе перейти к ша­ гу 9. - *

Шаг 6. Провести серию из М бросков.

Ша г 7. Бели обнаружены значимые отклонения от гипотети­

ческого закона распределения, перейти к шагу 8; иначе перейти к шагу 10.

Шаг-8. Положить N = М к перейти к шагу 4.

Ша г 9. Остановиться. Такой останов означает, что метод сужа­ ющихся окрестностей не будет использоваться, поскольку он тре­ бует слишком большого числа бросков в серии.

Ша г 10. Положить L = entier [(N + М)!2].

но