книги / Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей
..pdfб) |
условие |
PJpi П |
P,fPi = |
Ф((, |
i — 1. |
2, .... п; i < |
/), т. |
е. |
||||||
|
(*i - |
x ,f |
+ |
(у, - уif + (г, - |
z ,f - |
r ? , « |
9[?) > |
0, |
(4.23) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
___________ Ч — Ч____________. |
|
|
||||||
|
0 |
$ = |
arcsin |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
V(XI - |
х(р + |
(у, - |
<//)2 + (г, - |
г/)2 |
’ |
|
|
|
|
|
|
0$ = |
arcsin |
|
У! — |
У! |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
V (Xt — * /)2 + (Ш — у /) |
|
|
|
|
|||
в) |
условие |
Р(/р, |
П |
К А / = |
0 (/ = 1, |
2, |
п; |
/•= |
1, |
2, |
т ) , |
|||
т. е. |
(х{ — X/)3+ |
(yt — у*f |
+ (*t — г*)2 — г« (0«, 0$?) > |
О, |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||||
где гы (01V. |
0 |
$) — функция |
плотного |
размещения тел |
Рк |
и Pt |
||||||||
[54]; Xt, у{, гi — координаты полюса тела Р{ в неподвижной системе координат OXYZ-, р{, kt — границы тел Р{ и Kt.
Вследствие выбранного положения параллелепипеда Q относи тельно неподвижной системы координат переменные xlt yt, z( могут
принимать |
лишь неотрицательные значения: xt, yt, Z{ >• 0, i = |
= 1, 2, |
п, т. е. G целиком находится в первом октанте Зп-мерной |
ортогональной системы координат.
Приближение к локальному экстремуму функции х (Z) будем находить, пользуясь принципом последовательно-одиночного раз мещения [54], который реализуется в виде следующей итерацион ной формулы:
1 |
ykijL.ii Zkijt<) ~ |
min |
Xj (xt,, ykt, |
• • • |
|
^ k t+ l'yk l+ Г2*Ц.1,€0 |
|
|
|
• • • i |
Ukti ^ko *kt+j* Ukt^.i> |
(_()» * — |
11» 2, • • . , |
N], |
|
* « 1 ,2 , . . . . n — 1. |
|
(4.24) |
|
Существует несколько различных реализаций этой формулы, отли чающихся друг от друга способом нахождения min х (**,,..., ZktXti+It
Для решения задачи в данной работе предлагается матричный подход, основанный на использовании годографа вектор-функции плотного размещения [54]. Свойства годографа дали возможность уменьшить область поиска локального экстремума и предложить та кую организацию вычислительной работы с матричной моделью си стемы размещаемых тел, которая позволила существенно снизить затраты машинного времени на поиск одного локального экстремума.
Опишем подробнее, как реализуется поиск приближения к ло кальному экстремуму функции х (Z)"согласно итерационной формуле (4.24) на базе матричной модели размещения обьектов и их годогра фов вектор-функции плотного размещения.
При размещении тела Р{ в й геометрическим местом возможных положений его полюса является область
|
Ri = # io \ (и RH U, Я «)» |
(4-25) |
где |
— множество точек, принадлежащих области, |
ограниченной |
годографом Г/о вектор-функции плотного размещения тела Р,- и об ласти Й; Rij, Rit — открытые внутренние области годографов функ ций плотного размещения пары тел Р,- и Р,- и тела Р, и области запре та Kt.
Очевидно, что область (4.25) для всех значений i — 1, 2, ..., п не пуста, в противном случае задача не имеет решений. Кроме того, эта область может оказаться единственной точкой, но не для всех i, так как в противном случае задача имеет единственное решение, поиск которого тривиален.
В общем случае область (4.25) трехмерна, многосвязна. Разместить тело Р, в Q — значит найти точку Т( (xt, у(, г,) £ Ri, удовлетворя ющую требованиям принципа последовательно-одиночного размеще ния (4.24).
Заметим, что принцип последовательно-одиночного размещения объектов позволяет поиск приближения к локальному экстремуму функции цели х (Z) в области G размерности 3п заменить п-кратным поиском наилучших точек Tt £ R t (i = 1, 2, ..., п).
Справедливы следующие утверждения, значительно сокращаю
щие объем вычислений, необходимых для |
поиска точки Т{ £ R, при |
|||||
размещении в й |
тела |
Р г. |
|
условие |
|
|
Утверждение |
1. Выполняется |
|
||||
Тi (Xi> |
zd |
г— 1 |
пг |
Г,о, i = 1, 2, . . . , |
п. |
|
£ U Г*/ |
U |
|||||
|
|
/«1 |
* - i |
|
|
тел Р{ (г = I, |
Это следует из того, |
что рациональное |
размещение |
||||
2.......п) в й определяется среди плотных |
размещений. |
|
||||
Если учесть, что Гг/ представляет собой параллелепипед разме
ром (а( + |
aj) X (bi + |
bj) |
X (hi |
+ |
ht), полюс которого имеет коор |
|
динаты х |
= X/ — at, у |
= у, — bi, Zj = Zj — hn то справедливо следу |
||||
ющее утверждение. |
|
|
|
|
|
|
Утверждение 2. Условие |
|
|
|
|||
|
(xt, yt, zt) £ {Тt(l (Xj,, -f |
ah, у/, + |
&/2, Zj, + Л/,)}, |
|||
|
i = 1 , 2 , |
. . . , |
tv, |
p = 1, 2, |
. . . . | |
|
выполняется для всех £ троек годографовr iit, Гцг, Гц3, удовлетворя ющих условию
U Г,7 Ф 0 .
V=1
Действительно, множество {Т, } включает в себя все точки воз можного положения полюса тела Ph локально удовлетворяющие
162
требованиям принципа последовательно-одиночного размещения (4.24).
Итак, поиск точки Tt заключается в переборе таких точек Т{ из
{7^}, для которых выполняется |
условие |
|
|
ъ л |
I—1 |
m |
(4.26) |
П |
Л /и /?«. |
||
** |
/= 1 |
t= 1 |
|
Одна из этих точек полностью удовлетворяет требованию (4.24). Специальным образом организованная последовательность перебо ра точек из {7\-ц}(связанная с определенной сортировкой строк матри
цы, описывающей систему размещенных тел и областей запрета) позволяет остановиться на первой же точке, удовлетворяющей условию (4.26) и, считая ее точкой Т{, присвоить ее координаты полю су тела Pt.
Пусть задана некоторая последовательность чисел от 1 до п (пе рестановка). Если каждому числу в этой последовательности поста вить в соответствии размещаемое тело, то такой последовательности будет соответствовать вполне определенный вариант плотного разме щения объектов (гл. 1, §4), т. е. приближения к локальному экс тремуму. _
Определение приближения к локальному экстремуму функции
цели и (Z), т. е. реализация очередного варианта размещения |
тел |
|||
Р{ ( i = 1, 2.......п) в й, |
производится по следующему |
алгоритму. |
||
Алгоритм 4.1. |
|
|
|
|
Ш а г |
1. Построить |
матрицу С системы областей |
запрета |
Kt |
( t= 1, 2, |
..., m). |
|
|
|
Ша г 2. Произвести выборку информации об очередном размеща емом теле Р{.
Ша г 3. На основе матрицы С и информации о Р( образовать мат
рицу 5 |
|
годографов Г,0, |
Г,/, Г« (/' = |
1, 2, .... i — 1; < = 1 , 2 , ... |
||||
.... m ). |
|
4. Произвести сортировку строк матрицы S. |
||||||
Ш а г |
||||||||
Ш а г |
5. Построить очередную точку из множества {7^}. |
|||||||
Ш а г |
6. Проверить условия (4.26). |
|
|
|||||
Ш а г |
7. |
Если Ttu удовлетворяет |
условию (4.26), то перейти к |
|||||
шагу 8, |
иначе — к шагу 5. |
|
|
|
||||
Ш а г |
8. Координаты полюса тела Р{ положить равными коор |
|||||||
динатам |
точки |
Т( . |
|
|
|
|
||
Ш а г 9. Матрицу С дополнить строкой, |
описывающей тело Pt |
|||||||
и его расположение в й. |
|
|
i + |
1 и перейти к шагу 2. |
||||
Ш а г 10. Если г < п, то положить/ = |
||||||||
Ш а г |
11. |
Остановиться. |
|
|
моделью системы об |
|||
Матрица |
С, |
которая |
служит цифровой |
|||||
ластей |
запрета |
и уже |
размещенных тел, |
имеет размерность 7 X |
||||
X (< + |
тп -f- 4) |
при размещении тела |
Р,- |
и содержит следующие |
||||
11* |
163 |
элементы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л/а, |
Х<х, |
Уа, |
Za, |
Ха, -f- Я0| |
Уа, Ч" Ьа, |
2а, + |
ha, |
||
|
Nа, |
Ха, |
Уа, |
2аг Яа, -f- Яа, |
уа, + |
&а, |
2аг + |
Ла, |
||
|
* 4 |
Ха^ |
Уа^ |
гац |
Ха^ + |
«а,, |
Уа^+ |
Ьац |
Za^ + |
На^ |
где |
— номер тела Р7.ц (т] = t + |
от + |
4). Пять дополнительных |
|||||||
строк матрицы С описывают фиктивные области запрета, которыми заменены грани параллелепипеда Q.
Матрица S образуется путем вычитания из элементов второго, третьего и четвертого столбцов матрицы С величин а(, Ь(, Н(:
Л/а, |
, А'а, |
&Ша, |
h,Zat |
h[Xat -(- Яа1 |
l/a, -|- |
/^at2a, |
ha, |
Л/a, |
j Xa.t |
&\Уа, |
^|2(X2 |
hjXat Ч~ Я<х, |
Уа2“f" |
^а2^аг ~b |
/la, |
Ma,, |
\^a^ |
Hfl/ar, |
|
^tXar\ Ч- aa^ ! //a,, + |
/’a^fa^ + |
haл |
|
|
j |
|
|
|
1 |
: |
|
Сортировка матрицы S производится таким образом, чтобы |
|||||||
выполнялось |
условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
га |
+ |
haj >• 2аj_t “Ь h(Xf_1» |
(4.27) |
||
причем при |
равенстве |
в |
(4.27) |
|
|
|
|
|
|
Xaj “Ь Яaj |
Xa,j_| “f“ &a,i_ji |
(4.28) |
|||
а при равенстве в (4.28) |
|
|
|
|
|
||
|
|
Уаj Ч~ haj |
Уа/_] + |
&“/- r |
|
||
Проверка условия (4.26) для точки ^1(1» (**. У(ji* 2«д) (М1~ |
1,2,... |
||||||
.... Е) осуществляется по такому алгоритму. |
|
||||||
Алгоритм 4.2. |
|
|
|
|
|
||
Ш а г |
1. Построить матрицу S(1), состоящую из строк матрицы |
||||||
S, кроме |
строк, удовлетворяющих условию Zat — ht > ztfl. Если |
||||||
матрица S(" тривиальна, то перейти к шагу 8.
Ш а г 2. Построить матрицу S<2), состоящую из строк матрицы S(I), кроме строк, удовлетворяющих условию zaj + haj > zt . Если S<2) тривиальна, перейти к шагу 8.
Ш а г 3. Построить матрицу S®, состоящую из строк матрицы S(2), кроме строк, удовлетворяющих условию ха>— at < х(и. Если S® тривиальна, перейти к шагу 8.
Ш а г 4. Построить матрицу S<4), состоящую из строк матрицы 5®, кроме строк, удовлетворяющих условию xaj + яа/ < xt . Если S(4) тривиальна, перейти к шагу 8.
Ш а г 5. Построить матрицу S<5), состоящую из строк матрицы
164
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Та бл иц а |
4.15 |
|
Н ом ер |
а |
ь |
h |
Н ом ер |
а |
ь |
h |
Н ом ер |
а |
ь |
к |
о б ъ |
объ |
о б ъ |
|||||||||
екта |
|
|
|
екта |
|
|
|
екта |
|
|
|
1 |
2 |
12 |
16 |
33 |
2 |
2 |
6 |
65 |
2 |
2 |
40 |
2 |
18 |
12 |
3 |
34 |
16 |
4 |
2 |
66 |
4 |
2 |
28 |
3 |
14 |
14 |
7 |
35 |
14 |
14 |
3 |
67 |
4 |
4 |
9 |
4 |
4 |
4 |
24 |
36 |
18 |
14 |
5 |
68 |
4 |
2 |
21 |
5 |
6 |
4 |
30 |
37 |
2 |
4 |
3 |
69 |
4 |
2 |
6 |
6 |
6 |
14 |
15 |
38 |
2 |
4 |
6 |
70 |
. 18 |
10 |
21 |
7 |
4 |
14 |
22 |
39 |
2 |
2 |
1 |
71 |
14 |
2 |
24 |
8 |
8 |
2 |
8 |
40 |
2 |
8 |
2 |
72 |
4 |
6 |
18 |
9 |
16 |
10 |
12 |
41 |
6 |
12 |
8 |
73 |
6 |
4 |
18 |
10 |
18 |
8 |
2 |
42 |
8 |
12 |
3 |
74 |
2 |
14 |
2 |
И |
6 |
4 |
18 |
43 |
10 |
4 |
9 |
75 |
2 |
14 |
1 |
12 |
2 |
14 |
1 |
44 |
4 |
12 |
7 |
76 |
12 |
2 |
28 |
13 |
4 |
14 |
2 |
45 |
6 |
4 |
26 |
77 |
4 |
14 |
7 |
14 |
14 |
6 |
30 |
46 |
16 |
8 |
5 |
78 |
10 |
8 |
28 |
15 |
8 |
12 |
16 |
47 |
12 |
4 |
3 |
79 |
18 |
14 |
5 |
16 |
8 |
8 |
2 |
48 |
10 |
14 |
9 |
80 |
14 |
2 |
41 |
17 |
2 |
12 |
9 |
49 |
4 |
2 |
26 |
81 |
8 |
2 |
30 |
18 |
18 |
14 |
3 |
50 |
6 |
10 |
2 |
82 |
12 |
6 |
7 |
19 |
6 |
10 |
17 |
51 |
10 |
6 |
16 |
83 |
10 |
14 |
6 |
20 |
4 |
6 |
28 |
52 |
4 |
12 |
5 |
84 |
4 |
14 |
2 |
21 |
16 |
14 |
4 |
53 |
4 |
14 |
9 |
85 |
2 |
14 |
1 |
22 |
6 |
12 |
4 |
54 |
12 |
14 |
1 |
86 |
4 |
2 |
41 |
23 |
14 |
2 |
32 |
55 |
14 |
6 |
7 |
87 |
2 |
8 |
12 |
24 |
6 |
4 |
15 |
56 |
8 |
14 |
1 |
88 |
14 |
6 |
32 |
25 |
10 |
12 |
3 |
57 |
6 |
4 |
30 |
89 |
16 |
2 |
40 |
26 |
4 |
12 |
1 |
58 |
10 |
2 |
35 |
90 |
18 |
2 |
31 |
27 |
14 |
2 |
22 |
59 |
4 |
12 |
И |
91 |
18 |
12 |
12 |
28 |
12 |
14 |
1 |
60 |
2 |
2 |
36 |
92 |
6 |
2 |
11 |
29 |
2 |
12 |
5 |
61 |
6 |
12 |
12 |
93 |
8 |
4 |
8 |
30 |
18 |
2 |
10 |
62 |
8 |
2 |
10 |
94 |
6 |
4 |
16 |
31 |
6 |
8 |
31 |
63 |
10 |
2 |
21 |
95 |
4 |
6 |
25 |
32 |
10 |
2 |
10 |
64 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
4.16 |
|
Н ом ер |
|
X |
|
У |
г |
|
а |
|
ь |
|
h |
объекта |
|
|
|
|
|
||||||
184 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
4 |
|
14 |
|
2 |
185 |
|
14 |
|
3 |
0 |
|
2 |
|
14 |
|
4 |
186 |
|
8 |
|
4 |
10 |
|
2 |
|
2 |
|
41 |
187 |
|
14 |
|
4 |
14 |
|
2 |
|
8 |
|
12 |
188 |
|
4 |
|
14 |
18 |
|
14 |
|
6 |
|
32 |
189 |
|
0 |
|
0 |
70 |
|
16 |
|
2 |
|
40 |
190 |
|
0 |
|
10 |
90 |
|
18 |
|
2 |
|
Ч |
191 |
|
0 |
|
8 |
100 |
|
18 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
||||||
192 |
|
8 |
|
6 |
130 |
|
6 |
|
2 |
|
|
193 |
|
10 |
|
4 |
141 |
|
8 |
|
4 |
|
§ |
194 |
|
6 |
|
8 |
180 |
|
6 |
|
4 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165
S<4), кроме строк, удовлетворяющих условию уа, — bt >• у1и. Если
5<5’ тривиальна, перейти к шагу 8. |
|
|
|
|
|
|||||||
Ш а г 6. Построить матрицу S<6), состоящую из строк |
матрицы |
|||||||||||
S<5), |
кроме строк, удовлетворяющих условию уа/ + |
ba/ < |
yifi. Если |
|||||||||
S<6) |
тривиальна, |
перейти к |
шагу |
8. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
4.17 |
|
Н ом ер |
X |
|
г |
Н ом ер |
X |
|
|
Н ом ер |
X |
|
г |
|
о б ъ |
У |
о б ъ |
У |
2 |
о б ъ |
У |
||||||
екта |
|
|
|
ек та |
|
|
|
екта |
|
|
|
|
1 |
6 |
0 |
2 0 3 |
3 3 |
0 0 |
0 2 |
1 6 5 |
6 5 |
0 2 |
14 |
2 4 9 |
|
2 |
|
0 |
0 |
3 3 5 |
3 4 |
0 |
6 |
1 3 9 |
6 6 |
0 |
0 |
1 6 5 |
3 |
4 |
6 |
2 8 0 |
3 5 |
0 |
0 |
2 4 0 |
6 7 |
10 |
0 |
2 8 7 |
|
4 |
6 |
16 |
7 2 |
3 6 |
0 |
2 |
6 7 |
6 8 |
0 |
2 |
139 |
|
5 |
10 |
14 |
121 |
3 7 |
0 |
4 |
1 65 |
6 9 |
0 |
16 |
139 |
|
6 |
|
0 |
4 |
148 |
3 8 |
4 |
0 |
3 0 1 |
7 0 |
0 |
0 |
2 1 9 |
7 |
0 |
4 |
18 |
3 9 |
0 |
0 |
1 9 8 |
71 |
0 |
12 |
2 0 5 |
|
8 |
|
0 |
2 |
1 2 5 |
4 0 |
6 |
2 |
1 4 8 |
7 2 |
0 |
14 |
0 |
9 |
|
0 |
0 |
3 1 0 |
41 |
0 |
0 |
2 8 7 |
7 3 |
0 |
4 |
1 25 |
10 |
0 |
4 |
1 9 8 |
4 2 |
10 |
4 |
2 0 0 |
7 4 |
12 |
0 |
3 0 1 |
|
11 |
|
0 |
16 |
7 2 |
4 3 |
0 |
12 |
1 3 9 |
7 5 |
10 |
0 |
3 01 |
12 |
14 |
0 |
3 0 1 |
4 4 |
0 |
0 |
3 0 1 |
7 6 |
4 |
18 |
148 |
|
13 |
6 |
0 |
2 9 4 |
4 5 |
0 |
8 |
1 6 5 |
7 7 |
14 |
0 |
2 4 0 |
|
14 |
0 |
12 |
1 6 5 |
4 6 |
0 |
0 |
2 9 6 |
7 8 |
8 |
2 |
1 4 9 |
|
15 |
0 |
0 |
2 0 3 |
4 7 |
6 |
14 |
1 9 6 |
7 9 |
0 |
2 |
7 2 |
|
16 |
0 |
8 |
1 37 |
4 8 |
6 |
0 |
3 2 6 |
8 0 |
0 |
18 |
2 8 7 |
|
17 |
14 |
0 |
2 4 9 |
4 9 |
0 |
2 |
2 |
81 |
0 |
12 |
2 4 9 |
|
18 |
0 |
0 |
3 2 2 |
5 0 |
10 |
4 |
2 0 3 |
8 2 |
0 |
2 |
1 7 7 |
|
19 |
12 |
0 |
3 8 |
51 |
0 |
14 |
121 |
8 3 |
0 |
0 |
2 4 3 |
|
2 0 |
|
4 |
6 |
2 4 9 |
5 2 |
4 |
2 |
2 6 |
8 4 |
14 |
0 |
3 0 2 |
21 |
|
0 |
0 |
121 |
5 3 |
6 |
0 |
3 0 1 |
8 5 |
16 |
0 |
2 4 9 |
2 2 |
|
0 |
0 |
3 2 5 |
5 4 |
0 |
0 |
19 7 |
8 6 |
6 |
14 |
2 0 6 |
2 3 |
|
0 |
16 |
2 4 0 |
5 5 |
4 |
12 |
2 8 7 |
8 7 |
10 |
0 |
2 0 6 |
2 4 |
|
12 |
0 |
1 9 6 |
5 6 |
6 |
0 |
3 2 5 |
8 8 |
0 |
0 |
2 4 9 |
2 5 |
0 |
0 |
2 0 0 |
5 7 |
0 |
14 |
1 9 6 |
8 9 |
0 |
0 |
1 2 5 |
|
2 6 |
6 |
0 |
2 8 7 |
5 8 |
0 |
18 |
2 4 3 |
9 0 |
0 |
0 |
2 |
|
2 7 |
|
0 |
18 |
2 0 6 |
5 9 |
4 |
2 |
2 |
91 |
0 |
0 |
5 5 |
2 8 |
0 |
0 |
1 9 6 |
6 0 |
0 |
14 |
2 4 3 |
9 2 |
0 |
12 |
2 9 4 |
|
2 9 |
|
16 |
8 |
121 |
61 |
12 |
2 |
2 6 |
9 3 |
10 |
14 |
3 0 1 |
3 0 |
|
0 |
18 |
1 9 6 |
6 2 |
0 |
16 |
3 0 1 |
9 4 |
6 |
10 |
149 |
31 |
|
8 |
6 |
2 4 9 |
6 3 |
4 |
0 |
1 6 5 |
9 5 |
0 |
6 |
2 4 9 |
3 2 |
|
0 |
14 |
2 9 4 |
6 4 |
0 |
18 |
1 4 8 |
|
|
|
|
Ш а г |
7. Условие (4.26) для точки Titl(xtll, у1)Х, г^) не выполняется. |
|||||||||||
Выйти |
из |
подпрограммы. |
|
|
условию (4.26), поэтому по |
|||||||
Ш а г 8. Точка Ti |
удовлетворяет |
|||||||||||
лагаем Т{ = Т[ . Выйти из подпрограммы.
Отметим, что алгоритмы 4.1, 4.2 и другие, разработанные для построения очередного варианта размещения Рс (» = 1, 2, ... п) в й с учетом области запрета Kt (t = 1, 2, ... m), позволяют все вычислительные процедуры в основном свести к многократным про-
166
веркам логических условий «меньше или равно», «(больше или равно», что приводит к дополнительной экономии машинного времени.
Формирование |
последовательностей, определяющих приближения |
||||||
к локальным экстремумам функции цели х (Z) на области G, осу |
|||||||
ществляется методом сужающихся |
|||||||
окрестностей. |
|
|
|
реше |
|||
|
Как |
пример рассмотрим |
|||||
ние задачи плотнейшего размеще |
|||||||
ния 95 параллелепипедов, |
размеры |
||||||
которых |
заданы |
в табл. |
4.15 |
с |
|||
учетом 11 областей запрета, |
разме |
||||||
ры |
которых заданы в табл. 4.16, в |
||||||
параллелепипеде с основанием раз |
|||||||
мером 18 X 20. |
При этом плотней |
||||||
шим считается |
такое размещение, |
||||||
которое характеризуется |
наимень |
||||||
шим значением высоты / занятой |
|||||||
части основного |
параллелепипеда. |
||||||
|
При |
решении |
данной |
|
задачи |
||
сравнивалась эффективность |
мето |
||||||
да |
сужающихся |
окрестностей |
и |
||||
метода |
Монте — Карло. |
Вторым |
|||||
способом было |
испытано 504 вари |
||||||
анта размещения, при этом наилуч |
|||||||
шее полученное значение / состави |
|||||||
ло |
391 единицу. |
Поскольку фор |
|||||
мируемые при этом перестановки и соответствующие им варианты размещения были независимыми друг от друга, набор из 504 зна чений критерия / использовался для оценки параметров распреде ления критерия / как случайной величины (в предположении, что значения / распределены нормально). Оценка математического
ожидания составила т = 466,4, а стандартного отклонения а = = 33,5. По способу сужающихся окрестностей было принято пред положение о нормальном характере распределения величины /, радиус окрестности изменялся по закону (3,63), длина серии состави
ла 53 наблюдения. В процессе решения испытано |
509 вариантов. |
|
Наилучшему |
варианту соответствовало значение f |
= 336 единиц. |
В табл. 4.17 |
приведены значения координат параллелепипедов, |
|
соответствующие наилучшему решению. Фрагмент одного вариан та размещения параллелепипедов показан на рис. 40.
§8. Упаковка прямоугольников
вполосе
Пусть задана полубесконечная полоса 5 шириной а и набор пря моугольников S ( размером а{ X bc (i — 1, 2,..., п). Необходимо прямоугольники разместить в полосе так, чтобы стороны а( были
167
Рис. 41.
Рис. 42.
Рис. 43.
\
параллельны стороне а, а длина г занятой части полосы была наи меньшей.
Такая задача является частным случаем трех рассмотренных вы ше. Мы получим ее, если в задаче, поставленной в § 7 данной главы, считать высоты всех параллелепипедов равными нулю. К этой же
Рис. 44.
задаче сводится и рассмотренная в §6 компоновка схем генеральных планов в случае резких упрощений в форме объектов в виде целевой функции и в системах ограничений. Наконец, задачу раскроя из § б также можно свести к упаковке прямоугольников в полосе.
Однако данная задача имеет большое самостоятельное значение. Дело в том, что задачи упаковки прямоугольников в полосе часто возникают при раскрое материалов, при верстке газет и журналов. К задачам размещения прямоугольников можно свести ряд эконо
мических задач. |
алгоритмов § 5—7 данной |
|
Кроме того, использованию общих |
||
главы для решения задачи упаковки |
прямоугольников в |
поло |
се привело бы к непроизводительным |
затратам машинного |
вре |
мени. |
|
|
169
Пусть в полосе шириной 20 размещается 45 прямоугольников, изображенных на рис. 41. Видно, что эти прямоугольники запол няют полосу без пропусков. Таким образом, в данном случае речь идет о задаче с известным глобальным минимумом, равным 50.
Результат решения этой задачи методом сужающихся окрест ностей показан на рис. 42. Этот результат на 6% хуже глобального минимума.
Рассматривались также размещения указанных прямоугольни ков в полосах шириной 18 и 32. Полученные размещения показаны на рис. 43 и 44 соответственно. При этом нижняя оценка глобаль ного минимума г) вычислялась следующим образом. Например, для полосы шириной 18 в качестве величины т] выбиралось число 56. Дело в том, что общая площадь размещаемых прямоугольни ков равна 1000, поэтому длина полосы не может быть меньше, чем 1000/18 » 56.