книги / Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей

метод сужающихся окрестностей нецелесообразно.

Далее подробнее остановимся на том, как устанавливается нали­ чие или отсутствие значимых отклонений от гипотетического закона.

Используем критерий Ха для случая, когда по выборке оцени­ ваются некоторые параметры. В самом деле, если априори известно, что закон распределения является нормальным (или логнормаль­ ным), а параметры т и а (или р и s) нужно оценить, то в предель­ ном распределении необходимо уменьшить на два число степеней свободы.

Прежде всего рассмотрим гипотезу о нормальном характере за­ кона распределения.

Пусть задано N выборочных значений случайной величины (результатов испытаний). Обычным способом оцениваем математи­ ческое ожидание и дисперсию для этих значений. Полагаем

1 N m = ~N ,5,

..., Sf. Вероятность попадания на каждый из интервалов S/ вычислим по формулам

р‘~ т Ь j/ exp[ - ( w ) !]‘K' ,= |' 2..... г

где*/ и xj+t — границы интервалах,. Кроме того, вычислим величины

которую легко выразить через наблюденные частоты X, и ожидаемые частоты Np, для всех г групп.

Гипотеза Н в данном случае состоит в том, что закон распреде­ ления является нормальным. Вследствие теоремы Пирсона можно

112

ввести критерий для проверки этой гипотезы. Если бы все парамет­ ры нормального закона были известны, то проверка свелась бы к следующему.

Пусть Хр — р-проаентное значение X2 при г — 1 степенях сво­ боды. Тогда вероятность

Р = Р {X2 > %1)

при больших N будет приблизительно равна р%. Фиксируем такое малое значение р, чтобы можно было считать практически несом­ ненным, что при одном испытании событие с вероятностью р% не лроизойдет. Предположим далее, что N столь велико, что для прак­ тических целей вероятность Р можно отождествить с ее предельным значением р%. Если гипотеза Н верна, то в единственной выборке

практически невозможно встретить значение X2, превышающее Хр- Единственное изменение, которое нужно внести в случае нали­ чия известных параметров, состоит в следующем: число степеней свободы предельного распределения необходимо уменьшить на ко­ личество единиц, равное числу параметров, оцениваемых повыбор­

ке, В данном случае необходимо рассматривать х»> при г — 3 степе­ нях свободы.

Если в наличной выборке обнаруживается значение X > Хр, то говорят, что выборка имеет значимое отклонение от гипотезы Н, и потому гипотеза должна быть забракована.

Заметим, что достаточно точные для обычных целей результаты проверки гипотез получаются при Npt > 10. Поэтому, если неко­ торые из Np, < 10, то обычно бывает целесообразно перед приме­ нением критерия объединить маленькие группы с тем, чтобы каждая из них содержала по крайней мере 10 ожидаемых результатов.

Вприложениях чаще других используются 5- и 1- и 0,1%-ные уровни значимости. Отклонения, превосходящие 5%-ный предел, но не 1%-ный, называют почти значимыми, отклонения между 1%-ным и 0,1%-ным пределами — значимыми, а отклонения, превы­ шающие 0,1%-ный предел, — высоко значимыми.

Внашей работе всюду используется 1%-ный уровень значи­ мости.

Объединение интервалов в случае, когда не выполняется условие NPi > 10, осуществляем следующим образом. Если Np1/ < 10, то объединяем интервалы S< и S ^i. Такая процедура верна для всех, интервалов, кроме правого. Его объединяем с предыдущим.

Алгоритм для выбора длины серии реализован в виде программы LENGTH, текст которой приведен ниже.

СПРОГРАММА ПРЕДНАЗНАЧЕНА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

СДЛИНЫ СЕРИИ БРОСКОВ

101FORMAT (13/14)

102FORMAT (20F4.2)

103FORMAT (20X, 'ДЛИНА СЕРИИ HE НАЙДЕНА'/ *8X,'ИСПОЛЬЗОВАТЬ МЕТОД HE ЦЕЛЕСООБРАЗНО')

104FORMAT (10X, 'ИСКОМАЯ ДЛИНА СЕРИИ БРОСКОВ РАВНА1,15)

105FORMAT (5Х,'НАЧАЛЬНОЙ ЧИСЛО БРОСКОВ',15/

*5Х, 'ПРЕДЕЛЬНОЕ ЧИСЛО БРОСКОВ',17) END

114

Замечание к программе LENGTH.

определяет значения функционала на перестановке и составляется пользователем. Приведем тексты программ KI и PROBAB.

119

§ 6. Выбор радиусов шаров

Использование метода сужающихся окрестностей предполага­ ет постепенное уменьшение радиуса шаров в пространстве переста­ новок. В предлагаемом исследовании используются три различных правила уменьшения радиуса.

1. Радиус шара делится пополам. Причем отметим, что шары в пространстве перестановок могут иметь только целочисленные ради­ усы. Поэтому полагаем

117

3.Для изменения радиуса шара используется набор чисел Фи­

боначчи. Ряд чисел Фибоначчи строится по следующему правилу* Каждый член ряда равен сумме двух предыдущих:

Ф* = Ф*_14“ Ф(—2*

При этом полагаем Фг = О, Ф2 = 1. Выпишем первые члены ряда Фибоначчи:

О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.

Как наибольший радиус шара v, выбираем наибольший член ряда Фибоначчи, не превосходящий v0. Пусть это будет число Ф*. Все последующие радиусы строятся по следующему правилу:

бирается с учетом числа п символов в перестановке и способа мет­ ризации пространства перестановок.

Именно, для транспозиционной, цепной и алфавитной метрик полагаем v0 = п — 1, для инверсной метрики выбираем v0 =

— .n (nz~ (См. главу 2, § 8). В случае лексикографической метрики

следовало бы положить v0 = я!. Однако 'это приводит к неоправдан­ но большим затратам машинного времени. Поэтому для лексикогра­

фической метрики также положим v0 = --п- ~

В заключение отметим, что предлагаемые правила умень­ шения радиусов не являются в общем случае самыми лучшими в смысле скорости сходимости метода сужающихся окрестностей. Это объясняется тем, что управление величиной радиусов осуществля­ ется независимо от некоторых объективных стохастических харак­ теристик, например таких, как математическое ожидание и диспер­ сия. Поэтому, как нам кажется, скорость сходимости метода можно существенно увеличить, если изменения радиусов окрестностей поставить в зависимость от большего числа стохастических пара­ метров и при этом отказаться от монотонного сужения окрестностей. Разумеется, такой подход требует дополнительных исследований.

Имеющиеся алгоритмы уменьшения радиусов реализованы в виде программы RADIUS на языке ФОРТРАН. Ниже приведен ее текст.

€ПРОГРАММА ФОРМИРУЕТ НАЧАЛЬНЫЙ РАДИУС

СЦ1АРА И ДАЛЬНЕЙШИЕ ЕГО ИЗМЕНЕНИЯ

С

С FIBNCH

•с с *********************************************************************

с

COMMON /RANE/ NR /11/ 1RAD,KR */NESE/ KN /INNE/ N /FINE/ NF,KF(1000)

118

IF (IRAD.EQ.l)

5IF (KR.EQ.— 1)

—CALL FIBNCH

RETURN

6IF (KR) 9,8,7

7NR = NR — 1 RETURN

8NR — NR/2

RETURN ,

9NF = NF — 1 NR = KF(NF) RETURN END

Программа RADIUS использует подпрограмму FIBNCH. При­ едем ее текст.

Г Л А В А 4

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

§ 1. Уравновешивание диска с размещенными на его периферии массами

В турбостроении, авиамоторостроении и других отраслях про­ мышленности, связанных с вращающимися дискретно распределен­ ными массами, часто возникает задача уравновешивания масс вра­ щающихся частей. Неуравновешенность масс приводит к возникно­ вению значительных центробежных сил, оказывающих вредное воздействие на подшипники агрегата. Кроме того, под действием динамических нагрузок могут появляться трещины в сварных соединениях, широко применяемых в практике турбостроения.

Такого рода задачи рассмотрим на примере ротора паровой турбины.,Он представляет собой вал с насаженными на него облопаченными дисками или барабан с насаженными ступенями облопачивания. Естественно ожидать, что наилучшее статическое уравновешивание каждой ступени даст удовлетворительное (как статическое, так и динамическое) уравновешивание ротора в целом. В связи с этим поставим задачу об уравновешивании изолирован­ ной рабочей ступени турбомашины. Ступень обычно представляет собой диск, который можно считать полностью уравновешенным. На этот диск с равным угловым шагом посажены рабочие лопатки.

Вследствие технологических особенностей процесса изготовле­ ния лопаток такие их параметры, как масса и статический момент, имеют некоторый разброс вблизи соответствующих средних значе­ ний. Поэтому при произвольном размещении лопаток на диске может возникнуть значительный суммарный небаланс ступени. Его можно измерить на испытательном стенде и устранить путем установки балансировочных грузов. Такой способ требует значительных вре­ менных затрат. Если речь идет о гидротурбинах, то балансировка проводится с помощью сверления диска, что приводит к уменьшению его прочности.

В связи со сказанным значительный интерес представляв! попыт­ ка добиться достаточной уравновешенности диска путем соответст­ вующего выбора местоположения каждой лопатки на диске. При этом предполагается, что статические моменты отдельных лопаток известны.

120