книги / Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей

снизить стоимость объекта и повысить его эксплуатационные ка­ чества. С другой, искусственное занижение стоимости строительства в ходе работы приводит к перерасходу средств, затягиванию сроков строительства и т. д. В то же время нормативные сроки проектиро­ вания постоянно сокращаются, и эта тенденция, безусловно, в бли­ жайшем будущем не изменится.

Вэтих условиях единственным способом получения обоснован­ ного решения является использование математических методов и ЭВМ.

Среди задач, возникающих при автоматизации проектирования различных объектов, выделены наиболее важные. К ним в первую очередь относится задача составления схемы генерального плана объекта. Она делится на несколько этапов. Для промышленных пред­ приятий разработка схемы генерального плана включает решение следующих вопросов: размещение основного и вспомогательных производств на выбранной площадке, размещение энергетической базы и головных сооружений.

Взадаче проектирования одноэтажных производственных зданий начальной стадией является разработка архитектурного планировоч­ ного решения, заключающаяся в выборе формы здания в плане и раз­ мещения в нем основных помещений.

Анализ задачи размещения производств на территории предприя­ тия и компоновки одноэтажного производственного здания свиде­ тельствует о том, что на начальном этапе этих задач в ряде случаев допускается единая формальная постановка. Для этого необходимо выполнение следующих условий:

1)проектируемое предприятие размещается на однородной (или предварительно выравниваемой) территории;

2)коммуникации или не накладывают на схему генерального плана никаких ограничений, выражающихся через попарные рас­ стояния между объектами, или имеют фиксированные размеры и форму, т. е. в этом случае коммуникация и соединяемые ею объекты, по существу, предсаавляют собой единый сложный объект.

Если перечисленные условия выполнены, то задача разработки

схемы генерального плана может решаться поэтапно: на первом этапе происходит компоновка основных объектов, на втором — детали­ зируются решения транспортных и иных коммуникаций. Учет комму­ никаций на первом этапе производится путем включения оценки за­ трат на коммуникации в целевую функцию задачи, а также путем учета налагаемых ими ограничений на взаимное расположение разме­ щаемых объектов. Задача составления схемы генерального плана фор­ мулируется как задача размещения заданного набора объектов в некоторой области таким образом, чтобы заданный функционал при­ нимал возможно меньшее значение, а взаимное расположение объ­ ектов удовлетворяло заранее фиксированным ограничениям. В задаче разработки схемы генерального плана предприятия объектами явля­ ются отдельные здания или крупное оборудование, размещаемое вне здания, или резервируемые с той или иной целью территории.

151

В задаче разработки архитектурно-планировочного решения про­ изводственного здания объектами являются отдельные поме­ щения.

В первом случае под областью подразумевается площадка пред­ приятия, во втором — абрис здания'в плане.

Размещаемые объекты могут быть связаны друг с другом комму­ никациями, которые на первом этапе фактически не проектируются, а только оцениваются по стои­

мости.

Опыт проектирования показыва­ ет, что хотя фактически стоимость коммуникаций является сложной функцией многих параметров, в первоначальном приближении мож­ но считать, что эта стоимость про­ порциональна расстоянию между началом и концом соответствую­ щей коммуникации. При оценке всей сети коммуникаций на началь­ ном этапе эффектами типа блоки­ ровки коммуникаций в один кол­ лектор можно пренебречь и счи­

тать, что стоимость всей системы коммуникаций равна сумме стои­ мостей отдельных коммуникаций.

Оценкой варианта схемы генерального плана можно считать сум­ му затрат (единовременных, эксплуатационных или приведенных) на территорию и коммуникации. Возможны и другие варианты це­ левой функции в виде взвешенной суммы различных затрат.

В общем случае задачи построения схемы генплана и компоновки одноэтажного производственного здания являются многокритери­ альными [39].

Формальная постановка задачи заключается в следующем. За­ данный набор объектов Tt (i — 1, 2, ..., п) необходимо разместить в области £2 так, чтобы некоторая функция цели принимала экстре­ мальное значение. Размещаемые объекты Tt (i = 1, 2, ...,я) и об­ ласть Q представляют собой прямоугольники или фигуры, состав­ ленные из прямоугольников со взаимно параллельными сторонами. Кроме того, прямоугольники, образующие объекты Г, (i = 1, 2, ...

..., л), и прямоугольники, из которых состоит область Q, также имеют взаимно параллельные стороны (рис. 36). Таким образом, на область Q и объекты Т{ (» = 1, 2, ..., п), кроме требования их аппроксима­ ции прямоугольниками, иных ограничений не накладывается, т. е. они могут быть невыпуклыми, многосвязными, несвязными. -

Далее границу области Q удобно всегда считать прямоугольной. Произвольную форму ее можно получить, вводя прямоугольные зоны запрета. Если область Q не прямоугольная, нетрудно заключить ее в прямоугольную область.

Отметим, что рассматриваемая постановка задачи проектирова­

152

ния в некотором смысле совпадает с постановкой задачи, приведенной в работе [36].

Область й свяжем с неподвижной системой координат хОу, а раз­ мещаемые объекты Т{ — G собственными подвижными системами

координат 6* 01 т/ (< = 1, 2, .... п). Пусть объекты 7\ имеют пара­ метры размещения хь yt, 04 [54]. Положим, что параметры (i = 1,

2 ,..., п) могут принимать значения, кратные -у-, т. е. в процессе раз­

мещения, объекты могут занимать одно из четырех возможных по­ ложений.

На языке математического программирования рассматриваемая задача в общем виде формулируется следующим образом.

Найти min я (z) — к (г*), где G определяется системой ограниче-

г£0

Как указывалось ранее, задача проектирования генеральных планов в общем случае является многокритериальной. Предполага­ ется, что все критерии я( (г) (i — 1 ,2 ,..., п) можно объединить в еди­ ную функцию цели и следующим образом:

2. Длина связывающей сети, определяющая стоимость инженер­ ных коммуникаций, вычисляется в ортогональной, так называемой

153

манхэттенской метрике [84]

иными словами, требуется, чтобы выдерживалось заданное соотно­ шение длин сторон области й;

условий выполнения минимально и максимально допустимых расстояний между парами размещаемых объектов, между объектами

где dij, гц, dit rt — заданные числа.

Очевидно, эти неравенства определяют область возможных поло­ жений полюса /-го относительно t-ro размещаемого объекта. Геомет­ рически эта область образует некоторое топологическое кольцо. На рис. 37 такое кольцо заштриховано. Заметим, что неравенства dy < < Ру и dj < р; были учтены выше. Для этого достаточно в неравен­ ствах (4.14) — (4.15) считать, что г,7 — заданные минимальные рас­ стояния между объектами, а знак этих неравенств изменить на про­ тивоположный. Таким образом, правые части неравенств (4.17), (4.18) порождают следующую систему неравенств:

154

условий принадлежности границ заданной совокупности разме­ щаемых объектов Tt (1 = 1,2,...,/?) границе области Q. Эти условия можно выразить требованием одновременного равенства нулю мини­ мально и максимально допустимых расстояний между объектами Т{ (i = 1, 2, ...,/?) и границей области Q, т. е. равенством р, = 0 (i = = 1, 2, ..., р). Учитывая, что эти условия являются частным случа­

настолько сильной, что нахождение хотя бы одного размещения объек­ тов, удовлетворяющего такой системе, будет сложной задачей. Этот случай нами не рассматривается. Будем полагать, что система ограничений (4.19) — (4.20) не настолько жесткая и ее выполнение не представляет особых вычислительных трудностей.

Решение задачи оптимизации генеральных планов предприятий условно можно разбить на два этапа.

На первом этапе получается возможный вариант размещения объек­ тов строительства методом последовательно-одиночного размещения на базе годографа функции плотного размещения (гл. 1, § 3). Началь­ ная точка размещения задается в виде последовательности из п чисел (перестановки), согласно которой происходит размещение объектов.

На втором этапе методом сужающихся окрестностей формируются новые последовательности из п чисел (перестановки).

Идею реализации годографа функции плотного размещения в методе последовательно-одиночного размещения для получения воз­ можных размещений рассмотрим на следующем простом примере. На рис. 38 изображены два размещенных прямоугольника Тг и Т.г. Пусть размещается третий прямоугольник Т3. Обозначим у31 и у32 — годограф функции плотного размещения третьего размещаемого

155

156

167

объекта относительно первого и второго, размещенных с учетом мини­ мально допустимых расстояний, а Г31 и Г32 — годограф функции плотного размещения с учетом максимально допустимых расстояний. Область abed (показана двойной штриховкой) является областью воз­ можной постановки полюса третьего размещаемого объекта. При этом гарантируется непересечение третьего объекта с первым и вто­ рым, а также выполнение ограничений на минимально и максималь­ но допустимые расстояния. Точка а на рис. 38 является точкой плот­ нейшего расположения трех рассматриваемых объектов. Если в задаче

речь идет о плотной упаковке (а это, как правило, именно так), то естественно из всего множества точек области abed выбрать точку а.

Для 6-го шага последовательно-одиночного размещения рас­ сматриваются все возможные пары пересекающихся областей, огра­ ниченных годографами функций плотного размещения у& и Г** (I =

=1, 2, ..., 6 - 1 ) .

Пусть Ak — множество точек плотной упаковки 6-го размещае­

мого объекта. Тогда из всех точек Ak выбирается подмножество A'k точек, которые не являются внутренними для областей, ограниченных годографами функций плотного размещения у&- (I = 1,2,..., 6 — 1).

Из множества А* выбирается точка, в которой наилучшим образом выполняется архитектурное ограничение (условие 7). Если таких точек более двух, то из них выбирается та, в которой функция цели (4.10) принимает меньшее значение.

Для размещаемых объектов, которые аппроксимируются наборами прямоугольников, годографы функций плотного размещения у// и 1\/, как и в случае размещения прямоугольников, ограничивают области, изображенные на рис. 38. Однако при этом увеличивается информационность задачи и несколько усложняется логика решения. Процедура поиска точек возможного положения полюса очередного размещаемого объекта ничем не отличается от рассмотренной выше.

П р и м е р . Заданы объекты строительства, показанные на рис. 39. В табл. 4.13 приведены минимально (наддиагональные эле­

158

менты) и максимально допустимые (поддиагональные элементы) рас­ стояния между размещаемыми объектами и границей области раз­ мещения. В табл. 4.14 указаны стоимости единицы длины коммуни­ каций, связывающих объекты. Стоимость единицы площади равна

Примечание. В каждом прямоугольнике цифры над диагональю означают пары номеров це­ хов, а под диагональю — удельную стоимость, тыс. р./100 м.

144 тыс. р. Требуется разместить объекты строительства в прямо­ угольной области о соотношением сторон 2 : 1 так, чтобы стоимость генерального плана была наименьшей.

Результат решения задачи на ЭВМ «БЭСМ-6» методом сужа­ ющихся окрестностей показан на рис. 39. Время счета составило около 30 мин.

15»

§7. Плотная упаковка набора параллелепипедов

впараллелепипеде с областями

запрета

Целый ряд задач, возникающих при проектировании и констру­ ировании различных приборов, устройств и строительных объектов, при оптимизации складирования и контейнеризации, а также при решении некоторых экономических задач, сводится к оптимизации размещения различных геометрических тел в заданных областях со всевозможными ограничениями на их местоположение.

Рассмотрим следующую задачу оптимизации размещения гео­ метрических тел [9, 58].

Пусть в параллелепипеде Q о основанием А х В и о заданными в пространстве Q областями запрета Kt ( t= 1 ,2 .......т), имеющими форму параллелепипедов, требуется разместить п параллелепипедов Pt (t = 1, 2, ..., п) заданных размеров так, чтобы высота х занятой части Q была наименьшей. Параметры (размеры и координаты полю­

=1, 2, .... п), Kt (t — 1,2, ..., m) и Q взаимно параллельны. Параллелепипеды Р{ (i — 1, 2.......п), Kt (t = 1, 2, .... т) вло­

жены в первый октант собственных систем координат таким обра­ зом, чтобы одна из вершин параллелепипеда совпадала с началом координат, а ребра, исходящие из этой вершины, совпадали е осями Ох, Оу, Ог, причем величины a, b, h измерялись соответственно вдоль осей Ох, Оу, Ог. Параллелепипед Q размещен аналогично относи­ тельно неподвижной системы координат OXYZ. И, наконец, оси Ох, Оу, Ог подвижных собственных систем координат и соответствую­ щие оси неподвижной системы одинаково направлены.

Будем считать, что полюсы параллелепипедов Рс, Kt и Q совпа­ дают с началом их собственных систем координат. Эго приводит к некоторым упрощениям при программном построении годографа век­ тор-функции плотного размещения [56] двух параллелепипедов.

Математическая постановка задачи выглядит следующим обра­

160