книги / Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей

3. Если р (plt р3) == 0, то все элементы, бывшие, соседними в

перестановке рх, остались соседними и в перестановке р2. Следова­

тельно, ft = Ра-

4. Если при переходе от перестановки рх к перестановке р2 нару­ шается расположение соседних элементов ia и i0 +i, то при обрат­ ном переходе будет нарушено соседство элементов /э«х» и 1ш+и Сле­

словами, если при переходе от перестановки рх к перестановке р3 нарушилось соседство элементов ia и ie+i, то либо их соседство будет нарушено и при переходе к перестановке р2, либо оно будет нарушено при переходе от перестановки р2 к перестановке р3. Отсю­ да следует справедливость неравенства треугольника (2.5) для слу­ чая цепной метрики.

Остановимся далее на моделировании перестановки, лежащей в окрестности заданного радиуса с центром в фиксированной пе­ рестановке.

Пусть задана перестановка р0 £ П и радиус R замкнутой окрест­ ности, т. е. шара. Вследствие сказанного выше в качестве R следует выбирать целое число из интервала 0 < R < л — 1 . Необходимо построить перестановки р £ UR (р0), т. е. лежащие в шаре радиуса R с центром в точке р0. Для этого используется следующий алго­ ритм.

А л г о р и т м 2 .1 .

Ш а г 1. Получить R реализаций случайной величины, которая с равной вероятностью принимает любые целочисленные значения из сегмента И, п + 1 ).

Ша г 2 . Упорядочить полученные реализации по возрастанию,

т.е. построить из них последовательность {/а} такую, что

О< / i < . . . < h < n + 1 .

Ша г 3. Множество элементов перестановки р0 разбить на непересекающиеся подмножества Sa (а = 1,2, ...., R + 1) по следующему

признаку. Элемент, стоящий на r-м месте в перестановке р0, попадает в множество Sa, если /о—i < г < /в. При этом полагают/„ = 0, /я+i =

===н -f- 1 .

Ш а г 4. Моделировать перестановку р* из R + 1 символов и в соответствии с ней разместить множества Sa. В результате будет построена перестановка р, находящаяся от перестановки р0 на рас­ стоянии, не большем чем R в цепной метрике.

Коротко работу этого алгоритма можно описать следующим образом. Случайно выбирается R мест разрезов в исходной пере­ становке р0, а затем разрезанные участки случайным образом состав­ ляются в новую перестановку. Заметим, что построенная перестановка

41

будет лежать от р0 на расстоянии, не большем /?, но не обяза­ тельно в точности на расстоянии R. Дело в том, что разрезанные части перестановки р0 могут соединиться так же, как в исходной перестановке. Кроме того, при получении реализаций случайной величины, указывающих места разреза, могут появиться одинаковые числа.

На языке ФОРТРАН приведем текст программы CHAIN, реа­ лизующей построение перестановок из /^-окрестностей заданной пе­ рестановки в цепной метрике.

СНОВКИ, ЛЕЖАЩЕЙ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАДАННОГО РАДИУСА,

СДЛЯ СЛУЧАЯ ЦЕПНОЙ МЕТРИКИ

С

СОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ:

СN — ЧИСЛО СИМВОЛОВ В ПЕРЕСТАНОВКЕ

СNR — РАДИУС ОКРЕСТНОСТИ

СIBP — ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПЕРЕСТАНОВКА

СI P -ИСКО М А Я ПЕРЕСТАНОВКА

С

СВЫЗЫВАЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ:

СRNDM, PERMUT

С

с********************************************************************

COMMON /INNE/ N /RANE/ NR /MENE/ IBP(300), IP(300) DIMENSION JP(300), KP(300), 10(300)

C

C

С ВЫБОР МЕСТ РАЗРЕЗА ПЕРЕСТАНОВКИ: МАССИВ JP

С

3XS = RNDM (—1) M = XS*N1 + 1 DO 2 J = 1,IJ

IF (M.EQ.JP(J))

—GO TO 3

2CONTINUE

1 JP(1) = M

N2 = NR — 1

IF(JP(J) — JP(I)) 5,4,4

5L = JP(I) JP(I) = JP(J)

JP(J) = L

4 CONTINUE

42

с

с ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ГРУПП: МАССИВ КР

с

КР(1) = JP(1)

DO 6 I = 2,NR

6KP(I) = JP(I) - JP(I - 1) KP(NR + 1) = N - JP(NR)

с

с ВЫБОР ПОРЯДКА СЛЕДОВАНИЯ ГРУПП : МАССИВ 10

с

12 10(1) = IP(I)

С

с ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕСТАНОВКИ IP

с

L = 0

DO 7 I = 1,N К = 10(1)

M = KP(K)

IF (К — 1) 9,9,10

9MM = 0 GO TO 11

10MM = JP(K — 1)

ПD0 8 J = 1,M

RETURN

END

Замечания к программе CHAIN.

1 . В программе используется подпрограмма PERMUT, предна­ значенная для построения произвольной перестановки из заданного числа символов. Ниже следует текст этой подпрограммы на языке ФОРТРАН.

SUBROUTINE PERMUT

С

С********************************************************************

С

СПРОГРАММА ПРЕДНАЗНАЧЕНА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ

СПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЕРЕСТАНОВКИ ИЗ N СИМВОЛОВ

СОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ:

С

СN — ЧИСЛО СИМВОЛОВ В ПЕРЕСТАНОВКЕ

СIP — ПЕРЕСТАНОВКА

С

СВЫЗЫВАЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ:

СRNDM

С********************************************************************

43

COMMON /INNE/ N /MENE/ IBP (300), IP (300)

3IF (IP(J).NE.(3fGOTO 4 IP(J) = I

GO TO 2

4J = J + 1

IF(J.GT.N) J = J - N

GO ТОЗ

2CONTINUE RETURN END

2.Подпрограмма — функция RNDM, которая используется в программах CHAIN и PERMUT, входит в стандартное математи­

ческое обеспечение машины «БЭСМ-6 ». Эта подпрограмма написа­ на на автокоде MADLEN, текст ее содержится в работе [4]. Опера­ тор XS = RNDM (—1) заносит в ячейку XS случайное число из интервала (0,1). Получаемые при этом числа распределены по равномерному закону.

Если программа CHAIN используется на вычислительных маши­ нах серии ЕС, то стандартную подпрограмму RNDM нужно заме-

. нить следующей:

программы RNDM относится не толь­

ко к программе CHAIN, но и ко всем остальным программам, использующим RNDM. 3. О времени работы программы CHAIN можно судить по табл. 2.1. На ЭЦВМ «БЭСМ-6 »

44

построение 1 0 0 перестановок из я символов, лежащих в шаре ради­ уса R, занимает время t секунд.

П р и м е р . Пусть нужно построить перестановку из окрестнос­ ти радиуса 4 с центром в перестановке р0 =* (1 , 2 , 3, 4, 5, 6 ). Допус­ тим, что получены следующие реализации случайной величины из

§ 3. Лексикографическая метрика

Как указывалось выше, пространство П перестановок можно упо­ рядочить с помощью лексикографического отношения порядка. Этот принцип упорядочения можно использовать и для введения мет­

кой р при лексикографическом упорядочении всего множества П. Расстояние между перестановками рг и р2 в лексикографической метрике определяется как | К (pt) — К (р2) |. Вопрос о проверке выполнения аксиом метрики в данном случае фактически не воз­ никает, поскольку множество П с введенной функцией расстояния изометрично множеству натуральных чисел от 1 до я! с обычным

эвклидовым расстоянием.

Перестановка (1 , 2 , 3, 4, ..., я) имеет номер 1 , а перестановка (я, я — 1 , я — 2 , ..., 1) — номер я!. Это крайние случаи. Поэтому максимальное расстояние между двумя перестановками равно я! —

— 1 . Для вычисления функции К (р) для произвольной перестановки введем на множестве П разбиение на классы m-го порядка [15].

я классов 1-го порядка, я (я — 1) классов 2-го порядка и т. д. Раз­ биение на классы имеет следующие свойства.

При любом т разбиение /я-го порядка представляет собой раз­ биение множества П на непересекающиеся классы, т. е. классы т-го порядка представляет собой непересекающиеся множества, объ­ единение которых совпадает с множеством П.

Если / > т , то разбиение /-го порядка представляет собой из­ мельчение разбиения m-го порядка, т. е. при I > т любые переста­ новки из одного класса /-го порядка обязательно входят в один класс m-го порядка.

Все классы одного порядка содержат одинаковое число переста­ новок.

Таким образом, получаем некоторую иерархию классов. Все мно­ жество П, состоящее из я! перестановок, разделилось на я классов

45

1 -го порядка, каждый из которых состоит из (п — 1)1 переста­ новок. В свою очередь, каждый класс 1-го порядка содержит п — 1 классов 2 -го порядка, состоящих из (п — 2 )! перестановок, и т. д. Наконец, имеем п! классов (п — 1)-го порядка, каждый из которых содержит одну перестановку.

Внутри каждого класса т-го порядка классы (т + 1)-го поряд­ ка можно перенумеровать следующим образом. Первым классом (т + 1)-го порядка назовем класс с наименьшим элементом на (т -f-

+1)-м месте; вторым назовем класс со следующим по возрастанию

элементом на (т + 1)-м месте и т. д.

Общая формула для выражения номера перестановки в зависи­ мости от номеров классов различных порядков, в которые входит данная перестановка, имеет следующий вид. Если номера классов m-х порядков в классах ( т — 1)-х порядков обозначить 1т, то но­ мер перестановки в общем ряду п\ перестановок определится следую­

вола в ряду, составленном по возрастанию номеров символов. При этом на каждом шаге классифицированный символ вычеркивается из ряда и оставшиеся символы снова располагаются в порядке воз­ растания номеров для определения следующего номера класса.

Приведем пример, объясняющий использование формулы (2.6).

ряда остается 1, 3, 4, 5. Поэтому l2 = 1, так как 1 находится на пер­ вом месте. Основной ряд на третьем шаге — 3,4,5. Поэтому 1а = 2.

R с центром в фиксированной перестановке р0. А л г о р и т м 2 .2 .

Ша г 1. Определить указанным выше способом номер переста­ новки р0 — число К (Ро).

Ша г 2. Случайным образом выбрать целое число г из сегмента

[1 , 7?] и знак (плюс или минус). Построить номер перестановки р

<К (р) < «I, то перейти к шагу 4; иначе перейти к шагу 2.

Ша г 4. Последовательно определить числа qt (i — 1, 2, ..., п —

— 2 ) по следующим правилам: qx — остаток от деления \К (р) — 1 ]

46

Ш а г 6 . На основании полученной последовательности {/*} по­ строить искомую перестановку р — (/х, /2, .... /„) следующим обра­ зом. Положить t'x — 1\ и вычеркнуть число г\ из последовательности 1 , 2 ....... га. Положить t2 равным числу, стоящему на /2-м месте в полученной «прореженной» последовательности, и вычеркнуть ia из последовательности и т. д. Наконец, положить in равным единст­

i2, is, /4, t8), лежащую в круге радиуса 8 с центром в перестановке

Тогда необходимо построить перестановку р, для которой К (р) —

47

Алгоритм 2.2, заимствованный из [15], может успешно исполь­ зоваться при работе с перестановками из сравнительно небольшого

которое можно записать в одной ячейке памяти на ЭЦВМ «БЭСМ-6 », примерно равно 1019. Пользуясь формулой Стирлинга, можно оценить, что 21! есть величина порядка 1020. Поэтому для машин­ ного представления номеров перестановок из более чем 2 0 символов использования обычных действий арифметики не достаточно.

Чтобы строить перестановки, лежащие в заданном круге, в слу­ чае достаточно большого числа символов (п > 2 0 ) разработан спе­

Тогда номер перестановки при лексикографическом упорядочива­ нии р можно выразить через коэффициенты kd (оо = 1 , 2 , ..., п — 1) следующим образом:

a=I

4В

есть свертка некоторой позиционной записи числа К (р), в которой оо-й разряд имеет вес а!. Такая система счисления названа фактори­ альной [40].

Факториальная система счисления является позиционной, так как действительное значение, представляемое каждой его цифрой, зависит от положения этой цифры внутри числа. При этом вес св-й цифры (считая справа) целого факториального числа равен оо!. Вес же со-й цифры после запятой, разделяющей целую и дробную часть смешанного числа, равен 1 / (<х +- 1.)!. Например, число 4301, 133 мож­ но записать следующим образом: 4 x 4 1 + 3 x 3 1 + 0 x 2 1 + 1 X

X И + 2i + зТ + 4f‘

Очевидно, факториальная система счисления должна быть обес­ печена бесконечным набором различных символов для изображения цифр.

Например, для того чтобы уметь изображать числа вида пГ— 1, необходимо использовать п различных символов. Это, однако, не препятствует успешному использованию факториальной системы. Во-первых, располагая лишь 47 символами русского и латинского алфавитов, можно записать любое число из интервала [0, 10е0]. Вовторых, если допустить, что цифра числа может изображаться на­ бором символов, а не одним символом, то для изображения факто­ риальных цифр удобно было бы использовать десятичные числа и таким образом обойтись теми же десятью символами 0,1, ..., 9. При этом, однако, нужно предусмотреть символ пробела для отделения одних факториальных цифр от других.

В связи с тем, что вес а-го разряда равен а!, в нем не должно быть более чем а единиц первого разряда, так как в противном случае появляется единица переноса в (а + 1)-й разряд. Таким образом, «наибольшее» факториальное число по аналогии а десятичным ...

9999, 999 ... имеет вйд

... И 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1, 1 2 3 4 5 ...

Иногда требуется числа из одной системы счисления переводить в другую. Покажем на примерах приемы перевода целых и дроб­ ных чисел из десятичной системы счисления в факториальную и на­ оборот.

П р и м е р 1. Найти факториальное представление числа 99<ю>. 1 ак как

99:2 есть 4 9 и 1 в остатке,

49:3 есть 1б и 1 в остатке,

50