книги / Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей

превысить допустимое. Величину А выбирают в зависимости от раз­ личных технологических параметров. Часто в качестве величины А выбирают 300 единиц моментных весов. Разброс статических момен­ тов, больший чем 300 единиц моментных весов, характерен для слу­ чая уравновешивания лопаток последних ступеней низкооборотных

турбин. Эти лопатки очень большого размера и изготавливаются о меньшей точностью, чем небольшие лопатки.

При тангенциальной заводке фиксируются места одной или двух так называемых замковых лопаток. Остальные лопатки заводятся в общий паз, выход из которого перекрывается замковыми лопат­ ками.

132

Такой способ установки лопаток может привести к следующим ограничениям. Прежде всего это связано с необходимостью размеще­ ния «замковых» лопаток на строго фиксированных местах. Дело в том, что способ их крепления к диску отличается от крепления дру­ гих лопаток.

Кроме того, места креплений некоторых лопаток могут изготав­ ливаться по завышенным размерам с тем, чтобы после их оконча­ тельной установки можно было производить доводку их размеров по месту. Это делается для получения достаточно плотного располо­ жения лопаток на диске. Эти лопатки должны быть расположены непосредственно перед «замковыми», поскольку, их придется выни­ мать для окончательной обработки.

133

Еще одно возможное ограничение на порядок следования лопаток связано с испытанием турбин. Дело в том, что в процессе испытаний диска турбины выделяется пакет лопаток, на которых устанавлива­ ются датчики. Это пакет необходимо размещать таким образом, чтобы лопатки с датчиками были установлены подряд.

Рассмотрим последовательно, как указанные технологические ограничения отражаются на математической постановке задачи и алгоритме ее решения. Причем будем рассматривать лишь один спо­ соб метризации пространства перестановок — транспозиционную метрику. Это связано с тем, что при построении перестановок из заданных шаров в этой метрике проще всего учесть необходимые ограничения.

Пусть необходимо выдержать условие ограниченности разброса статических моментов соседних лопаток. Тогда задачу 4.2 сформули­

найти перестановку К0, на которой функционал (4.2) принимает минимальное значение.

Для решения этой задачи необходимо в алгоритм, реализующий метод сужающихся окрестностей, внести следующие изменения.

1. После ввода статических моментов лопаток проверить, суще­ ствуют ли такие пары чисел М{ и М,-, для которых \М ( — М/1 > А. Если для любых J и } выполняется условие | М( — М/1 <; А, никаких других модификаций вносить в алгоритм не следует.

2.Если перестановка, задающая порядок следования лопаток, формируется произвольно, то необходимо проверить, выполняется ли для нее условие задачи 4.3.

3.Если перестановка строится путем проведения некоторых трансспозиций, то выполняется следующая проверка. Пусть в перестановке

К= (&i, кг.......k„) меняются местами символы kt и kj. Тогда необ­ ходимо проверить выполнение следующей системы неравенств:

4. Если не выполняются условия задачи 4.3 или система неравенств (4.9), то функционал на соответствующей перестановке не вычисля­ ется, а вместо этого строится новая перестановка.

Наличие замковых лопаток приводит к следующей модификации

134

значения из интервала 1 < а < п. Среди всех перестановок из п символов К = (&i, &2»•••» кп), для которых kia = ia для всех ia £ Л найти перестановку k°, на которой функционал (4.2) принимает ми­ нимальное значение.

Для алгоритмической реализации решения этой задачи необ­ ходимо внести следующие модификации в метод сужающихся окрест­ ностей.

1.При вводе начальной информации указать набор /, т. е. номера

икачество замковых лопаток.

2.Случайный выбор перестановки осуществлять путем проведения

большого числа (п) транспозиций в перестановке (1, 2, 3, ..., п). 3. При проведении транспозиций учитывать, что они не должны

касаться символов, стоящих на местах с номерами из набора /. Выделение пакета лопаток для испытаний можно учесть в еле -

дующей постановке задачи.

Задача 4.5. Пусть заданы q наборов символов

11 == {^1> ^2» • • • » ^/,1» ^2 == {^1» ^*2» ••• 9 ^*/2} * • • • » ^q===

причем символы, входящие в наборы, представляют собой натураль­ ные числа, лежащие на сегменте [1, я], и среди них нет совпадающих. Рассматриваются такие перестановки из п символов k, у которых символы, входящие в любой из наборов / lt / 2, ..., IqJ не перемежают­ ся символами, не входящими в данный набор. Среди этих переста­ новок нужно выбрать такую перестановку /С®, на которой функци­ онал (4.2) принимает минимальное значение.

Для решения задачи 4.6 метод сужающихся окрестностей нужно модифицировать следующим образом.

1. При вводе начальной информации указывать наборы символов

^1* ^2» •••» Iq*

2. Разбить все элементы на группы, каждая из которых состоя­ ла бы из одного из наборов /х, / 2, ...., Iq, или из отдельного символа, не входящего ни в один из наборов. Число таких групп т равно

3.По правилам алгоритма 3.1 построить перестановки, состоя­ щие из т символов.

4.При случайном поиске основная перестановка из п символов строится следующим образом. Порядок следования элементов, при­ надлежащих одному набору, выбирается случайным образом. При выделении лучшей перестановки запоминаются соответствующая перестановка, которая определяет порядок следования групп, и порядки следования элементов внутри отдельных групп.

5.Если поиск ведется в окрестностях метрического пространства перестановок, то и порядок следования символов в наборах /« опре­ деляется аналогичным образом. Именно, пусть в лучшей из

136

рассмотренных перестановок символы набора 1а размещены в порядке

ветствующей метрике. Эти расстояния уменьшаются в соответствии

с общими правилами метода сужающихся окрестностей, причем на­ чальный радиус определяется так же, как для перестановки из символов.

Все указанные модификации в алгоритме 3.1 реализованы в виде комплекса программ, позволяющего получать рекордные порядки следования лопаток с учетом технологических ограничений.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пусть на диске размещаются 96 лопаток, статические моменты

136

которых заданы в табл. 4.8. Число Д выберем равным 400 единицам моментных весов. Для таких исходных данных решается задача 4.3.

Лучший результат получен при следующих предположениях. Закон распределения предполагается логнормальным, радиусы ша-

ров уменьшаются по формуле (3.25). Наименьший суммарный неба­ ланс составил 0,37. Время счета 3 мин 11 с. Если эту задачу решать без ограничения на разброс моментов соседних лопаток, то удается получить суммарный небаланс 0,04. Конструкторы Харьковского турбинного завода им. С. М. Кирова получили размещение с сум­ марным небалансом 1,6.

Рассмотрим далее задачу, в которой на диск турбины устанав­ ливаются 186 лопаток со статическими моментами, указанными в табл. 4.9. При этом лопатки с номерами 185 и 186 являются замко­ выми, лопатки с номерами 76, 177—179, 180—184 должны примы­

137

кать к замковым, а для испытаний нужно объединить в пакет лопат­ ки с номерами 35—43.

Лучшее размещение при соответствующих условиях дает сум­ марный небаланс 0,25. Если отказаться от ограничений, то удается построить такое размещение, для которого суммарный небаланс равен 0,09.

При получении лучшего варианта размещения с ограничениями использовалась гипотеза о логнормальном законе и уменьшение ра­ диуса по числам Фибоначчи. Время решения на ЭЦВМ ЕС-1033 со­ ставило 5 мин 18 с.

Отметим для сравнения, что результат решения этой задачи «вручную» на упомянутом выше турбинном заводе составил 2,4 еди­ ницы моментных весов.

§ 3. Размещение модулей на плате

При проектировании радиоаппаратуры, в задачах складирова­ ния, планировочных задачах и других часто возникает следующий вопрос.

Задан набор модулей (в частном случае представляющих собой равные квадраты) и матрица инцидентности, указывающая коли­ чество связей между парами модулей. Необходимо эти модули раз­ местить в заданном квадрате с минимизацией длины связывающей сети (см. рис. 3). Длина связи между двумя модулями определяет­ ся как произведение числа связей на расстояние между полюсами модулей.

Как полюс может использоваться любая фиксированная точка модуля. Расстояние можно задавать как в эвклидовой, так и вманхеттенской метрике в зависимости от природы задачи. Так, если трассы (пути соединения) можно прокладывать только параллельно сторонам платы, то расстояние между точками A (xlt y j и В (х2, у2) естественно определить как

р(Л, В) = \х1 — х2\ + \у1 — у2\.

Если же трассы могут прокладываться произвольно, то следует поль­ зоваться расстоянием

Pi (А, В) = V(Xi — х2)2 + (У! — y2f .

Модули на плате будем устанавливать, пользуясь следующим правилом. Первый модуль установим в левом нижнем углу платы, второй — над ним и так далее до тех пор, пока первый ряд не будет заполнен. Затем снизу вверх заполняются второй и все последую­ щие вертикальные ряды.

Положим для простоты, что полюса модулей расположены в их левых нижних углах. Предположим также, что ширина s платы в целое число раз больше размера модуля а. Выберем начало коорди­ нат в левом нижнем углу платы. Тогда полюс модуля, устанавливае-

188

емого первым, будет находиться в точке (0, 0), второго — в точке (0, а),.третьего — в точке (0, 2а) и т. д. Обозначим q отношение sfa. Тогда полюс q-го модуля будет расположен в точке (0, (q — 1) а), а полюс (q — 1)-го модуля — в точке (а, 0). Нетрудно видеть, что полюс /-го модуля при указанном алгоритме размещения модулей

деляет их положение на плате. Следовательно, длина связывающей сети является функционалом, заданным на множестве перестановок. Минимизацию этого функционала можно проводить с помощью метода

зей имеет следующий вид (приведены лишь наддиагональные элемен-

130

к лучшей длине сети — 70 единиц, а контрольный расчет по методу Монте—Карло дал результат 305 единиц.

§ 4. Задача Прима о кратчайших связывающих сетях

Как указывалось во введении, известна одна задача о построении кратчайших связывающих сетей, для которой найден алгоритм полу­ чения глобального минимума. Она называется задачей Прима (по имени автора алгоритма). Приведем постановку этой задачи, доволь­ но характерной для планирова­ ния в крупных масштабах сетей связи, транспорта и распределе­ ния, а также изложим методы ее решения [42].

Задача 4.6. Дано множество полюсов (точек в пространстве R2). Требуется связать их сетью прямых звеньев, идущих от по­ люса к полюсу, которая имеет наименьшую суммарную длину (сумму длин звеньев).

Множество полюсов называется связанным тогда и только тогда, когда между любыми двумя полюсами из этого множества существует путь по цепочке звеньев.

Изолированным называется полюс, который на данном этапе построения еще не связан с другими полюсами. На рис. 28 полюса 2, 4 и 9 являются единственными изолированными полюсами.

Фрагментом называется подмножество полюсов, связанное пря­

140