книги / Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей

мыми звеньями, каждое из которых соединяет полюса этого множе­ ства. На рис. 28 подмножества 8—3, 1—6—7—5, 5—6—7 и /—6 — это примеры фрагментов, а подмножества 2—4, 4—8—3, 1—5—7 и / —7 не являются фрагментами.

Изолированным называется, такой фрагмент, который на данном этапе построения не связан с другими полюсами или фрагментами. Изолированными фрагментами на рис. 28 являются подмножества

8—3 » 1—6—7—5.

Ближайшим соседом полюса называется такой полюс, который лежит от данного на расстоянии не большем, чем любой другой полюс.

Расстоянием от полюса до фрагмента, в который данный полюс не входит, называется минимум его расстояния до отдельных полю­ сов, включенных в этот фрагмент.

Ближайшим соседом фрагмента называется полюс, который на­ ходится от данного фрагмента на расстоянии не большем, чем любой другой полюс.

Р. К. Прим сформулировал два основных принципа построения

Например, в незавершенном построении на рис. 28 следующим шагом может быть любой из приведенных ниже:.

1)прибавить звено 9—2 (П1 применен к полюсу 9),

2)прибавить звено 2—9 (П1 применен к полюсу 2),

3)прибавить звено 4—8 (111 применен к полюсу 4),

Приведем две возможные последовательности завершения этого построения: 4—8 (П1), 8—2 (П2), 9—2 (П1) и /—9 (П1) или /—9 (П2), 9—2 (П2), 2—8 (П2) и 8—4 (П2).

Легко видеть, что совместное применение принципов 1 и 2 при­ водит к появлению множества различных способов построения. Число таких способов можно значительно уменьшить, если обратиться к иному методу. В этом методе принцип П1 используется только один раз для получения первого фрагмента. ЗатеС применяя принцип П2, расширяем первый фрагмент до тех пор, пока построение сети не завершится. При использовании такого метода ход построения однозначно определяется выбором первого полюса.

Замечательным и не тривиальным результатом Прима явля­ ется то, что результат построения (длина связывающей сети) не за­ висит от того, с какого полюса его начать. Таким образом, в резуль­ тате п — 1 применения принципов 1 и 2 строится кратчайшая сеть, связывающая п полюсов.

Чожно предложить также способ решения задачи Прима, при котором длина связывающей сети однозначно определяется порядком

141

При этом имеется в виду, что полюса связаны, если существует соединяющий их путь; например полюса / и 5 на рис. 28 связаны.

Нетрудно видеть, что при использовании метода построения, основанного на принципе 3, можно получить глобальный минимум. Действительно, для этого достаточно выбрать такой порядок рас­ смотрения полюсов, при котором каждый раз выбираются изоли­ рованные полюса. При таком подходе задачу Прима можно рассмат­ ривать как задачу минимизации функционала (длины связывающей сети), заданного на множестве перестановок.

Для решения этой задачи можно использовать метод сужающихся окрестностей. Получаемые при этом результаты интересны прежде всего тем, что их можно сравнить с глобальным минимумом, полу­ ченным по алгоритму Прима.

Пусть на плоскости выбраны 50 точек, координаты которых за­ даны в табл. 4.11. Эти координаты получены с помощью датчика случайных чисел. Необходимо построить связывающую эти точки кратчайшую сеть из отрезков прямых без ввода дополнительных полюсов.

Кратчайшая сеть, построенная по алгоритму Прима, показана на рис. 29. Ее длина равна 72 341, а длина связывающей сети, по­ строенной по методу сужающихся окрестностей, — 74981.

142

§5. Задача раскроя ткани.

Влегкой и тяжелой промышленности "существует огромное коли­ чество разных задач раскроя материалов, отличающихся друг от друга целым рядом признаков как в плане их физической постанов­ ки, так и в плане математической формализации и последующих способов решения [54, 561. Практически все задачи, встречающиеся

втяжелой промышленности, возникают в легкой и наоборот. Однако' задачи раскроя материалов в легкой промышленности, в отличие от аналогичных задач в тяжелой промышленности, обладают рядом интересных экономических особенностей. Назовем наиболее зна­

чительные из них. Оказывается, легкая промышленность — одна из самых материалоемких отраслей народного хозяйства. Например,

всебестоимости швейных, трикотажных и обувных изделий доля стоимости материала составляет 85—95%. В то же время отходы

всреднем составляют 10%. Кроме того, если отходы металла после переплавки, хотя и с дополнительными затратами, можно исполь­ зовать снова, то отходы искусственной кожи, ткани, трикотажа, резины и пластмассы практически необратимы. Поэтому рациональ­ ное использование материалов в легкой промышленности особенно важно. Достаточно заметить, что экономия материалов на один про­ цент только на предприятиях Украины обеспечит государству прибыль в десятки миллионов рублей.

Для легкой промышленности очень важно быстрое получение раскройных планов, Дело в том, что часто меняющаяся мода приво­ дит к необходимости выпускать большое количество малых серий различных изделий. Кроме того, ширина материала в рулонах разная. Это значит, что ширина настилов ткани хотя и незначительно, но меняется. Следовательно, для каждой ширины требуется делать свою раскладку лекал или в ущерб экономии материала использовать ту же раскладку, что и в случае наименьшей ширины настила. Поэтому естественен интерес, который вызывают к себе задачи раскроя в легкой промышленности. Применение математических методов и современных ЭВМ при их решении позволяет не только экономить материал, но и существенно уменьшать время получения рациональ­ ной карты раскроя, и автоматизировать в целом такой трудоемкий

процесс, как раскрой.

Рассмотрим одну из задач рационального раскроя, возникающую в трикотажной промышленности [12]. Пусть задан комплект, со­ стоящий из п выкроек. В этот комплект входит р типов выкроек S,

котором размещаются выкройки, представляет собой рулон три­ котажа заданной ширины /. Выкройки заранее ориентированы от­ носительно материала, однако возможен их поворот на 180°. Требо­ вание ориентации обусловлено технологией и эстетикой готовых из­ делий. Выкройки располагаются по одному ряду по ширине ткани,

14а

при этом между рядами выкроек должны предусматриваться сквоз­ ные резы (по ширине материала) (рис. 30). Естественно требование, чтобы размещаемые на ткани выкройки не накладывались друг на друга. Учитывая все требования, предъявляемые к расположению выкроек на ткани, необходимо разместить их так, чтобы отходы материала были минимальными.

Приведем формальную постановку сформулированной задачи. Для этого все п выкроек, входящих в комплект, представим в виде геометрических объектов S/i с па­

Рис. 31.

{} = 1, 2, ..., т{\ i = 1, 2,..., р) может принимать лишь два значения О и я. Рулон материала, на котором требуется расположить выкрой­ ки, геометрически интерпретируем в виде полубесконечной полосы £2 ширины I, расположенной относительно неподвижной системы координат так, как показано на рис. 30.

Поскольку все выкройки изготавливаются с определенной по­ грешностью, в пределах этой погрешности их можно представить в ■виде многоугольников. Это несложно сделать, если контур выкройки с наперед заданной точностью аппроксимировать отрезками прямых, например, методом наименьших квадратов [8]. Представление вы­ кроек в качестве многоугольных объектов существенно упрощает процесс решения задачи и фактически не влияет на точность получае­

полосы Й. Понятно, что функция цели х зависит от всех парамет­

Л.44

где xij — абсцисса точки, принадлежащей объекту Sy, наиболее удаленная от оси ординат.

Это значит, что

нимать значения, равные лишь 0 и л, в действительности функция

размещения объектов, т. е. обеспечивают сквозные резы вдоль шири, ны полосы £2.

Способ решения этой задачи, рассматриваемый ниже, не требу­ ет более подробного представления условий размещения объектов в области. Эти условия выполняются в процессе решения задачи.

Изменим индексацию размещаемых объектов согласно индекса­ ции, принятой для их параметров размещений, т. е. примем Si = = S,i, Sa = Sai, ..., Sa = SmpP. Выберем наугад некоторую по*

следовательность Ilj, состоящую из чисел 1, 2, ..., л. Согласно этой последовательности сформируем размещение объектов S,(i = 1, 2,...

...» л) на полосе следующим образом. В соответствии с номерами по­ следовательности построим первый ряд так, чтобы в нем однорядно [54] разместилось по ширине / наибольшее количество объектов, ко­ торое бы обеспечило наименьшую ширину аг прямоугольной области

145

Pj длины l. При этом а, = max ^ht л j + ht jj , где ht(0) —

опорная функция объекта S t (понятно, что «просматриваются» только значения /, которым соответствуют объекты, размещенные в обла­ сти Рг). Если в области Рг все объекты (i = 1, 2, п) не размес­ тились, то так же, как и область Pf, из неразместившихся объектов формируется область Р2 согласно оставшейся части последователь-

o'

I

I

I

I

ности Пх. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не сформируем область Ph в которой разместятся оставшиеся объекты. Если теперь

все прямоугольные области Pt (i = 1, 2, t) «склеить» друг с дру- t

гом, то получим прямоугольник Р1со сторонами / X а, где а = £ at i—1

(рис. 32). Очевидно, что полученные таким образом размещения объектов соответствуют локальным экстремумам функции цели к.

Последовательности номеров объектов, размещенных в области Pv и сформированной из номеров объектов, размещенных в области Р, и выбранных по порядку снизу вверх, затем размещенных в об­ ласти Р? и выбранных по порядку снизу вверх и т. д., соответствует последовательность чисел Пх. Понятно, что в общем случае после­ довательности чисел, отличной от Пх, будет соответствовать прямо­ угольная область ширины I, но иной длины. Таким образом, ока­ зывается, что каждому локальному экстремуму функции цели и со­ ответствует вполне определенная перестановка из п чисел и, наоборот, всякой перестановке из п чисел однозначно соответствует вполне определенный экстремум. Иными словами, поставленная здесь задача является типичной задачей оптимизации функционала на множе­ стве перестановок. Поскольку задача поиска максимального коли­ чества объектов, многорядно размещаемых в полосе конечной длины, является довольно громоздкой и требует значительных интеллекту-

146

альных и вычислительных затрат при негарантированном существен­ ном выигрыше, предлагается ограничиться определением рацио­ нального значения функции цели х.

Минимизацию функции х на области G условно можно предста­ вить в виде следующих трех этапов.

На первом этапе формируются четыре матрицы Ак (k = 1,2, 3, 4) расстояний между полюсами каждой пары плотно расположенных

объектов Si и Sj разных типов при условии, что параметры разме­ щений Xi и Xj равны. Напомним, что полюс каждого многоугольного объекта выбран в его самой левой вершине. Если объект поворачи­ ваем на 180°, то полюс его при этом переносим в самую левую вер­ шину контура. Количество формируемых матриц определяется тем, что для каждой пары объектов S{ и 5/ различных типов возможны лишь четыре варианта взаимной ориентации:

1)объекты Si и Sj имеют некоторую начальную ориентацию;

2)объект Si имеет начальную ориентацию, а объект S/ повернут

на 180°;

3)объект S( повернут на 180°, а объект Sj имеет начальную ори­ ентацию;

4)объекты Sf и 5/ повернуты на 180°.

Каждый элемент a/j (ij — 1, 2, ..., р) матрицы Ak (k = 1, 2,3, 4) определяем следующим образом. На первом этапе строим годограф вектор-функции плотного размещения объектов St и S,- (1, 2, 51 при их к й ориентации. Перемещаем полюс объекта S/ по годографу век­ тор-функции плотного размещения до тех пор, пока значение па­ раметра Xj не станет равным xt, и при этом будет выполняться

неравенство yt > yt (рис. 33). Тогда элемент а* определяется как раз­

...,п). Это размещение осуществляется в соответствии с методом после­ довательно-одиночного размещения объектов (гл. 1, §3). Реализа­ ция этого метода заключается в выполнении следующих вычисли­

положив, что полюс Ог, объекта Sr, лежит на стороне ширины I поло­ сы £2 (напомним, что полюса всех объектов находятся в самых ле­ вых точках контуров). Если потребовать, чтобы полюс Ог, объекта Sr, лежал на стороне длины I полосы й, то взаимное положение вы­ кроек 5г,и Sr, будет определяться четырьмя вариантами их взаимной

Очевидно, что при l\ < / объекты Sr, и Sr, по ширине / полосы й разместились. Считая объекты Sr, и Sr, неподвижными относитель­ но друг друга, размещаем объект Sr„ требуя, чтобы его полюс лежал тоже на стороне I полосы Й. Из всех возможных положений объекта Sr, выбираем такое, которому соответствует значение

dr,г ,— значение, соответствующее l\.

Ясно, что при /? < / объекты Sr„ Sr, и Sr, размещаются по ширине I полосы й. Такой процесс продолжаем до тех пор, пока

148

D

в

Рис. 34.

ре-окажется, что /{ > I. Затем, воспользовавшись таблицей величин if одределяем

ной рез. Оставшиеся объекты размещаем так же, как и предыдущие.

мещение объектов. Оно заключалось в том, чтобы полюса объектов, размещенных между двумя соседними сквозными резами, распола­ гались на одной линии, которая совпадает с левым резом.

14»

Третий этап решения задачи" заключается в генерации последо­ вательностей {rt). Такая генерация осуществляется методом сужа­ ющихся окрестностей.

рис. 34, б, 3 лекала типа, показанного на рис. 34, в и 14 лекал типа,

5

----

4570

Рис. 35.

показанного на рис. 34, г). Эти лекала с учетом сквозных резов тре­ буется разместить на материале каждой ширины так, чтобы длина занятой части полосы была наименьшей.

В табл. 4.12 приведены лучшие значения длины занятой части для каждой из полос. Лучшее размещение для полосы шириной 1340 мм показано на рис. 35. Время счета для каждого варианта ши­ рины на ЭЦВМ «БЭСМ-6» составило около 5 с.

§ 6. Задача компоновки генеральных планов предприятий

При проектировании любых объектов промышленного строи­ тельства возникает задача автоматизации и оптимизации составления их генеральных планов [7, 34, 37].

Проектирование крупных промышленных предприятий, как правило, состоит из двух основных этапов. Вначале реализуется так называемая предпроектная стадия, или технико-экономическое обос­ нование, а затем осуществляется рабочее проектирование. Хотя технико-экономическое обоснование считается предпроектной ста­ дией, требования, предъявляемые к результатам этого этапа, позво­ ляют считать его весьма важным. Эти требования в основном сво­ дятся к следующему: технико-экономическое обоснование должно содержать обоснованную оценку затрат на строительство промыш­ ленного объекта, сроков строительства, влияния объекта на окружа­ ющую среду и др.

Особенно жесткими являются требования к оценке экономиче­ ских показателей. С одной стороны, эти показатели должны опреде­ ляться современным уровнем строительства и архитектуры с учетом наиболее перспективных методов проектирования, позволяющих

150