книги / Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей

2INB(I) = К

С. ПОСТРОЕНИЕ ИНДЕКСА ИСКОМОЙ

СПЕРЕСТАНОВКИ: МАССИВ IND

RETURN

END

Замечания к программе INVERS.

1 . По поводу подпрограммы RNDM см. с. 4 4 .

'% При построении перестановок часто возникают ситуации, когда нужно несколько раз подряд выбирать перестановки из од­

61

Таким неравенствам удовлетворяет, например, индекс / = {3, 1, 2, 0). Этому индексу соответствует перестановка р = (4, 2, 5, 1, 3). Легко подсчитать, что р (р, р0) = 4, поскольку инверсии в переста­ новке р относительно перестановки р0 образуют следующие пары элементов: (4, 2), (4, 5), (4, 1) и (2, 5).

§ 6. Транспозиционная метрика

Эта метрика была введена в работе [23].

Расстояние р (рх, ра) между перестановками рг и р2 определяется как наименьшее возможное число транспозиций, которое необходимо для перехода от перестановки р, к перестановке р2.

новки ко второй необходимо проделать две транспозиции: (1 <-> 3) и ( 2 «->4).

Заметим, что вычисление расстояния между произвольными перестановками из п символов в транспозиционной метрике представ­ ляет собой достаточно сложную задачу. Нам не известен алгоритм решения этой задачи. Это, однако, не вызывает каких-либо затруд­ нений при использовании транспозиционной метрики для решения задач минимизации, поскольку требуется построение перестано­ вок; лежащих не на сфере, а в шаре данного радиуса.

Расстояние между двумя перестановками из п символов в транс­ позиционной метрике не превышает п — 1. Дело в том, что п — 1

62

транспозиций достаточно для перехода от любой перестановки А £ П к любой другой перестановке р2 £ П.

Докажем это утверждение с помощью метода математической индукции. Индукцию проводим по числу символов в перестановках. Очевидно, что при п — 2 , т. е. для перестановок из двух символов для перехода от одной перестановки к другой достаточно п — 1 = = 1 транспозиции. В этом случае множество П состоит из двух перестановок (1, 2) и (2 , 1 ). Предположим, что утверждение верно

Если ik+i = jk+u то эти символы не нужно транспортировать ик вследствие предположения индукции, переход от рг к р2 можно осу­ ществить за k — 1 транспозиций. Если же 4+i ф /*+ь то может до­ бавиться лишь одна транспозиция. Значит, в пространстве переста­ новок из k -f 1 символов переход от одной точки к другой можноосуществить, использовав лишь k транспозиций. Утверждение до­ казано.

Проверим выполнение аксиом расстояния для транспозицион­ ной метрики. Условие (2 .1 ) очевидно. Утверждения (2 .2 ) и (2 .3 ) вытекают из того, что отсутствие транспозиций означает неизменяе­ мость перестановки. Условие (2.4) справедливо потому, что если при переходе от перестановки р, к перестановке р2 проводилась. транспозиция символов i и /, то такую же транспозицию в обратном порядке необходимо провести для перехода от р2 к pv При переходеот р2 к Ру нельзя уменьшить число транспозиций, так как в против­ ном случае можно было бы уменьшить и число транспозиций, не­ обходимых для перехода от pj к р2.

Справедливость неравенства треугольника (2.5) устанавли­ вается следующим рассуждением. Сумму р (рг, р2) + р (р2, р3) мож­ но рассматривать как число транспозиций, с помощью которых o r перестановки рг можно перейти к перестановке р3. При этом переста­ новка р2 является промежуточным этапом. Между тем р (ру, р3) —

Ша г 1 . Положить k — 1, а перестановку р — равной переста­ новке р0.

Ша г 2. Случайным образом выбрать два целых числа Z и / изсегмента [1 , п]. В перестановке р поменять местами элементы, стоя­ щие на местах G номерами I и /. Полученную перестановку обо­ значить р.

63-

Ш а г 3. Положить k = k -f- 1. Нели k < R, перейти к шагу 2; иначе остановиться.

СПРОГРАММА ПРЕДНАЗНАЧЕНА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕСТАНОВ-

СКИ, ЛЕЖАЩЕЙ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАДАННОГО РАДИУСА,

СДЛЯ СЛУЧАЯ ТРАНСПОЗИЦИОННОЙ МЕТРИКИ

С

СОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ:

С

СN — ЧИСЛО СИМВОЛОВ В ПЕРЕСТАНОВКЕ

СNR — РАДИУС ОКРЕСТНОСТИ

С IBP - ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПЕРЕСТАНОВКА

СIP — ИСКОМАЯ ПЕРЕСТАНОВКА

СВЫЗЫВАЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ:

СRNDM

С

с**********************************************************************

с

COMMON /INNE/ N /RANE/ NR /MENE/ IBP(300), IP(300) DO 1 K = 1,N

1IP(K) = IBP(K) DO 2 1 = 1,NR

4J = IP(J1) IP(J1) = IP(J2)

2IP(J2) - J RETURN END

64

т, которое представляет собой последовательную запись символов iv i....... in без разделительных знаков.

П р и м е р . Перестановке (3, 2, 1, 4, 5) ставится в соответствие число 32 145, а перестановке (11, 8, 3, 2, 1, 4, 5, 6, 10, 9, 7) — число 1 183214561097.

Расстоянием между перестановками рх и р2 в численной метрике

рять аксиомы метрики введенной функции расстояния.

Если число п символов в перестановке больше девяти, то на опре­ деление расстояния в численной метрике оказывает влияние то. обстоятельство, что используется десятичная система счисления. Было бы интересно рассмотреть аналогичную метрику при условии, что символы, входящие в перестановку, записаны «цифрами» системы счисления с основанием п.

Численная метрика в алгоритмах оптимизации не используем ся и приводится здесь лишь как один из возможных примеров. Это же относится и к приводимым ниже метрикам.

Произвольную перестановку из п символов можно рассматривать

Тогда множество перестановок будет подмножеством «-мерного

эвклидова пространства Rn.

Иными возможными способами определения расстояния между перестановками р и q являются:

Рх (Р, Я) — шах | /« — /«(,

п

Рг ( Р у Я) — 5 I *а /ос |i

а—1

/п

и s = 1 совпадает с метриками р и р2 соответственно.

Поскольку множество перестановок из п символов при таких способах метризации является подмножеством известных метриче­ ских пространств, не нужно проверять выполнение аксиом метрики.

П р и м е р . Рассмотрим перестановки р = (2, 3, 5, 6, 1, 4) и q = (1, 3, 5, 2, 4, 6). Расстояние между ними в различных метри­

§8. Сравнение различных метрик

впространстве перестановок

В проведенных исследованиях используется пять различных

ный и транспозиционный. Системы окрестностей, которые образуют­

Поясним сказанное. Символы, используемые в перестановке, яв­ ляются «названиями» каких-то реальных объектов. Пусть имеем два порядка следования объектов и два различных способа началь­ ной нумерации объектов (присвоения им «названий»). В__цепной, алфавитной, инверсной и транспозиционной метриках расстояниё между перестановками не зависит от того, каким образом про^бДйГ лась такая зависимость может существовать.

- - П р и м е р. Пусть заданы объекты А, В,~С^ D, Е и F. Рассмат­ ривается два способа нумерации объектов. При первом способе А -*■

= (1, 2, 3, 4, 5, 6), а порядку / 2 — перестановка р2 — (5,1, 6, 4,3,2).

66

Рис. 15.

Для рассмотренного примера приведем графическую интерпрета­ цию единичных окрестностей в пространствах перестановок с различ­ ными метриками. Представим все множество перестановок из пяти символов, состоящее из 120 элементов, точками отрезка длиной 120 единиц. Каждой перестановке на рис. 15 соответствует ее номер

Таблица 2.6

при лексикографическом упорядочении. Кружочками помечены

«БЭСМ-6» для построения 100 перестановок из п символов, лежащих в шаре радиуса R, в зависимости от выбора метризации.

68

S, называемая пермутоэдроном («permutohedron» — от английского слова «permutation» — перестановка).

В статье [761 предлагается метод определения вершин пермутоэдрона, смежных с данной вершиной, а также метод алгебраи­

структуры на одном из них обеспечивает появление такой структуры на другом.

Множество Q представим в виде, показанном на рис. 16. Суммой перестановок pt и р/ назовем такую перестановку plt

для которой

(mod N).

Иными словами, суммой перестановок рг и р2 называется такая пе­

70