книги / Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей

52

СДВУХ ФАКТОРИАЛЬНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ

СЧИСЕЛ

63

C**********************************************************************

СПОДПРОГРАММА FIPP ПРЕДНАЗНАЧЕНА ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ

СПЕРЕСТАНОВКИ ПО ЕЕ НОМЕРУ В ЦЕПИ ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИ

СУПОРЯДОЧЕННЫХ ПЕРЕСТАНОВОК

С

с *********************************************************************

СПАРАМЕТРЫ ПОДПРОГРАММЫ:

С IPP — ВЕКТОР ДЛИНОЙ N, СОДЕРЖАЩИЙ СФОРМИРОВАННУЮ

СПЕРЕСТАНОВКУ;

С IPL — ВЕКТОР ДЛИНОЙ N, СОДЕРЖАЩИЙ ЦИФРЫ ФАКТОРИ-

САЛЬНОГО НОМЕРА ПЕРЕСТАНОВКИ

СN — ДЛИНА ВЕКТОРА.

С

с*********************************************************************

COMMON /INNE/ N /FLEX/ IPL(300) /MENE/ IP(300), *IPP(300)

DIMENSION 11(300)

DO 4 1 = 1, N

4IPL(I) = IPL(I) + 1 NOB = N

64

2N1 = N1 — 1 RETURN END

Замечания к программе LEX ICO.

1.Подпрограмма RNDM описана на стр. 44.

2.Время работы программы LEXICO характеризуется в табл. 2,2, где п — количество символов в перестановке, R — радиус окрес­

Ш а г 3. Для всех Р = 1, 2, ..., п — ka — а положить tfta+p =

Ша г 4. Положить со = со + 1.

Ша г 5. Если оо < п — 1, то перейти к шагу 2.

Ша г 6 . Положить in = t?.

=7. Необходимо построить перестановку рГ. предшествующую р0,

иперестановку p t, следующую за р0. Факториальный номер переста­ новки р0 есть k (р1)«|> = (1, 1, 0, 0). Десятичное число 7 в факто­ риальной системе счисления равно (1 0 1). Далее

К(pt)<\> *= (1 , 1 , 0 , 0 ) + (0 , 1 , 0 , 1) = (1 , 2 , 0 , 1),

К(рТ)<ь = (1 , 1 , 0 , 0 ) — (0 , 1 , 0 , 1) = (0 , 3, 2 , 1).

Восстанавливая с помощью алгоритма 2.3 перестановки p t и рГ,

55

Расстоянием p (p^ p2) между этими перестановками назовем число п — s. Если элементы на всех местах совпадают, то расстояние между перестановками полагают равным нулю.

П р и м е р 1. Расстояние между перестановками (1, 2, 3, 4, 5, 6 ) и (1, 2, 3, 6 ,5, 4) в алфавитной метрике равно двум, а между пере­ становками (1, 5, 4, 3, 2, 6 ) и (2, 5, 4, 3, 1,6) — пяти.

Очевидно, что максимальное расстояние между двумя переста­ новками равно п — 1 .

Проверим выполнение свойств расстояния. Условия (2 .1 ) — (2.3), очевидно выполняются. Условие (2.4) справедливо вследствие сим­ метрии отношения равенства. Наконец, неравенство треугольника (2.5) вытекает из следующего очевидного соотношения:

с алфавитной метрикой все треугольники являются «равнобедрен­ ными».

Опишем алгоритм построения перестановки р, лежащей в ок­ рестности радиуса R с центром в перестановке р0— (»х, t2, ..., in). Здесь Я — целое число из сегмента [1, п — 1 ].

А л г о р и т м 2.5.

Ш а г 1 . Случайным образом выбрать целое число г из сегмента

вить без изменений, а остальные символы разместить в порядке, который определяется перестановкой р'. Полученная перестановка и будет искомой.

Этот__алгоритм реализован в виде программы ALPHAB. Приво­ дим ее фортранный текст.

SUBROUTINE ALPHAB

8 ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ:

бв

с

СN — ЧИСЛО СИМВОЛОВ В ПЕРЕСТАНОВКЕ

СNR — РАДИУС ОКРЕСТНОСТИ

СIBP — ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПЕРЕСТАНОВКА

СIP — ИСКОМАЯ ПЕРЕСТАНОВКА

С

СВЫЗЫВАЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ:

СRNDM, PERMUT

С

с *********************************************************************

с

COMMON /INNE/ N /RANE/ NR /MENE/ IBP(300), IP(300) DIMENSION 10(300)

CALL PERMUT

DO 3 1 = 1,N 1 10(1) = IP(I)

IN =* NN — N N = NN

DO 1 1 = 1,IN

1IP(I) = IBP(I) IK = IN + 1

становками рх и Ра число всех инверсий перестановки р2 относитель­ но перестановки рх.

67

Рассмотрим в качестве примера перестановки (1, 2 , 3, 4, 5) и (3, 4, 5, 1» 2). Во второй перестановке относительно первой инвер­ сии образуют следующие пары элементов: (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3),

(2, 4) и (2 , 5). Поэтому расстояние между этими перестановками равно шести.

Нетрудно видеть, что максимальное возможное число инверсий равно п (п — 1)/2 .

Покажем, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксио­

3.Отсутствие инверсий между двумя перестановками означает, что эти перестановки совпадают. Значит, условие (2,3) выполняется.

4.Если t'a = /р, t'v = /б, то элементы ia и iv образуют инверсию относительно перестановки р2 тогда и только тогда, когда /р и /в образуют инверсию относительно перестановки р1. Следовательно, выполняется условие (2.4).

iv образует инверсию относительно перестановки р3, то она образует инверсию относительно перестановки р2 или пара /р, /б образует ин­ версию относительно перестановки р3.Значит, каждой инверсии пере­ становки Pi относительно перестановки р3 соответствует инверсия этих же элементов относительно перестановки р2 или (и) их инверсия в перестановке р2 относительно перестановки /~3. Отсюда вытекает неравенство (2.5).

Для описания алгоритма построения перестановок, лежащих

вкруге данного радиуса, потребовалось ввести некоторые понятия

[15].Установим взаимно однозначное соответствие между всеми перестановками из п символов р = (iv i2, ..., i„) и целочисленными

векторами вида {ах, а2,..., ап—\}, где 0 < аа < я — а (а = 1 , 2 ,...

•..., п — 1.) Соответствие строится следующим образом. Число аа рав­ но количеству инверсий, которое символ ia образует с последую­ щими символами перестановки р. При этом имеются в виду инвер­ сии, которые образуются в перестановке р по отношению к переста­ новке р* = (1, 2, 3,..., п — 1, п). Так, перестановке (5, 6 , 4, 1, 2, 3) соответствует индекс 4, 4, 3, 0 , 0 . Обратное соответствие устанавли­ вается с помощью следующего алгоритма, который служит для пост­ роения перестановки по ее индексу.

А л г о р и т м 2 .6 .

Ш а г 1 . Положить /х = % + 1. В ряду чисел 1, 2, ..., п зачерк­ нуть число it. Полученную последовательность 1, ..., ix — 1, »х +

+1, ..., п обозначить Ах.

Ша г 2. Положить i2 равным (а2 -f- 1)-му по счету элементу по­ следовательности Аг. Из последовательности Ах вычеркнуть число

i2 и полученную последовательность назвать А2.

Это название связано .с тем, что перестановке ^соответствует ин­ декс I* = {0 , 0 , .... 0 }. Предложенное в работе [15J название нуль пространства перестановок для перестановки р* представляется не совсем точным, поскольку линеаризация пространства переста­ новок не проводится, а говорить о нулевых точках принято Лишь в линейных пространствах.

Легко видеть, что расстояние между нулевой перестановкой р* и произвольной перестановкой р, которой соответствует индекс I = {ах, а2........a„_i}, можно вычислить по формуле

Р (Р*. Р) = £ «а-

Вследствие неравенства треугольника

Р (Р, Ро) < Р (Р> Р*) + Р (Ро. Р*)-

Если расстояние между перестановками р0 и р* известно и равно г0, то для построения перестановок р, которые лежат от перестановки р0 не дальше чем на расстоянии г, достаточно построить перестанов­ ки, отстоящие от нулевой перестановки р* не более чем на г — г0. На этом соображении основан следующий алгоритм для построения перестановок р, лежащих внутри круга радиуса R с центром в пере­ становке р0.

69

Алгоритм 2.7.

Ш а г 1. Определить индекс 10 = { а ь а , , ..., dn-i) перестанов­ ки р0.

Ш а г 2. Вычислить г0 = р (/?„, р*) по формуле

П—1

Го = S О а«

<х=1

Ш а г 3. С помощью датчика случайных чисел построить после­ довательность целых чисел {blt Ь2>...» Ъа-1}, обладающих следующи­ ми двумя свойствами:

/2— 1

SЬа ^ R — 'о *

а= 1

О< Ьа < п — а.

Ша г 4. Интерпретировать последовательность чисел {&lt ft2* — &«_i} как индекс перестановки р и восстановить по индексу пере­

становку.

Приведенный алгоритм проще алгоритма из работы [15]. Алго­ ритм 2.7 реализован в виде программы INVERS. Приводим ее фортранный текст.

во