книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек
..pdfРешение бифуркационных задач длительнойустойчивости 191
[ш (лЕ -а)]Г |
(ш+1) |
(9.3.23) |
А<Л |
||
(в+1) |
|
Здесь к г = const, зависящая только от исходных данных. Как отмечалось, значение оэ=т1Е — Эйлерово напряжение. Так как рассматриваются условия (9.3.10), то можно интересоваться
только диапазоном напряжений а <аэ (при т =сэ |
находимся в |
||
особой точке (9.3.9)) |
|
|
|
Записываем окончательно для р: |
|
||
|
j^m+D |
|
|
р- |
' 1п|1—т| |
(9.3.21) |
|
кг |
|||
|
|
Характерное время, соответствующее особой точке с усло вием (9.3.10), должно определяться из равенства Р, определяе мого из (9.3.21), и р*=Р7Ро*. Очевидно, что для Р* справедливо соотношение
р'=—т—- г - - |
(9.3.22) |
1+(кгОт
Учитывая (9.3.21), получим уравнение для определения времени т*, при котором возможно неединственное продолже ние процесса согласно (9.3.10)
п |
|
1-т* |
(9.3.23) |
— 1 = / ■- v ; . |
кг J 1+(кг1)т
Проиллюстрируем полученный результат графически. Верти кальная ось соответствует безразмерным нормированным значе ниям р и р* (рис.81). Тогда решение (9.3.23) можно Получить графиче ски, как пересечение графиков ле вой и правой части (9.3.23). На
рис.81 нанесены кривые pi, pi* и рг, рг* для двух разных материалов, ко торым соответствуют различные системы значений коэффициентов модели материала (9.3.1), входящих в ki и кг. Проекции точек пересече ния на ось времени дают точки T*I и т*г, соответствующие значениям т*,
192 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости
при которых возможно неединственное продолжение процесса, согласно (9.3.10).
9.4. Решение бифуркационных задач длительной устойчивости процесса деформирования упруго-пластических элементов конструкций
Известно, что наведенная неоднородность, развивающая ся с течением времени, может сочетаться с деформационной не однородностью при нагружении, обусловленной свойствами пластичности. В этом случае имеет место проблема устойчивости в упруго-пластической области.
Начало развития теории продольного изгиба за пределом упругости связано с трудами ФЭнгессера, Ф .СЯсинского и Т.Кармана. С тех пор "теория приведенного модуля" нашла ши рокое применение в исследовании устойчивости многих конст рукций и вошла в научную и учебную литературу. Однако до последнего времени продолжается дискуссия в этой области. Наряду с "теорией приведенного модуля", отвечающей кон цепции Энгессера-KapiMaHa, получила развитие "касательно модульная теория", начало которой положено в статьях Ф.Р.Шенли, а детальное обоснование дано в работах В.Д.Клюшникова.
Однако, независимо от принятой концепции, здесь, при решении задач устойчивости за пределом упругости, предпола гается, что свойства материала, в частности характер диаграм мы деформирования, остаются неизменными при любом уровне нагружения в любой момент времени. Учет деградации физико механических свойств нагруженного материала с течением вре мени ставит проблему устойчивости в условиях развития наве денной неоднородности материала.
Таким образом, с позиций этих двух концепций имеют место два значения критической нагрузки: Рк^ - критическая нагрузка Энгессера-Кармана; Рш^ - критическая нагрузка Шенли. Различие между ними обычно невелико, что, в извест ной мере, снимает остроту соперничества этих двух концепций с
практической точки зрения. |
, |
Теоретически оба этих значения критической нагрузки |
|
дают точку бифуркации исходного решения. |
Однако, если от- |
Решение бифуркационных задач длительной устойчивости 193
ветвляющееея решение, соответствующее концепции ЭнгессераКармана, отходит от исходного решения под прямым углом, то ответвляющееся из точки бифуркации решение Шенли не име ет такого ограничения.
Оценка длительной устойчивости конструкций в условиях развития наведенной неоднородности материала с позиций этих концепций даст также различные значения критического време ни потери устойчивости. Их расхождение по величине может быть весьма значительным, так как это связано с изменяющейся в широких пределах скоростью протекания процесса деградации физико-механических свойств материала в условиях агрессивных воздействий внешней среды.
Более того, рассматривая процесс деградации физикомехани'ческих свойств материала и процесс. деформирования конструкции, при оценке ее долговечности, как единый процесс во времени, необходимо изучение его непрерывного развития, в том числе и в послебифуркационные моменты времени, что при
водит |
к необходимости |
построения ответвляющихся из точек |
||||||
• бифуркаций реш ений. |
|
|
|
|
||||
|
Рассмотрим в |
качестве приме |
|
|||||
ра упруго-пластический продольный |
| р |
|||||||
изгиб |
идеализированной стойки |
с |
|
|||||
учетом развития |
во |
времени наве |
|
|||||
денной |
неоднородности |
материала |
|
|||||
опорных стержней (рис.82). |
|
|
1 |
|||||
|
Идеализированные |
|
системы |
|||||
|
|
|
||||||
позволяют с максимальной |
просто |
|
||||||
той |
и наглядностью получить реше |
|
||||||
ние, |
являющееся предельным по от |
|
||||||
ношению к решениям |
неидеализи |
|
||||||
рованных схем. В той мере, в |
ко |
|
||||||
торой это необходимо для простоты |
|
|||||||
качественного анализа, |
идеализиру |
Рис.82 |
||||||
ется также и процесс деградации фи |
|
|||||||
зико-механических свойств материала в |
условиях развития на |
|||||||
веденной неоднородности. |
Исходная диаграмма деформирова |
|||||||
ния материала опорных |
стержней изображена на рис. 83. |
|||||||
|
Это - билинейная аппроксимация диаграммы деформиро |
|||||||
вания с линейным |
упрочнением. |
Потеря |
устойчивости за пре |
|||||
делом упругости |
происходит при напряжениях, соответствую- |
194 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости
щих второму участку диаграммы. В дальнейшем предполагается, что деградация физико-механических свойств материала во вре мени t приводит к изменению параметров диаграммы дефор мирования, то есть Ес и Ек являются зависимыми от t (или от функций деградации).
В пределах упругости устойчивость стойки определяется Эйлеровой критической силой
|
= |
. |
(9.4.1) |
|
Теория приведенного |
моду |
|
|
ля дает следующее |
выражение |
|
|
для приведенного модуля Еп : |
||
|
Еп = |
|
•(9.4.2) |
|
1+Ек/Ео |
|
|
|
С учетом (9.4.2) критическая |
||
|
сила Энгессера-Кармана |
|
|
E*P |
EkFb2 |
|
(9.4.3) |
|
|
|
“2al(l + Ек/Ео)
Для получения критической силы.по концепции Шенли,дос таточно вместо модуля упругости Ео в выражении (9.4.1) писать касательный модуль Ек:
r K P-B,Fb; |
(9.4.4) |
|
V k ~ Ы |
||
|
Различие критических нагрузок (9.4.3) и (9.4.4) связано, как известно, с существенно различными предположениями, принятыми при их получении. Так, согласно концепции Энгес сера-Кармана, переход стойки из исходного состояния равнове сия в возмущенное происходит при неизменной продольной силе. По концепции Шенли, боковые возмущения происходят в про цессе возрастания продольной силы.
Решение бифуркационных задач длительной устойчивости 195
В условиях развития наведенной неоднородности свойств материала во времени действующая на стержень нагрузка Рф ос тается постоянной, ее величина в начальный момент времени должна быть меньше критического значения Ркр . Критическая нагрузка в этом случае зависит от времени Ркр ( t ) . Деградация физико-механических свойств материала приводит к снижению жесткосгных свойств конструкций. Устойчивость стержня теря ется спустя некоторый период времени Ц> , определяемый как критическое время потери устойчивости из условия Рф = Ркр (1щ>).
Для иллюстрации различных подходов к определению кри тического времени потери устойчивости воспользуемся упро щенной моделью стойки, изображенной на рис.82. Условие не изменной продольной силы при переходе стойки в возмущенное состояние равновесия, по концепции Энгессера-Кармана, пере ходит, в данном случае, в условие постоянства физико механических свойств материала. Следствием этого является ус ловие для определения tK-p в форме
Ek(tKp)Fb2
(9.4.5)
2al(l + Ek(tKp)/Eo)
В соответствии с концепцией устойчивости Шенли пере ход стержня в возмущенное состояние при постоянной продоль ной силе происходит, в процессе возрастания степени деграда ции физико-механических свойств материала. Это позволяет оп ределить "наиранний" момент времени, после которого воз можна реализация возмущенного со стояния. Рассмотрим возмущенное состояние стойки при возрастании степени деградации физико механических свойств материала (рис.84.).
Н а рис.84. рассмотрены четыре состояния системы. Состояние систе мы в данном случае идентифицируем положением опорных точек нижнего конца стойки (mi, nj). Первое из них (пи, ni) относится к случаю, когда внешняя нагрузка на стойку отсутст вует.
196 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости
Второе (m2, П2> в рассматриваемый момент времени соот ветствует заданному уровню нагружения стойки силой Рф , меньшей, чем критическая нагрузка,и определенной степени де градации физико-механических свойств материала, произошед шей за предшествующие моменты времени. Допустим, что при Р- = Рф в процессе деградации физико-механических свойств мате риала опорных стержней стойки отклоненные состояния рав новесия становятся возможными, начиная с некоторого опреде ленного положения тэ, пз , причем положению т з, т соответ ствует уровень напряжений в опорных стержнях стойки ( точка А на рис. 82),определяемый значением параметра диаграммы де формирования Ес+ .
Допустим далее, что деградация свойств материала про должает расти. Это приводит к изменению параметров диа граммы деформирования, в частности параметра Ес . Исследуем возможность существования отклоненных положений стойки при значениях Ес+-ДЕс, где Д Ес - конечное приращение секущего модуля диаграммы деформирования за время Д t . Изменения параметров диаграммы деформирования при переходе стойки из исходного состояния равновесия (тз, пз) в возмущенное (пи, П4) приводят к укорочению стержней на Да (пи, щ)..что соответст вует возмущенному положению основания стойки при Ес+-ДЕс. Уменьшение силы сжатия левого стержня и увеличение состояния сжатия правого стержня определяются разными модулями (Ео - слева и Ек - справа) и, следовательно, дополнительные деформа ции стержней не могут быть одинаковыми. Отсюда следует, что отрезок Ш4 ,П4 не проходит через середину О отрезка (тз, пз) и происходит опускание точки О на величину Д а .
При потере устойчивости стойки и переходе точек (тз, пз) в
положение (пи, т ) |
, при возрастающей степени |
деградации |
свойств материала, |
возникают дополнительные |
приращения |
напряжений в левом опорном стержне |
|
|
|
До| = EoAei - ДЕсв| |
(9.4.6) |
и в правом опорном стержне |
|
|
|
Дог = ЕкДег - ДЕсег, |
(9.4.7) |
Решение бифуркационных задач длительной устойчивости 197
где ei и е2 - деформации опорных стержней, соответствующие исходному невозмущенному состоянию стойки. Дополнительные укорочения опорных стержней при переходе стойки в возмущен ное состояние составляют
Дои = - |
+ Да; |
Да2 = |
+ Да, |
(9.4.8) |
где ф - угол поворота стойки при потере устойчивости. Дополнительные сжимающие усилия в стержнях равны
ЛРг=1г ( ^ +Ла) ' АЬРе!- |
(9А9) |
Сумма этих приращений должна быть равна нулю, так как общая сжимающая сила Рф остается неизменной во времени. То гда
— |
О + v ) A a - |
- »)Д<р = A b F ( e , + й ) , |
( 9 .4 .1 0 ) |
где введено обозначение
v = Ек /Ео. |
(9.4.11) |
Моменты приращений сил относительно точки О равны моменту внешней нагрузки Рф:
~ ^ p ( l - v)Aa + |
+ v) - Рф]лф = - ДЕеF b f e ^ .(9.4.12) |
Из уравнений (9.4.10) и (9.4.12) находим оба кинематиче ских параметра ДГи Да :
198 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости
Лср = Ы - у АР |
рэ д а . |
(9.4.13) |
211 + v р» - рф |
*- Рф Ео |
|
, Ьг(1 +У-2уРф'р.) |
др |
а, |
_ . Р, ДЕс1~ у |
41(l + v) |
Р--Рф |
2^ |
е 'р --р ф Ео 1 + v ’ |
где введены обозначения |
|
|
(9.4.14) |
|
|
|
Р* = v Рэ;
2 v
р ~ = :— Рэ; 1+ V
ДР = AEt(ei + ег)F.
Условие перехода стойки в возмущенное состояние, свя занное с разгрузкой левого стержня, имеет ви д :
Лф^>Да |
(9.4.15) |
Тогда |
|
[ ^ - l ) ( e , + e2)> (e ,-e 2). |
(9.4.16) |
Бифуркация исходного решения происходит при равенстве докритических суммарных деформаций е1=е2=екр , где екр - зна чение критической деформации.
Условие бифуркации исходного решения
РФ£Р* |
(9.4.17) |
где Р* - критическое значение в соответствии с концепцией Шенли. В условиях деградации свойств материала с течением време ни значение Р* зависит от времени:
P‘(t) = |
Ek(t)Fb2 |
(9.4.18) |
|
2al |
|
Послебифуркациоиное нелинейное деформирование |
199 |
9.5.Послебифуркациоиное нелинейноедеформирование
ипроблема долговечности элементов конструкций
снаведенной неоднородностью материала
Проследить за изменением отклонения верхнего конца стойки возможно, используя (9.4.13), (9,4.14) при введении оп ределенной идеализации в описание деградационного изменения диаграммы деформирования. Допустим, что с течением време ни изменяется угол упрочнения на диаграмме деформирования с
линейным упрочнением (рис.85). |
о |
to |
|||||
Такая |
идеализация, |
не |
обяза |
||||
|
/ t , |
||||||
тельная для общего случая, |
в данном |
|
|
||||
примере позволит относительно проот |
|
l t n |
|||||
сто сделать |
качественный анализ за- |
/ \ |
|
||||
критического поведения стойки. |
/1 |
1 |
|||||
С учетом принятой идеализации |
/ |
||||||
/ ео |
|
||||||
процесса деградации |
диаграммы де |
С |
|||||
формирования материала |
|
стойки, |
|
|
|||
подставляя |
(9.4.18) |
в (9.4.17), полу |
|
|
|||
чим условие |
|
|
|
|
|
Рис. 85 |
|
|
|
V .< ^ |
, |
|
(9.5.1) |
||
|
|
|
Р, |
|
|
|
|
где V*KP = Рф /Рэ можно рассматривать как |
критическое значение |
||||||
v (t) в соответствии с концепцией Шенли. |
|
|
|||||
Здесь v |
можно |
рассматривать как параметр деградации |
физико-механических свойств материала опорных стержней, а само условие (9.5.1) определяет ту границу для v , после которой возможна реализация возмущенного равновесного состояния стойки.
Поскольку условие (9.5.1) связано со значением критиче ской нагрузки Р* , отвечающей концепции Шенли, то найденный критический уровень деградации v\q> также связан с этой кон цепцией.
Критический уровень деградации, отвечающий концепции Энгессера-Кармана v^, , следует из (9.4.13) при условии ф « :
200 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости
РФ |
(9.5.2) |
|
УКР~2РЭ- Р Ф |
||
|
Очевидно, что vJJ, < v\p .
Таким образом, при v = \'*кр от и с х о д н о го с о с т о я н и я равно весия ответвляется ветвь кривой отклоненных равновесных со стояний и при v = vJI> отклонение верхнего конца стойки v~q> об ращается в бесконечность.
Тогда критические значения v** и v* определяют два значе ния критического времени потери устойчивости стойки : при t =
Л*кр, v =v*Kp , при t = t“ *p , v = vITp. где t*Kp - критическое время,по концепции Шенли; t*\T - критическое время / по концепции Эн- гессера-Кармана.
‘ Таким образом, изучение закритического поведения стойки в интервале изменения параметра v : v*Kp < v < vjTp позволяет, при
наличии соответствующих экспериментальных данных по влия нию агрессивных сред на диаграмму деформирования материала, рассматривать закритическое деформирование стойки в интер вале времени t \ p < t < t*V-p .
Введем значение критической деформации екр и величины закритического деформирования стержней EI и ег :
|
ei = ек-р + Ei, |
||
> |
Тогда |
фЬ |
|
фЬ |
|||
|
а |
||
|
Е| = ~ — + - , |
||
|
2а |
а |
ei - ег = ----- ,
а
е2 = екр + ег. |
(9.5.3) |
|
фЬ |
а |
(9.5.4) |
е2 = |
+ — , |
|
2а |
а |
|
ei + ег = 2(екр+ ос/а) |
(9.5.5) |
Подставляя (9.5.3) и (9.5.4) в (9.4.13) и (9.4.14) и учитывая,
что
екр = ^ + ^ (1 - Р э /р ф). |
(9.5.6) |
получим выражения для приращений углов поворота (A f) и приращений закритической деформации (Ае ) стойки в зависи мости от приращения параметра v :