книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

Представляя приращение ДА. в виде суммы ДА? и ДАЬ получим:

где Ар определяется выражением (4.1.15).

С учетом сжимаемости материала для компонент полной де­

(4.4.14)

В выражения для x.*jki и &к* входят, в данном случае, парамет­

ры E J и Ек. получающие возмущение вследствие изменения темпе­ ратуры во времени.

Аналогичным образом получаем связь между приращениями компонент тензора напряжений и тензора деформаций с учетом не­ равномерного нестационарного поля при изменении объемного мо­ дуля упругости:

Летij= ^k](Aek|-Дет5к,)+ ^ j^ A o 5ij+ ^ S ij+ ^ ~ - r a 5ij •

(4.4.15) В данном случае объемный модуль К получает возмущение в

том числе и вследствие изменения температуры во времени.

4.5.Уравнения состояния с учетом сжимаемости при плоском напряженном состоянии

Рассмотрим тонкостенную конструкцию в декартовой систе­ ме координат Х1Х2Х3, причем ось хз направим перпендикулярно сре­ динной поверхности. Из условия обобщенного плоского напряжен­ ного состояния следует, что о 3з=0, е зз* 0 - Среднее напряжение в этом случае равно

Для е3з из условия плоского напряженного состояния следует:

Представляя, как и ранее, ДХ в виде суммы двух слагаемых ДХГ и дх,**Фи выражая их через возмущенные значения параметров диаграммы деформирования Ек* и ЕЛ получим:

х' Ео

Подставляя (4.5.6) и (4.5.7) в (4.5.5), после преобразования получим:

Переходя от компонент приращений девиаторов напряжений и деформаций к компонентам приращений тензоров напряжений и деформаций, получим:

Д сгв«х5,Д еы + ' ^ Л с 8» + ^ Ч « • (4.5.12)

Полученное соотношение по форме совпадает с (4.2.15), разли­ чия здесь заключены в матрице коэффициентов a . и в приращении

аС -

96 Линеаризованные уравнения состояния

изменения температуры.

4.6.Уравнения состояния с учетом сжимаемости

иизменения объемного модуля упругости при плоском напряженном состоянии

Полученные соотношения можно обобщить для случая изме­ нения объемного модуля упругости материала, то есть для ДК * О

и (4.3.5) для случая плоского напряженного состояния при условии, что

Де; = ЕсК*-К.Ес В_ + _С

(4.6.1)

е; 6К2 D* D*

Здесь В и С имеют тот же смысл, что и в выражениях (4.5.6) и (4.5.7), а выражение для D* имеет следующий вид:

Представляя Д*. в виде суммы двух слагаемых д ^ Ф* и дх,**\ в данном случае будем иметь:

Данные соотношения (4.5.3) и (4.6.10) могут быть положены в основу теории расчета долговечности пластин и пологих оболочек, подвергающихся агрессивным воздействиям внешней среды, изме­ няющим физико-механические свойства их материала.

4.7. Эквивалентные формулировки уравнений состояния. Уравнения состояния в инкрементальной форме

Слагаемые в уравнениях состояния в приращениях (4.5.13) и (4.6.10), порождающие неоднородную часть в определяющих урав­ нениях задачи, построены так, что подразумевают использование полных (суммарных) значений функций деградации при их вычисле­ нии. Поставим здесь целью придать инкрементальную форму урав­ нениям состояния теории наведенной неоднородности.

Процесс деформирования твердого тела будем описывать по­ следовательностью состояний равновесия S0, Si..... Sn, Sn+i3..., Sr, где So - исходное состояние твердого тела. Обычно в нем нет напря­ жений и деформаций, нет и приложенных внешних воздействий; Sr конечное состояние, при котором требуется определить напря­ женно-деформированное состояние, исследовать устойчивость или решить другие задачи; Sn-произвольное промежуточное равновесное состояние. В состоянии Sn известны все параметры внешнего и внутреннего процесса: уровень приложенных нагрузок, уровень дег­ радации физико-механических свойств материала, тензоры напряже­ ний и деформаций в точках тела, вектор перемещения каждой точки

Естественно, что если не конкретизировать вид функциональ­ ной зависимости, то это не что иное, как математическая абстракция, а конкретизация этой зависимости с использованием какой-то имеющейся системы знаний о материале и есть процесс построения физического закона.

Когда речь идет об инкрементальных теориях, то нужно имел функциональную зависимость, связывающую компоненты тензоров приращений напряжений и деформаций (либо скоростей):

Построение таких зависимостей - задача каждой теории. При этом используются накопленные знания для введения гипотез, идеа­ лизирующих реально происходящий процесс. Чем больше вводит­ ся идеализации, тем проще получаемый математический аппарат теории и тем менее идеализированный процесс имеет отношение к реально наблюдаемому процессу деформирования.

Первое, что обычно сразу делается в инкрементальных теори­ ях, - линеаризация соотношений (4.7.2). Собственно, это и является целью введения таких теорий. Хотя иногда имеет смысл и сохране­ ние нелинейности относительно приращений, о чем будет сказано в настоящей работе, в некоторых задачах устойчивости:

Здесь Ч'р, фу, Fyki, fjj являются функциями переменных состояний. Приращения в инкрементальных теориях отсчитываются от текущих значений переменных состояния.

В предыдущем параграфе обсуждался аппарат теории наведен­ ной неоднородности, с помощью которого учитываются изменения, происходящие в материале нагруженной, конструкции в результате внешних воздействий. Таким аппаратом являются функции дегра­ дации Ф\ (i=l,2,...,m), вводимые в диаграмму деформирования мате­ риала <Ti(ej, Ф|,..., Фт). Для функций деградации имеется система оп­ ределяющих уравнений в приращениях, опирающаяся на экспери­ ментальные данные о понижении показателя объективной прочно­ сти, о смещении кривой длительной прочности, об изменении диа­ грамм деформирования материала в результате увеличения плотно­ сти микроповреждений.