книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

переменных параметров упругости, ограничений на скорость сходи­ мости, зависящую от спектральных свойств матрицы левой части краевой задачи. Как отмечается в /262/, в модифицированном методе в итерациях участвует та же матрица левой части с переменными параметрами упругости, зависящими от нелинейности обобщенной кривой деформирования в фиксированный момент времени и от времени при переходе к следующему шагу по времени и изменении самой обобщенной кривой деформирования во временном процессе. Ограничение применения данной итерационной процедуры к зада­ чам учета наведенной деградации свойств материала заключается в оперировании с полными функциями в соотношениях деформацион­ ной теории, описывающими конечную точку процесса и потому не учитывающими историю деформирования в процессе нагружения и историю деградации физико-механических свойств материала во времени.

Такая возможность появляется при записи уравнений на основе метода последовательных возмущений параметров (МГТВП) /224/.

3.2.Метод последовательных возмущений параметров при линеаризации математических моделей

Расчет элементов конструкций при нетрадиционных воздейст­ виях, нарушающих внутренние связи материала, связан, в общем случае, с учетом трех видов нелинейностей: геометрической нели­ нейностью, нелинейной диаграммой деформирования материала, не­ линейными законами изменения физико-механических свойств ма­ териала в результате воздействий, нарушающих его внутренние свя­ зи.

Для изучения вопросов прочности, устойчивости и долговеч­ ности конструкций, работающих при таких внешних воздействиях, необходимо построение математических моделей, тем или иным способом учитывающих нелинейность указанных типов. К на­ стоящему времени имеется ряд работ /53,139,140,196,201,203206,208,210,211,214,223/, в которых изучаются вопросы прочности и долговечности конструкций, взаимодействующих с внешней агрес­ сивной средой. Такое взаимодействие приводит с течением времени к развитию существенной деградации физико-механических свойств материала конструкции и, при определенных условиях, к ее

62 Метод последовательных возмущений

разрушению. Авторами работ предложен ряд математических моде­ лей, учитывающих два вида нелинейности. Физическая нелиней­ ность реализуется применением моделей нелинейно-упругого тела с полиномиальной зависимостью между напряжениями и деформа­ циями. Нелинейность изменения физико-механических свойств ма­ териала, в результате его взаимодействия с агрессивной средой, оп­ ределяется соотношениями модели, принятой для описания законо­ мерностей этого взаимодействия. Геометрическая нелинейность не учитывается.

Проанализируем методику построения таких моделей по ряду работ, авторы которых использовали МПВМ.

Одной из первых в этом ряду является работа /206/, посвя­ щенная расчету конструктивных элементов, подвергающихся воз­ действию агрессивных сред. На основании феноменологического подхода в /206/ изменение свойств материалов, происходящее при совместном действии механических напряжений и агрессивной сре­ ды, представляется как процесс накопления рассеянных в мате­ риале повреждений. В основе данного представления лежит анало­ гия, проведенная В.В. Новожиловым между теорией накопления по­ вреждений и теорией пластичности /193/. Изменение параметра поврежденности описывается кинетическим уравнением /206/:

d to = Ф$d ст + Ф, dt + Фс dc + Фу dT,

где t — время; <т — напряжение; С — параметр, характеризующий агрессивность среды в точке материала; Т — температура; Ф р, Ф( , Фс , Фт — некоторые функции ю, С, Т, а, описывающие мгновен­ ную повреждаемость, вызванную действием соответствующих фак­ торов, и разрушение при некоторых конечных значениях этих факторов. В работе /206/ проанализированы частные случаи кине­ тического уравнения накопления повреждений: рассмотрен изотер­ мический (T=const) процесс накопления повреждений, происходя­ щий в среде определенной агрессивности (C=const), учтено введе­ нием различных выражений для Фр влияние скорости нагружения на процесс накопления повреждений, рассмотрено влияние изменения температуры и агрессивной среды на процесс накопления поврежде­ ний.

На основании экспериментальных данных из статьи А.М.Карташова /124/ об изменении модуля упругости Е, модуля

держке в среде водорода образцов из стали 20, в работе/206/полу­ чены зависимости модуля упругости Е от поврежденности материа­ ла. В работе И.Г.Овчинникова с соавторами /208/ на основании полученной в /206/ зависимости Е=Е(ш) записаны уравнения дефор­ мирования пластин и оболочек с учетом накопления повреждений. Уравнения основаны на линейных геометрических и физических соотношениях. Их жесткостные коэффициенты нелинейным обра­ зом зависят от параметра поврежденности материала ©, определяе­ мого из решения кинетического уравнения.

Дальнейшее развитие работ по данному направлению пошло по пути более полного учета свойств материала за счет введения не­ линейной зависимости между напряжениями и деформациями и расширения диапазона учитываемых эффектов взаимодействия ма­ териала и агрессивной среды при построении математических моде­ лей. Так, при построении расчетной схемы конструктивного элемен­ та, подверженного водородном)' охрупчиванию, в работах /139,140/ привлекалась скорость образования метана в рассматриваемой точке поперечного сечения элемента конструкции, зависящая, как указы­ вается в /139/, '!в соответствии с законами кинетики химических ре­ акций ... от давления водорода в этой точке, температуры, количества уже образовавшегося метана". Полагая, что обезуглероживание материала происходит при определенной величине давления метана, называемой критической, в /140/ вводится фронт обезуглероживания,

авторы при учете воздействия самых различных агрессивных сред. Например, в работе /200/ - это также воздействие водородосодержа­ щей среды, в работе /199/ - это поверхностное химическое разруше­ ние, в работе /196/ - воздействие жидкого натрия на конструкцион­ ный материал, в работе /198/ - разрушение полимербетона в жидкой среде. В работе /210/ с позиций механики накопления повреждений рассматривается феноменологическая модель деформирования и разрушения облучаемого материала. Кинетическое уравнение при этом дополняется параметром интегрального учета влияния интен­ сивности облучения, энергетического спектра и дозы облучения на структуру материала.

ния диапазона учитываемых факторов модели становятся многопа­ раметрическими, с большим числом нелинейных связей. Однако сле­ дует иметь в виду, что основную сложность при решении этих раз­ нообразных задач составляет не столько существенная нелинейность разрабатываемых моделей взаимодействия материала и агрессивной среды, сколько сочетание этой нелинейности с принятой в указанных работах нелинейной зависимостью для описания диаграммы дефор­ мирования нелинейно-упругого материала. Действительно, нелиней­ ность системы кинетических уравнений, как бы она ни была высо­ ка, скажется лишь при вычислении правых частей кинетических уравнений, при использовании шаговых процедур типа Руиге-Кутта для их решения. Использование нелинейной зависимости между на­ пряжениями и деформациями делает задачу долговечности конст­ рукций в агрессивной среде дважды нелинейной, что обуславливает необходимость решения на каждом шаге по времени задачи нели­ нейного деформирования конструкции. Для раскрытия данного двойного вида нелинейности естественно организовать шаговую процедуру решения, основанную на применении метода последова­ тельных нагружений /222/. Обобщая данную шаговую процедуру на многопараметрические нелинейные задачи, в /209/ был предло­ жен метод последовательных возмущений параметров, обладаю­ щий большой гибкостью и универсальностью, позволяющий стро­ ить различные стратегии получения решения. В работе /209/ про­ ведено обобщение на случай последовательного, возмущения пара­ метра нагрузки и параметра изменения толщины конструкции. В число возмущаемых параметров могут входить параметры накопле­ ния повреждений или параметры взаимодействия материала и сре­ ды, как это принято в ряде рассмотренных работ. Например, в /197/ предложенная в /211/ методика решения задач расчета тонкостен­ ных конструкций в агрессивных средах применяется для линеари­ зации основных соотношений разномодульной технической теории пологих оболочек по параметрам поврежденности, параметру нели­ нейности диаграммы деформирования и параметру разномодульности материала.

кретной моделью. Так, например, в температурных задачах варьи­ руется параметр температуры, в результате чего появляется метод последовательных нагреваний и соответствующие уравнения в приращениях, использовавшиеся в /214/. В результате такой практи­ ки применения МПВП возможно получение множества различных уравнений в приращениях. Во многих случаях этот факт дает воз­ можность авторам, занимающимся конкретной задачей, говорить о появлении "новых" уравнений и "новых" методов. В работе /223/, а затем и в монографии /224/ показано, что методика применения МПВП для построения линеаризованных уравнений едина и в зави­ симости от возмущаемых параметров меняется лишь механическая интерпретация метода.

Например, если возмущаемым параметром является кривизна оболочки, то получаем метод последовательных изгибаний, если возмущается температура при решении температурных задач, то по­ лучается метод последовательных нагреваний, если в качестве воз­ мущаемого параметра принят параметр поврежденности, то полу­ чим метод последовательных повреждений. В ряде работ /163,164/ отмечена эффективность использования при расчетах возмущения размера конструкции, что дает метод последовательного возмущения области интегрирования/163,164/. Отмечается также большая гиб­ кость и универсальность МПВП, позволяющая строить различные стратегии получения решений и ставить задачи об определении оп­ тимальной стратегии. Такой стратегией является получение на осно­ ве обобщенной формы МПВП линеаризованных уравнений состоя­ ния инвариантных относительно широкого класса используемых ма­ тематических моделей взаимодействия агрессивных сред и мате­ риала конструкций. Независимость уравнений состояния в прира­ щениях от вида диаграммы деформирования, от характера и коли­ чества параметров, учитывающих процесс взаимодействия материала и агрессивной среды (в данном случае - деградационных функций) позволяет построить единую систему геометрических и физических уравнений в приращениях, использовать единую методику, алго­ ритм расчета и пакет прикладных программ, а при определенных условиях - и единое решение для целого класса моделей, учитываю­ щих воздействие агрессивных сред на материал конструкций. В ча­ стности, здесь возможно использование любых функциональных зависимостей для учета агрессивных влияний на физико­ механические свойства материалов нагруженных конструкций, по-

лучаемых в тех работах, авторы которых опираются на феномено­ логический подход и используют критерии и функции, которые но­ сят интегральный характер, например, интегральную функцию по­ вреждаемости (меру поврежденности). При этом.с точки зрения фи­ зических представлений, эти модели могут формулироваться поразному.

3.3. Метод последовательных возмущений параметров при построении математических моделей взаимодействия

напряженных конструкций с агрессивной средой

Конструктивные элементы обычно представляются в виде рас­ четных схем, которые исследуются на действие нагрузок, темпера­ турных полей, воздействие внешней агрессивной среды. Результатом исследования может быть определение запаса прочности, устойчиво­ сти, динамических характеристик рассматриваемой расчетной схе­ мы. характеристик функциональной надежности.

Для того, чтобы осуществить подобное исследование, необхо­ димо применить математический аппарат, а для того, чтобы его при­ менить, необходимо построить математическую модель расчетной схемы и поставить соответствующую математическую проблему. Это

-весьма ответственный момент.

Воснове построения математических моделей строительной механики лежит фундаментальная система уравнений механики де­ формируемого твердого тела, которая состоит из трех групп уравне­ ний: статических, геометрических и физических.

Статические уравнения (уравнения равновесия) имеют вид:

аст*

Связи между деформациями и перемещениями (геометрические со­ отношения) имеют вид:

(3.3.2)

Компоненты тензора деформаций должны обеспечивать совм.е: стность деформаций и сохранение сплошности. Они должны удовле­ творять уравнениям совместности деформаций Сен-Венана.

Влияние агрессивной среды и свойств материала никак не от­ ражается на виде и структуре этих уравнений.

Для замыкания фундаментальной системы уравнений необхо­ димы физические уравнения, определяющие связь между компонен­ тами тензоров напряжений и деформаций. Обычно это либо физиче­ ские уравнения теории упругости, либо одной из теорий ползучести. Для определенности возьмем соотношения деформационной теории пластичности:

68 Метод последовательных возмущений

Совокупность уравнений (З.ЗЛ)-(З.З.З) образует фундаменталь­ ную систему уравнений. Обозначения здесь общепринятые: u, v, w - компоненты вектора перемещений; е х,е у , е xv.y у/,у 7Хкомпо­

ненты тензора деформаций; о х,сту, а 2, т Х).,т >2,т гхкомпоненты

тензора напряжений; cr t- интенсивность напряжений; е ( - интенсив­

ность деформаций.

Как видно, фундаментальная система не линейна. Вводя допол­ нительные гипотезы, можно упростить или линеаризовать отдельные группы уравнений. Так. полагая в (3.3.2), что перемещение w много меньше, чем и и v, получим соотношения Кармана, широко исполь­ зуемые в геометрически нелинейной теории.

Пренебрегая в (3.3.2) всеми нелинейными членами, получим соотношения, характерные при малых перемещениях и деформаци­ ях. При воздействии внешней агрессивной среды соответствующие изменения следует вносить в уравнения (3.3.3) или же дополнить их теми или иными кинетическими уравнениями, описывающими ско­ рость изменения физических или геометрических характеристик во времени.

Можно выделить два подхода. В первом подходе полагаем, что. кинетическое уравнение не зависит от напряженного состояния. В этом случае оно решается отдельно, и его решение вносится затем в уравнения (3.3.3). Во втором случае кинетическое уравнение должно входить в фундаментальную систему уравнений. Часто вводится спе­ циальное понятие - параметр поврежденности. В этом случае пара­ метр поврежденное™ вносится в уравнения (3.3.3), а кинетическое уравнение записывается уже относительно параметра поврежденно­ сти.

Например, изменение глубины коррозионного разрушения 5 с течением времени может описываться уравнениями вида:

5 = f(t),

где t - время; Т - температура; С - характеристика агрессивной среды. Могут использоваться и кинетические уравнения вида

(относительная скорость коррозии линейно убывает с ростом 8) или в более общем случае

Если же относительная скорость коррозии зависит от напряженного состояния на поверхности, то используют кинетические уравнения вида:

.(д)

где с ;- интенсивность напряжений на поверхности.

В том случае, когда в уравнения (3.3.3) вводится параметр по­ вреждаемости со, кинетические уравнения имеют вид

(параметр поврежденности зависит только от истории нагружения),

(параметр поврежденности зависит не только от истории нагруже­ ния, но и от мгновенных значений напряжений в рассматриваемый момент времени).

70Метод последовательных возмущений

Вболее общем случае будем иметь следующее уравнение:

которое учитывает, что параметр поврежденности зависит и от ха­ рактера агрессивной среды, и от времени ее действия. Здесь S(t) - до­ полнительный параметр, характеризующий свойства среды по отно­ шению к материалу конструкции.

Приведенные выше уравнения содержат ряд констант, которые определяются путем обработки экспериментальных результатов.

В общем случае фундаментальная система уравнений (3.3.1)- (3.3.3) не линейна. Запишем ее в виде операторного уравнения

Здесь А - в общем случае нелинейный оператор; U|......um - фазовые переменные, определяющие состояние объекта; ki, ..., kn - функции и параметры, имеющие различную природу (геометрические, физиче­ ские. время, нагрузка и т.д.). Для решения задачи необходимо к это­ му уравнению добавить соответствующие граничные условия.

При рассмотрении конкретных конструктивных элементов обычно вводятся дополнительные гипотезы, учитывающие его тонкостенность, вид напряженного состояния и другие особенности, ко­ торые могут существенно упростить уравнение (3.3.4).

Для линеаризации уравнения (3.3.4) применим метод последо­ вательного возмущения параметров [209], суть которого заключается в том, что сравниваются два объекта, у которых те или иные пара­ метры kj отличаются на достаточно малую величину и при этом раз­ личие фазовых переменных щ также достаточно мало. В этом случае решение нелинейного уравнения (3.3.4) можно заменить последова­

Если к этой совокупности уравнений добавить граничные усло­ вия, записанные относительно приращений фазовых переменных, то