книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

202 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

Проведенные расчеты позволяют провести качественный анализ работы стойки в условиях ее нагружения и развития наве­ денной неоднородности физико-механических свойств материа­ ла.

Как видно на рис.86, начиная с критического значения па­ раметра v*Kp, перемещение верхнего конца стойки монотонно возрастает и обращается в бесконечность при v**h-p . Следова­ тельно, предположение о "единомоментном" существовании двух состояний равновесия, характеризующихся одним и тем же со­ стоянием физико-механических свойств материала, то есть пред­ положения о неизменности свойств материала при переходе стойки в отклоненное состояние, являются существенным огра­ ничением на ход ветви кривой равновесных состояний (кривая 1 рис.86.а):

Концепция продолжающейся деградации свойств материала в момент перехода стойки в отклоненное состояние позволяет уловить более раннюю возможность бифуркации исходного ну­ левого решения (точка бифуркации А), при определении кото­ рой не наложено ограничения (9.5.10).

Таким образом, становится очевидным, что после наступ­ ления критического момента времени tV-р стойка начинает со­ вершать медленное боковое перемещение, скорость которого связана с кинетикой физико-химических процессов взаимодейст­ вия материала стойки и агрессивной среды, вызывающих раз­ витие наведенной неоднородности. Процесс потери устойчиво­ сти, в данном случае, в отличие от потери устойчивости при на­ гружении, начиная с момента t* /напоминает процесс ползуче­ сти, связанный с ползучестью основания. Реально долговеч­ ность стойки может быть значительно большей момента t* . Факт бифуркации решения и начала медленного движения стой­ ки в момент t* не является основанием для вывода о ее нерабо­ тоспособности, по крайней мере, в течение определенного пе­ риода времени t , в противном случае все элементы конструкций, теряющие устойчйвость при ползучести и не являющиеся устой­

чивыми в "классическом" понимании, следовало бы также счи­ тать неработоспособными с самого начала.

Период закритической работы конструкции в условиях раз­ вития наведенной неоднородности также может быть весьма значительным, особенно если деградация физико-механических свойств материала носит затухающий во времени характер. Вследствие этого представляется актуальной проблема исследо­ вания нелинейной работы конструкции в интервале времени

9.6. Бифуркации состояния и процесса. Критерий устойчивости процесса деформирования конструктивных элементов с наведенной неоднородностью

При рассмотрении вопроса о единственности решений определя/ющих уравнений в случае сложных сред (упруго­ пластических. ползущих, наследственных) возникают бифурка­ ционные задачи, по своей сущности отличающиеся от аналогич­ ных в упругости. Основная причина отличия состоит не в ус­ ложнении уравнений, что, конечно, имеет место, а в сущест­ венной зависимости поведения решения в данный момент от ис­ тории нагружения и деформирования. Необратимость происхо­ дящих в материале нагруженного тела изменений приводит к не­ обходимости развивать качественно новые концептуальные под­ ходы к самому определению понятия устойчивости равновесия. В сложных средах уже само понятие состояния равновесия отли­ чается от упругого, точки сложных сред в процессе деформиро­ вания находятся в состоянии очень медленного движения (выпучивания), которое и теряет устойчивость, тогда как в упру­ гости появление выпучивания есть признак потери устойчивости состояния равновесия и выпучивание является возмущенным со­ стоянием.

Ставя бифуркационную задачу так же, как в упругости, рас­ сматривая возможность существования смежных состояний, приходят к уравнениям в вариациях при замороженных внеш­ них нагрузках (устойчивость состояния). При этом физические соотношения в точках объема тела, в отличие от упругости, ме­ няются от точки к точке. Например, в упруго-пластических сре­ дах в части объема идет активное нагружение, реализуется ак­

204 Формализация критериальной оценки длительной устойчивоапи

тивная ветвь диаграммы, в другой части деформирование пас­ сивное. Граница раздела областей с нагрузкой и разгрузкой заранее не определена и представляет собой сложную нелиней­ ную задачу.

Найденные из решения таким образом поставленной одно­ родной краевой задачи собственные значения отвечают кон­ цепции Эйлера-Энгессера-Кармана, в предыдущих параграфах показанные на идеализированном стержне как приведенномодульные критические нагрузки. Такой подход используется при решении задач в полных функциях с использованием де­ формационной теории пластичности и связан с именами АЛ.Ильюшина, В.Г.Зубчанинова, И.А.Биргера.

При исследованиях в области математической теории пла­ стичности [288.289 и др.], а именно при формулировании общего условия единственности решения краевых задач о равновесии упруго-пластического тела в скоростях, Р.Хилл сопоставил по­ лученное им условие единственности с условием устойчивости. Условие устойчивости было им сформулировано, исходя из ус­ ловия единственности состояния равновесия. Проведенное Хил­ лом сопоставление показало, что эти условия не эквивалентны: условие единственности для приращений, строго говоря, не яв­ ляется следствием устойчивости, понимаемой как устойчивость состояния равновесия. Р.Хилл вывел ряд теорем сравнения, в ко­ торых фигурирует так называемое линейное тело сравнения, из устойчивости состояния которого следует единственность реше­ ния задачи в скоростях для исходного тела. Получив такие ре­ зультаты, Р.Хилл, однако, не сформулировал критерий устойчи­ вости при продолжающемся нагружении, хотя заложил под этот критерий основательный математический фундамент.

При решении задач для сложных сред в приращениях, а в по­ давляющем большинстве это - единственный способ формулиро­ вания за»яач в случае сложных сред, существует подход, ставя­ щий задачу неединственности в приращениях, формализмы ко­ торого обсуждались в данной главе.

При этом рассматривается возможность пояйления двух (и более) продолжений процесса, то есть определяемых на шаге приращений. Для этого составляется система уравнений в ва­ риациях для приращений. Варьирование физических соотноше­ ний может приводить к сложным зависимостям, так как для данной точки может осуществляться переход из активного на­

валентных тензорах, связывающих приращения напряжений и деформаций в каждой точке тела.

Принципиально возможны постановки бифуркационных за­ дач для процессов деформирования, когда рассматривается воз­ можность неединственности скоростей для приращений при единственности самих приращений. При этом также появляет­ ся краевая задача на собственные значения, где в качестве собст­ венных функций служат вариации скоростей приращений пере­ мещений.

Рассматривая процессы деформирования упруго-пластичес­ ких сред, В.Д.Клюшников [136] показал, что если обозначить бифуркацию состояния равновесия в полных функциях Во (бифуркация состояний), бифуркацию приращений Bj (бифуркация первого порядка), бифуркацию скоростей прира­ щений Вг (бифуркация второго порядка) и так далее, то на ус­ ловной кривой равновесных состояний деформируемого тела точка Во лежит выше (достигается при более высоком уровне на­ гружения), следующей по убыванию является точка Bi и так да­ лее. Доказательство этого, по существу, следует из того, что се­ кущий модуль диаграммы всегда больше касательного модуля. Рассматривая бифуркации высших порядков (выше первого) в случае дифференциально-линейных физических соотношений, нетрудно заметить, что все они сводятся к бифуркации первого порядка, так как матрица физических констант в этом случае при следующих варьированиях уже не меняется.

Таким образом, бифуркация первого порядка для дифферен­ циально-линейных физических законов деформирования отве­ чает наираннему в истории деформирования моменту неединст­ венности определяемых приращений.

Согласно концепции Шенли и идеям работ Ю.Н.Работнова, а затем развитию этих идей В.Д.Клюшниковым, можно считать бифуркацию первого порядка для дифференциально-линейных теорий при упруго-пластических деформациях происходящей при равной активности основного и побочного процессов.(Здесь следует понимать активность и пассивность продолжений как активное и пассивное деформирование, проходящее по различ­ ным ветвям диаграмм). При таком представлении или предпо­ ложении о бифуркации первого порядка для состояния теории Sn можно не учитывать дополнительные зоны пассивного деформи­

206 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

рования, появляющиеся при бифуркации. Распределение зон ак­ тивного и пассивного деформирования остается таким, каким оно было в состоянии Sn.

Например, для стержня Шенли, рассмотренного в п.9.4, кото­ рый до бифуркации первого порядка оставался прямым, а зна­ чит (для этой модели) активно деформирующимся, без разгрузки,

вформулу для критической нагрузки подставляется касатель­ ный модуль для всего сечения, так как разгрузка появляется уже

врезультате бифуркации, на начальный момент площадь зоны разгрузки равна нулю.

Втех случаях упруго-пластического деформирования, когда до потери устойчивости зоны разгрузки не появляются, крите­ рий совпадает с критерием для нелинейно-упругого тела (реализуется только активная ветвь диаграммы).

Критерий равноактивной бифуркации первого порядка для дифференциально-линейных уравнений состояния материала да­ ет основание использовать в критериальных формах в качестве матриц констант упругого эквивалента четырехвалентный тен­ зор неоднородного материала на шаге теории.

9.7.Формализм критериальной оценки длительной устойчивости процесса деформирования конструктивных

элементов с наведенной неоднородностью

Вданном случае применение критерия устойчивости, оп­ ределенного как равноактивная бифуркация первого порядка процесса деформирования, на основе введения упругого экви­ валента конструкции с наведенной неоднородностью материала, обосновано тем, что матрица констант упругого эквивалента Eijki* следует из матрицы констант материала с наведенной неод­ нородностью Eijmn, вычисляемой для фиксированного момента

времени, при этом следует полагать Eic* = E k , Ес* = Ес и прини­ мать гипотезу о несжимаемости материала.

Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Отметим, что все особые точки процесса, за исключением бифуркации состояния для пластичности, находятся на основе соотношения связи типа /136/:

Формализм критериальиой оценки длительной устойчивости 207

где Е - коэффициент, вычисленный для основного процесса в данный момент нагружения или в рассматриваемый фиксиро­ ванный момент времени в случае материала с наведенной неод­ нородностью и равный в случае равноактивной бифуркации пер­ вого порядка в пластичности касательному модулю диаграммы деформирования материала.

В общем случае на основе деформационной теории пла­ стичности, ограничиваясь в дальнейшем гипотезой о несжимае­

где Sij - девиатор напряжений; Gc - секущий модуль диаграммы чистого сдвига.

Для определения бифуркации первого порядка необходимо иметь соотношения для скоростей, которые записываются с по­ мощью дифференцирования (9.7.2) по времени:

ГСсГ" T ’

где Gk - касательный модуль сдвига на диаграмме чистого сдви­ га, и в результате получим :

Gk^SijSmn. (9.7.5) u I G J 2Т2 е“

Соотношения для материала упругого эквивалента в пред­ положении его несжимаемости будут иметь вид:

Формализм критериальной оценки длительной устойчивости 209

Возможность распространения концепции упругого экви­ валента на проблему отыскания бифуркации первого порядка для материала с наведенной неоднородностью естественно выте­ кает из того факта, что связь между приращениями девиатора напряжений и приращениями деформаций на основе соотноше­ ний модели наведенной неоднородности с учетом гипотезы не­ сжимаемости, записанная для случая "замороженного" времени, когда Ес*=Ес , Ей* = Ек , эквивалентна связи между этими прира­ щениями, записанными для упругого эквивалента (9.7.6). Дейст­ вительно, полагая в силу отсутствия возмущения параметра вре­ мени A \ t = 0 в (4.1.14), для матрицы Хуы в соотношении (4.1.14) получим с учетом (9.7.10), используя обозначения работы /136/, выражение

и матрица констант материала с наведенной неоднородностью при "замороженном" времени совпадают с точностью до коэф­ фициента:

В случае обобщенного плоского напряженного состояния на основании (9.7.6) и (9.7.9) для упругого эквивалента будем иметь:

Выражения для приращений напряжений с учетом гипоте­ зы о несжимаемости материала, записанные на основе соотно­ шений модели наведенной неоднородности для трехмерного на­ пряженного состояния (4.1.14), имеют вид:

где