книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

242 Приложение вариационных критериев к проблеме устойчивости

Выражения (11.1.10), (11.1.11) принимают узнаваемую класси­ ческую формулировку в упругом случае, когда есть полная эквива­ лентность задачи в приращениях и в полных функциях, при этом Djjk| превращается в цилиндрическую жесткость и выносится за интеграл.

Без принятого выше допущения и учета всех слагаемых в вы­ ражении для приращений моментов имеем:

А М у = SykiAeid + DijkiA xki .

Тогда для энергетического эквивалента получим более сложное выражение;

Подставляя вместо приращений деформаций их линеаризован­ ные выражения через приращения перемещений, получим энерге­ тический эквивалент в перемещениях в виде квадратичной формы. Находя его минимум, определяем критический уровень суммарных усилий.

При всех критериальных формах, приведенных здесь, вопрос о единственности продолжения процесса деформирования из S„ в Sn+i решается из условия соответствия текущего значения параметра внешнего процесса критическому значению, полученному из реше­ ния (11.1.11) или (11.1.10).

11.1.2.Энергетический эквивалент продольно сжатых замкнутых цилиндрических оболочек

Рассматривается осесимметрическое деформирование круго­ вой цилиндрической оболочки радиуса R, продольно сжатой равно­ мерно распределенным по контуру усилием, принимается кинема­ тическая гипотеза Кирхгофа-Лява.

Тогда геометрические соотношения в приращениях имеют вид:

Аец= Дец+хз Ахи; Де12=0 ; д е22= - диз = д822 .

R

(11.1.12)

Критерии устойчивости докритического процесса деформирования 243

Пусть, наряду с исходным процессом деформирования и дегра­ дации, когда поперечных перемещений нет, имеет место бифурка­ ция процесса, и наряду с исходным продолжением {Дщ, 0, 0}, появ­ ляется смежное продолжение процесса, также являющееся осесим­ метричным {Aui + Ай/, 0, 0 + Диз1}. До состояния S„ оболочка де­ формировалась без прогибов.

Варьируя (линеаризуя) геометрические соотношения, записан­ ные для основного и смежного продолжений, получаем:

- для основного продолжения

Дец = А е п = ^ ^ ’ Д е 22 = Ае^ = 0 *,

дк\

- для смежного продолжения

Аеп= Дец+ Aeli= Дец+Деп + хзДх},;

Используя уравнения состояния, нужно перейти к перемеще­ ниям. Уравнения состояния для вариаций приращений исходного процесса для данного случая имеют вид:

Да22 = 2211Де!1+ 4*2222Дв22 . Проинтегрируем (12.14) по толщине;

ДИп-Bi111Ле{1+ Вп22Де22 /

(1 1 .1 .1 5 )

ДЫ22= В2211Де!1+ В2222Дегг

Критерии устойчивости докритического процесса деформирования 245

11Л.3. Энергетический эквивалент сжатых по образующей цилиндрических панелей

Рассматривается пологая цилиндрическая панель, сжатая с торцевых кромок равномерно распределенными контурными уси­ лиями, деформирующаяся при деградации свойств материала. Свя­ занный процесс описывается теорией наведенной неоднородности.

Принята кинематическая гипотеза Кирхгофа-Лява. Докритическое деформирование характеризуется отсутствием прогибов. Изу­ чается возможность бифуркации этого процесса, когда в критической точке возникает смежное продолжение с ненулевым приращением прогиба Айз.

Геометрические связи в приращениях для панели имеют вид:

Для исходного процесса прогибов нет:

Ну 'У dxj Эх,

•Для смежного продолжения:

где

( 11.1.21)

1 _ ЭАи} . ЭАиг S12— :— + ------1

д х2 д х\

Выписываем выражение для энергетического эквивалента:

248 Приложение вариационных критериев к проблемеустойчивости

Согласно гипотезе Кирхгофа-Лява, для приращений деформа­

ций

Для деформаций срединной поверхности Деу выполнены (7.2.2) главы 7.

Запишем энергетический эквивалент для пологой оболочки для состояния Sn, считая, что процесс деформирования и деградации имеет бифуркацию, в результате которой появляется смежное с ос­ новным продолжение процесса, отличающееся от основного продол­ жения на бесконечно малую вариацию, не нарушающую граничных условий, обозначаемого в этой главе верхним индексом

Для энергетического эквивалента

( 11.2.2)

для данного случая, после интегрирования по толщине, получим

(11.2.3)

Здесь нужно брать линеаризованные зависимости для прира­ щений, имеющих смысл вариаций.

Для приращений внутренних усилий используются выражения в вариациях (без неоднородности):

A N jj-B jjk iA sici+ S ijk i^ X k i ;

ДМу ~SijklДбк1 Djjkl^Xkl *

Функционал для пологой оболочки обсуждался в главе 7. Мож­ но сравнить (7.2.10), (7.2,12) с (11.2.3).

Подставляя в (11.2.4) линеаризованные выражения д е‘к|,

и подставляя полученные выражения в (11.2.3)^ получаем энергети­ ческий эквивалент (в вариациях перемещений), минимизация кото­ рого дает критерий бифуркации:

( 11.2.6)

Иногда можно пренебрегать "почти кососимметричными" ин­ тегралами по толщине Sjjki, тогда (11.2.6) упрощается и форма кри­ терия становится более похожа на формулировку в упругости, когда рассматривается бифуркация состояния равновесия в полных функ­ циях (если считать тензоры Вуи, Dpi не функциями напряженнодеформированного состояния и свойств деградации, а константами материала).

Накопленный уровень усилий (напряжений) Ny на текущем ша­ ге инкрементальной теории должен нормироваться неизвестным па­ раметром, который и определяется из условия стационарности АП. Значение параметра проверяется на соответствие ведущему пара­ метру внешнего процесса, после чего делается вывод о том, проис­ ходит ли бифуркация в состоянии Sn.

1 1 .2 .2 .Критерии устойчивости для пологих оболочек.

Геометрическая модель с учетом поперечных сдвигов

В отличие от предыдущего п.11.2.1, здесь усложняются геомет­ рические инкрементальные соотношения, более сложный вид приоб­ ретают соотношения между обобщенными усилиями и деформа­ циями в приращениях. Эти соотношения для рассматриваемой здесь уточненной кинематической модели были получены в главе 6.

Получим выражение для энергетического эквивалента, стацио­ нарная точка которого определит возможность существования по-