книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

Формализм критериальной оценки длительнойустойчивости 211

применения критерия бифуркации процесса в предположении равноактивносги в деформационной теории. В теории наведен­ ной неоднородности уравнения состояния для этого же случая напряженного состояния дают такое выражение для упругого эк­ вивалента. Здесь следует отметить лишь внешнее совпадение матриц констант материала с наведенной неоднородностью и матриц констант упругого эквивалента в деформационной тео­ рии пластичности. Входящие в матрицы констант материала с наведенной неоднородностью параметры Ес и Ек являются секу­ щим и касательным модулями “объективной” диаграммы дефор­ мирования, а значит, они зависят не только от напряженнодеформированного состояния в точке материала, но и от функ­ ций деградации, то есть изменяются с течением времени. В связи с этим, в условиях перехода из состояния Sn в состояние Sn+i при фиксированной величине внешних нагрузок, такой переход обу­ словлен течением процесса деградации физико-механических свойств материала, то есть изменение Ес и Ек определяется кине­ тикой функций деградации, при этом компоненты матрицы констант упругого эквивалента конструкции с наведенной не­ однородностью в каждый фиксированный момент времени от­ ражают степень деградации свойств материала такой конструк­ ции.

Отметим возможность появления в процессе деградации свойств материала конструкции, нагруженной постоянной во времени нагрузкой, зон пассивного деформирования (зон раз­ грузки), так же, как это может иметь место при нагружении кон­ струкции до появления упругопласгических деформаций. На ша­ ге инкрементальной теории Sn выделение зон пассивного де­ формирования приводит для точек объема из этих зон к вырож­ дению выражений для компонент матриц констант упругого эк­ вивалента, так как для этих зон секущий и касательный модули объективной диаграммы деформирования будут равны моду­ лю пассивной ветви диаграммы (модулю разгрузки).

В связи с этим уравнения в приращениях, в основе кото­

представляют уравнения устойчивости с позиций бифуркацион­ ной концепции.

Глава 10. Вариационные критерии устойчивости в инкрементальной теории наведенной неоднородности

10.1. Понятие "упругого эквивалента" для тела с наведенной неоднородностью

Проблема устойчивости конструкций с наведенной неод­ нородностью свойств материала, рассматриваемая как устойчи­ вость процесса их деформирования при нагружении, и в услови­ ях деградации механических характеристик материала может быть сведена к проблеме устойчивости состояния равновесия не­ которого “ упругого эквивалента “ данной конструкции. При этом статический бифуркационный критерий устойчивости ( для классических задач называемый критерием Эйлера), описы­ вающий потерю устойчивости состояния равновесия конструк­ ции для упругости, формально примененный для исследования устойчивости состояния равновесия упругого эквивалента кон­ струкции с наведенной неоднородностью, позволяет определить точку бифуркации процесса деформирования конструкции. При этом получился критерий бифуркации процесса деформирова­ ния. в основе которого лежит условие появления наираннего (по времени и (или) нагружению ) момента неединственности про­ должения процесса деформирования конструкций с наведенной неоднородностью (глава 9).

При получении этого бифуркационного критерия за основу бьши взяты гипотезы и соотношения инкрементальной теории наведенной неоднородности, изложенные в предыдущих главах, а также понятие упругого эквивалента конструкции с наведенной неоднородностью.

Остановимся более подробно на понятии упругого эквива­ лента, который будет использован далее для формулирования •вариационного, или “энергетического”, критерия устойчивости процесса деформирования конструкции с наведенной неодно­ родностью.

' Упругий эквивалент, как уже было отмечено, представляет собой гипотетическую конструкцию, форма и геометрические размеры которой совпадают с исходной конструкцией с наве­

денной неоднородностью. Теория строится таким образом, чтобы ее соотношения содержали все необходимые уравнения для перехода из состояния Sn в состояние Sn+i. Таким образом, через промежуточные состояния совершается переход из So в со­ стояние S r, где требуется знать решение. Как обычно в инкре­ ментальных теориях, состояние Sn+i отличается от состояния Sn бесконечно мало (меру этой малости определяет возможность линеаризации определяющих уравнений по отношению к при­ ращениям переменных состояния).

Упругий эквивалент конструкции, согласно принятой кон­ цепции в определении устойчивости как наираннего момента процесса, когда возможна неединственность для определяемых приращений, а именно в точке бифуркации первого порядка в предположении равноактивносги возможных продолжений, оп­ ределен в каждом из состояний Sn матрицей констант упругого эквивалента, а именно Т р , которая известна на каждом шаге процесса деформирования Sn.

Таким образом, упругий эквивалент меняется от состояния Sn к состоянию S n + i . При этом каждый упругий эквивалент имеет смысл лишь в пределах данного шага. Для упругого эквивалента справед/лнвы линейные физические и геометрические законы; в качестве физических констант неоднородного упругого тела, связывающих напряжения и деформации упругого эквивалента, фигурирует Туи.

Врамках геометрически и физически линейной теории уп­ ругости запись физических и геометрических зависимостей воз­ можна как в полных функциях, так и в приращениях, обе записи эквивалентны. В нелинейных теориях законы деформирования в полных функциях и в приращениях, конечно, различны.

Врамках инкрементальных теорий соотношения задают­ ся для приращений, которые являются искомыми на каждом эта­ пе деформирования, полные функции получаются суммировани­

ем приращений, полученных на шагах. Таким образом, в рамках инкрементальной теории наведенной неоднородности с каждой точкой тела связаны тензоры приращений деформаций и напря­ жений и тензоры полных деформаций и напряжений.

Возвращаясь к понятию упругого эквивалента на данном этапе деформирования, следует отметить, что с каждой точкой упругого эквивалента следует связывать его тензор напряжений и деформаций, понимая их, как в упругости, полными функция­

ми для упругого эквивалента, тогда как в отношении к исходно­ му телу с наведенной неоднородностью они выступают как тен­ зоры приращений напряжений и деформаций.

Будучи весьма полезными при решении вопросов, связан­ ных с устойчивостью процессов нелинейного деформирования тел с наведенной неоднородностью, упругие эквиваленты про­ цесса деформирования ни в коем случае не могут быть исполь­ зованы вместо инкрементальной теории для получения состоя­ ния Si,+i из состояния S«. Упругий эквивалент состояния Sn+i не может быть получен из упругого эквивалента состояния Sn. Не­ обходимо для получения Sn+i сделать полный шаг инкремен­ тальной теории, получить все соотношения, жесткостные мат­ рицы и только после этого будет построен упругий эквивалент состояния Sn+l.

Из сказанного следует определение понятия упругого экви­ валента в инкрементальной теории наведенной неоднородности.

Упругим эквивалентом состояния Su называется линей­ но-упругое неоднородное анизотропное тело, для которого:

•форма и геометрические размеры совпадают с рассматри­ ваемой конструкцией с наведенной неоднородностью;

•тензором упругих констант является тензор Ч'дм, получен­ ный в теории для шага Sn;

•имеются предварительные напряжения су, равные сум­ марным напряжениям шага Sn;

•тензорами напряжений и деформаций (полными) являются приращения напряжений и деформаций, определенные в теории для перехода из S« в Sn+i;

•геометрические зависимости принимаются линейными.

Формализм упругого эквивалента применяется здесь только для бифуркационных формулировок.

10.2.Энергетический критерийустойчивости

взадачах с физической нгеометрической нелинейностью

Рассмотрим физически и геометрически нелинейную зада­ чу из п.5.1, определенную зависимостями (5.1.1) - (5.1.6), для ко­ торой выполнено (5.2.6):

- закон связи тензоров напряжений и деформаций

Из этого критерия следует, что все геометрически и физиче­ ски линейные конструкции устойчивы, так как для них плот­ ность энергии положительно определена.

Рассмотрим здесь один из приемов определения критиче­ ской нагрузки, идея которого вместе с терминологией считается принадлежащей Треффтцу. Используется при построении и применении бифуркационных формулировок довольно часто, преимущественно в линейной упругости [1,31,37,59,154 и др]. Оп­ ределяется "наинизшая" критическая нагрузка, при превыше­ нии которой тело теряет устойчивость впервые при монотонном нагружении.

Вводится специально выбранный функционал N, который является положительно определенной квадратичной формой от 6Ц и их производных. Среди допустимых виртуальных переме­ щений 5Ui найдем такие, которые доставляют минимум функ­ ционалу X:

Если полученный минимум будет положителен, то конфи­ гурация устойчива, это очевидно. Проварьируем (10.2.11) по 5Ui и эту вариацию обозначим 5Л, в отличие от варьирования по Ui:

Найдем такие 5Ui, которые доставляют X минимум, следо­ вательно, должно быть 8*Х = 0, что приводит к

Рассмотрим вид (10.2.13): 5Л(62П) и 5лМ-линейные формы относительно 5Ui, а следовательно, (10.13)-задача на собствен­ ные значения, где X - собственные значения, a 5Ui - собственные формы. Если из всех собственных значений взять наименьшее, то именно это X - минимум (10.2.13). Таким образом, если мини­ мальное собственное значение (10.2.13) положительно, то 52П > О, конфигурация устойчива при заданных внешних нагрузках в

П. При изменении внешних нагрузок минимальное собственное значение в (10.2.13) может стать нулевым. Такая нагрузка, при которой это происходит впервые, если монотонно ее увеличи­ вать, будет критической. При этом, полагая в (10.2.13) X = 0, приходим к вариационному уравнению

отметим, что окончательный результат не зависит от функ­ ционала N. который был использован для нормирования вирту­

собственные значения. Эта краевая задача позволит найти все критические нагрузки и критические конфигурации, при кото­ рых одно собственное значение X будет нулевым. В частности, таким свойством будет обладать минимальное собственное зна­ чение краевой задачи. Именно эта нагрузка и должна быть при­ нята в качестве критической, если ставится цель - определить наираннюю критическую нагрузку при монотонном нагружении.

Ю.З.Варнацнонний критерий устойчивости для нелинейно деформируемых тел

Рассмотрим критерий устойчивости для физически и гео­ метрически нелинейных тел в вариационной формулировке с бифуркационных позиций. При этом, как можно будет видеть, и в этой постановке речь идет об устойчивости состояния равнове­ сия.

Будем исходить из наиболее общей формулировки закона деформирования (10.2.1). Задачу устойчивости рассмотрим с би­ фуркационных позиций, когда критической нагрузкой считается

такая минимальная нагрузка, при которой появляется возмож­ ность существования двух бесконечно близких смежных равно­ весных конфигураций.

Известно, что такая постановка задачи для тел, материал которых деформируется по линейному закону Гука, характерна для получения статического критерия Эйлера. В классических постановках задач при этом принимаются гипотезы о том, что до потери устойчивости тело напряжено, но не деформировано, и что закон Гука справедлив для любого уровня напряжений.

Здесь откажемся от таких допущений.

Рассмотрим исходную равновесную конфигурацию, иссле­ дуемую на устойчивость {aij,eij,Ui,Pi,Fi}, где, по-прежнему, aij.eij - компоненты тензоров напряжений и деформаций, связанные законом (10.2.1); Ui - компоненты вектора перемещений, связан­ ные с деформациями нелинейным законом (10.2.4); Pi и F* - ком­ поненты внешних массовых и поверхностных нагрузок. Ка уча­ стках границы Si и S2 заданы граничные условия (10.2.5) и

( 10.2.6) .

Рассмотрим смежную равновесную конфигурацию {<Kj+aAij, eij+eAij, U i+U Ai, Pi+PAi, Fi+FAi}. Запишем принцип виртуальной работы для смежной конфигурации, при этом варьировать бу­ дем только U Ai (что вполне эквивалентно варьированию Ui+UAi):

f( Cij+<S;)8e;dv-fff(p1+ K )8U ,'dv -Jj;(Fl+F?)5U;ds=0. (10.3.1)

Геометрические зависимости для смежного состояния:

2(eij+ejj)=“ (lJi+U1”)+ ^(U j+ U ;)+ ~ j(Uk+ u k)+” (Uk+Uk)< (Ю.3.2)

Геометрические зависимости (10.2.3) и (10.3.2) дают соотно­ шения для приращений деформаций еАу, из которых варьирова­ нием по U Ai получаем •

aufl/aufl _

a t i A a y J

(10.3.3)

Разложим первый из интегралов в (10.3.1) на два слагаемых и для первого из них выполним преобразования, используя (10.3.3), а также симметричность тензора напряжений и свойства немого суммирования для тензорной записи. Тогда получим

Первый из интегралов правой части (10.3.4) преобразуем по формуле Грина для интегрирования объемных интегралов по частям:

(10.3.5)

Подставляя в (10.3.1), имеем:

Принимая во внимание уравнения равновесия и граничные условия в геометрически нелинейной постановке, получаем

Принцип (10.3.7) эквивалентен (10.3.1), до сих пор никакой линеаризации не производилось. Исходная конфигурация от­ ражена в су и Ui, входящих в геометрические соотношения.