книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

(3.3.8)

Решая последовательно уравнения (3.3.8), найденные решения подставим в (3.3.7) и, полагая А=1, получим решение линеаризован­ ной модели. Этот метод в дальнейшем будем называть методом по­ следовательного улучшения решения.

Сходимость выражений (3.3.7) зависит в первую очередь от удачного выбора упрощенного оператора А'. , от его близости к оператору А’.

Рассмотрим этот вопрос более подробно. Заметим вначале, что при вычислении дифференциала Фреше изменения коснутся тех групп уравнений фундаментальной системы, где есть нелинейность. В линейных же уравнениях просто надо функции заменить их при­ ращениями.

Если положить, что мы рассматриваем геометрически линей­ ную и физически нелинейную задачу, то нас будут интересовать фи­ зические уравнения (3.3.3).

Приведенную выше методику рассмотрим на примере одного из уравнений:

(3.3.9)

В дальнейшем коэффициент перед скобками обозначим

(3.3.10)

Сначала необходимо выполнить линеаризацию уравнения (3.3.9). Для этого, следуя методу последовательного возмущения па­ раметров, перепишем (3.3.9) с учетом обозначения (3.3.10) в виде:

Подставляя (3.3.15) в (3.3.14) и приравнивая выражения с оди­ наковыми степенями параметра £ справа и слева от знака равенства, получим последовательность уравнений

Л0 <»> = Е ё ( л Е'»>+ 1 д Е5»*+ 1де< ”>).

■' (л с Г 0 + { Ае Г ‘’ + \ Де Г ' ‘) + Д Е с (Д е Г ' ’) [ е х + ^ е >. + ^ в 2) •

Следует обратить внимание, что второе и третье слагаемое в каждом из выражений (3.3.16) (кроме первого) следует полагать из­ вестными по мере роста индекса п.

Используя в фундаментальной системе уравнений первое из уравнений (3.3.16), выделяем так называемую главную часть реше­ ния в (3.3.15). Используя последовательно выражения (3.3.16), мож­ но найти поправки к главной части решения. В остальных же урав­ нениях фундаментальной системы искомым функциям необходимо присваивать последовательно с улучшением решения соответствую­ щий индекс приближения n=0.1,2......

Сходимость рядов (3.3.15) в значительной степени зависит от методики вычисления секущего модуля Ес*. Здесь возможны различ­ ные варианты. Если рассматривается тонкостенная конструкция, то возможна следующая упрощающая гипотеза: считаем, что по толщи­ не h тонкостенной конструкции можно пренебречь изменением Ес(х, у, z) при определении приращений функций на этапе нагружения:

-W2

Возможен и более сильный вариант, когда Ес(х, у, z) заменяется константой Е*, например, по формуле:

где а и b - размеры конструкции в плане. В этом случае разрешаю­ щие уравнения и для определения главной части решения, и при оп­ ределении соответствующих поправок будут уравнениями с посто­ янными коэффициентами. Более детально вопрос о построении опе­ ратора при выделении главной части решения обсуждался в [222].

В случае поверхностной коррозии, описываемой кинетически­ ми уравнениями (а), (б), (в), (г), (д) в (3.3.17), (3.3.18), полагаем, что Ес не зависит от параметра поврежденности ©, а пределы интегри­ рования (от -h/2 до +h/2) заменяем на 0.5h- 5(х, у).

Таким образом, математическая модель в рассматриваемых за­ дачах может представлять собой либо систему нелинейных диффе­ ренциальных уравнений, либо систему линеаризованных уравнений рекуррентного вида, либо рекуррентную систему линейных уравне­ ний рекуррентного вида.

При решении конкретных задач возможно рассмотрение до­ полнительных гипотез, вытекающих либо из тонкостенности конст­ рукции, либо из конкретных условий взаимодействия материала кон­ струкции с агрессивной средой.

3.4.Обобщенная форма МПВП при построении инвариантных уравнений состояния

Совокупность уравнений математической модели представим

ввиде операторного уравнения (3.3.4) /223/:

Вкачестве метода анализа математической модели используем МПВП, при этом уравнения математической модели в приращениях приобретают вид (3.3.5).

Отметим, что параметры м....к„ могут быть разделены на три

принципиально различные группы:.

1) группа параметров , которая возмущается в силу приня­ той стратегии получения решения поставленной задачи. Эта группа параметров не связана с процессом развития деградации физико­ механических характеристик материала. Их возмущение, в силу это­ го, не носит необратимого характера. Эти параметры могут получать

76 Метод последовательных возмущений

приращения в различной последовательности как в сторону увеличе­ ния их значений, так и в сторону уменьшения, при необходимости приращения этих параметров могут полагаться равными нулю, что позволяет преодолевать трудности, возникающие при численной реализации ряда задач;

2) группа параметров, связанная с процессом развития де­ градации физико-механических свойств материала. Эти параметры не могут получать произвольные приращения. Их изменение связано, с особенностями протекания этого процесса, а так как последний не может развиваться вне времени, то изменение всех этих параметров обусловлено изменением параметра времени. Таким образом, воз­ мущение параметра времени должно однозначно определять значе­ ния параметров этой группы;

3) группа параметров, связанная с историей процесса де­ формирования физически нелинейного материала. Возмущение этих параметров обусловлено возмущением напряженно-дефор­ мированного состояния вследствие приращения параметра нагрузки.

Очевидно, что часть параметров задачи может принадлежать как ко второй, так и к третьей группе. Например, если диаграмма деформирования физически нелинейного материала изменяется в результате деградации свойств материала, то секущий модуль диа­ граммы деформирования, рассматриваемый как параметр третьей группы, входит также и во вторую группу параметров.

Допустим, что рассматривается задача расчета конструкции из физически нелинейного материала в условиях деградации физико­ механических свойств материала, причем стратегия решения такова, что возмущать параметры первой группы не требуется. Тогда для записи уравнений математической модели в приращениях достаточ­ но задать возмущение параметра времени и, как следствие, получат вполне определенные возмущения все параметры второй группы. В качестве второго параметра возмущения примем один из параметров напряженно-деформированного состояния конструкции (нагрузку, заданное смещение границы и т.п.), возмущение которого повлечет изменение значений параметров третьей группы. Назовем эти пара­ метры возмущения ведущими. В случае, если часть параметров принадлежит одновременно второй и третьей группам, то они изме­ няются при возмущении любого из ведущих параметров.

3.5. Модификация МПВП для решения задач устойчивости и закритического деформирования

Распространение метода последовательных возмущений пара­ метров на задачи устойчивости приводит к необходимости учета од­ ной особенности построения нелинейных уравнений устойчивости — возможности исследования закритического поведения конструкции.

Впрактике применения МПВП предусматривается сочетание возмущения параметров с линеаризацией нелинейных членов, что является в общем случае препятствием к осуществлению выхода на закритические решения нелинейных уравнений.

Вданном случае свяжем вопрос о линеаризации со стратегией получения закритических решений, что наложит определенные тре­ бования к проведению линеаризации и повлечет за собой необхо­ димость сохранения, в ряде случаев, некоторых нелинейных членов /224/.

Рассмотрим методику применения МПВП к получению закри­ тических решений на примере цилиндрической панели, нагружен­ ной продольными усилиями вдоль образующей, относящуюся к за­ дачам устойчивости и закритического поведения тонкостенных кон­ струкций с нулевым докритическим состоянием в условиях воздей­ ствия агрессивных сред. Материал цилиндрической панели нели­ нейно упругий, причем жесткостные характеристики панели изме­ няются во времени в результате взаимодействия с агрессивной сре­ дой.

Применение вариационного метода Бубноёа-Галеркина в пер­

вом приближении позволяет в общем случае свести нелинейные уравнения панели к алгебраическому уравнению:

здесь f — амплитуда прогиба в центре панели; Р — параметр на­ грузки; <D,T,F — переменные жесткостные коэффициенты, завися­ щие от напряженно-деформированного состояния и параметра

78 Метод последовательных возмущений

времени. Считаем, что кривизна панели, входящая как параметр в Ф и ¥ , не происходит только по симметричной форме.

Допустим., что кривизна равна нулю. При этом потеря устойчи­ вости происходит через смежные равновесные формы.

Вошедшая в практику расчетов форма применения МПВП предполагает сохранение при возмущении параметров лишь глав­ ных линейных членов приращений. То есть в этом случае для при­ ращения секущего модуля имеем следующее выражение:

(3.5.2)

Коэффициент Пуассона р=1/2 в силу принимаемой здесь гипотезы о несжимаемости материала. После применения МПВП в форме (3.5.2) и при сохранении нелинейных членов в группе геометрических со­ отношений получим:

здесь ФДРДФс, Fc— жесткостные коэффициенты в возмущенном и невозмущенном состоянии, связанные с секущим модулем диа­ граммы деформирования материала с наведенной неоднородностью; Фк ,Fk — невозмущенные жесткостные коэффициенты, связанные с касательным модулем диаграммы.

Полагая, что потеря устойчивости при происходит при f=0, ДР=0, Рф = -Фк (Рф — фиксированный во времени уровень нагрузки, равный при t=tKp касательномодульной критической нагрузке), из (3.5.3) видим, что выход на закритическую ветвь равновестных форм невозможен, несмотря на сохранение в (3.5.3) нелинейных относи­ тельно приращения прогиба членов. Это связано с тем, что в дан­ ный момент времени t=t»<p сжатоизогнутая форма равновесия отсут­ ствует (рис.64).

Провести исследование закритического поведения в данном случае возможно введением неоднородности в уравнение (3.5.3) че­ рез начальные несовершенства, например, в виде малой поперечной нагрузки.

В случае ненулевой кривизны панели, потеря устойчивости ко­ торой сопровождается "хлопком", то есть переходом к удаленным

равновесным состояниям, применение МПВП в форме (3.5.2) к по­ строению закритических решений возможно только при сохранении членов нелинейных относительно прирашений перемещений. Не­ линейное уравнение в приращениях для цилиндрической панели будет иметь вид:

A Pf+ (ok+P)Af+ 4^2fAf+Af2) + F k(3f2Af+3fAf2+Af3) =

= -(® :-® c)f-(4<:-4'c)f-(Fc--Fc)f5= o . ( 3 5 4 )

Жесткостные коэффициенты в (3.5.4) имеют такой же смысл, как и в уравнении (3.5.3).

В данном случае, при t = Ц ,, АР = 0, Рф = -Фк , наряду с нуле­ вой (f=0) исходной равновестной формой, существуют удаленные сжато-изогнутые формы равновесия, переход к которым, как показы­

сохранение в уравнениях в приращениях МПВП в форме (3.5.3) не­ линейных относительно возмущений членов не всегда дает возмож­ ность выхода на закритическое решение. В частности, это невоз­ можно, когда переход от нулевого докритического состояния к смежному сжато-изогнутому состоянию осуществляется при условии возрастания величины параметра, с помощью которого определя­ ются равновестные формы.

Для преодоления указанных трудностей необходимо, наряду с сохранением нелинейных относительно приращений перемещений членов, производить одновременное, или параллельное, возмуще­ ние двух параметров, являющихся в данном случае ведущими.

Для применения МПВП в форме (3.5.3) необходимо записать производную Фреше оператора левой части уравнений равновесия и совместности, а физические состояния записать в приращениях в линеаризованном виде. Проводя аналогию с функцией многих па­ раметров y(xi,...,xn), получим представление приращения функции в виде главного линейного члена:

80 Метод последовательных возмущений

Лу=1Ё К (ЗД5)

Для параллельного возмущения параметров, наряду с сохра­ нением главного члена приращения, необходимо сохранить квадра­ тичную нелинейность:

Ах, + 2 к Ц

Отметим, что нелинейные члены при K=j обращаются в ноль, так как физические уравнения всегда можно привести к форме ин­ вариантной относительно любого воздействия агрессивной среды, содержащей лишь квадратичную нелинейность. Оставшиеся квадра­ тичные нелинейные члены соответствуют совместному возмущению параметров, причем для выхода на закритическое решение доста­ точно наличия одного из этих членов, что позволяет с помощью вы­ бора различных пар параметров осуществить различную стратегию выхода на закритическое решение. В качестве такой пары парамет­ ров примем.параметр напряженно-деформированного состояния е* и параметр • времени t. Приращение секущего модуля в этом случае определяется выражением

Применение МПВП в форме (3.5.7) для расчета конструкций, теряющих устойчивость через смежные равновесные формы, дает в момент потери устойчивости при tFtq, уравнение для определения ненулевого значения приращения прогиба на первом шаге по време­ ни вдоль ответвляющегося решения при фиксированной нагрузке, что позволяет полностью построить закритическую ветвь равновес­ ных форм. В частности, для рассмотренного случая панели нулевой кривизны, после применения МПВП в форме (3.5.7) получим:

APf+ ДРДГ+ (ф1+Р)дГ + Fk(3f2Af+3fAf2+Af3) +

(3.5.8)

+(фс~Фс)г + (F J- Fc) f =0 •