книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек
..pdfПостроение функций деградации |
51 |
В соотношениях для aj(ej) a s — некоторое предельное |
напря |
жение. В теории пластичности c s - a t (at — предел текучести). Для материалов, имеющих диаграммы без четко выраженной площадки текучести a s = a B(ств — предел прочности). Указанным напряжени ям, соответствует деформация as , принимающая смысл, как и у со ответствующего напряжения. Эти зависимости могут быть использо ваны для аппроксимации объективных диаграмм деформирования. При этом изменение их параметров (as , es ,Е ,G0 ,G L и других) должно отражать развитие наведенной неоднородности материала.
При аппроксимации объективных диаграмм деформирования потребуем, чтобы точка R совпадала на диаграмме деформирования с точкой, соответствующей началу разрушения (стг , ег) в любой мо мент времени т (рис.60). Приняв, что в момент разрушения о=стг и е=ег на основании введенного критерия объективной прочности, по лучим, что a r=op и е=ер, где а р и ер определены условиями (2.2.7) и
(2 .2 .8).
В этом случае, при наличии соответствующих эксперимен тальных данных, на основании введенных критериев разрушения возможно построить функции деградации для параметров объектив ных диаграмм деформирования, используя закон изменения объек
тивной |
прочности материала Rp. |
Полагаем, что изменение физико-механических свойств в точке |
|
материала приводит к изменению положения точки R на плоскости |
|
cijOei |
(рис.60), то есть а г=Ог(т,стэ,Т) и ег=е,(т,сэ,Т) (рис.61). |
Рис.60 Рис.61 Введем две функции деградации Фа и Фе так, что
52 Основные положения теории наведенной неоднородности
СТр=ог°Ф*(т,сГз,Т), ер=ег°Фв(х,оэ,Т).
Здесь (рис.61) очевидно, что при т=0 Фв= Фс=1; при т=тр Фв= Оэ/стг0 ; Фе=£р/ег° , при этом из условия хр(ер)= тр(с3,Т) можно запи сать ер= ер(стэ,Т).
На основе кинетического уравнения для объективной прочно сти материала (2.2.10) получим кинетические уравнения для дегра-
дационных функций Фв и Фс: |
|
||
6ФВ |
-ST (ф«)*(а+ 1)тр |
( 2.3.29 ) |
|
dx |
|||
|
|||
|
|
||
с!Фс |
|
(2.3.30) |
|
dx |
J (фс) > + 1)хр |
||
|
|||
|
|
||
Коэффициенты "а" и "в" в этих кинетических уравнениях опре деляются путем аппроксимации экспериментальных кривых с по мощью зависимостей, получаемых для a 3=const, T=const.
(2.3.31 )
(2.3,32)
Деградационные функции можно ввести и как функции пони жения a r° , ег° :
Фй=1-у«(г,стэ,Т), |
(2.3.33) |
Построение функций деградации |
S3 |
Фе=1-Ч'е(т,аэ,Т). |
(2.3.34) |
Тогда при т=0 щ = \j/c=0, при т = т р v|/5 =1- стэ/а г° ; vj/e =1 - ер /бг° . Кинетические уравнения в этом случае будут иметь вид:
|
Г, |
|
1 |
(2.3.35) |
dT |
^ |
|
(ч/6)а(а + 1)т |
|
|
|
|||
d 4't Г, |
£р(а.Т)У*'___ |
(2.3.36) |
||
* ' I |
|
* |
J W(У-.' V ' K |
|
|
|
|||
Зависимости для \|/g и vj/c |
при постоянных стэи Т: |
|
||
’• - Н |
) ( г ) “ |
(2.3.37 ) |
||
|
||||
|
|
|
|
(2.3.38) |
Полученные деградационные функции можно различными спо собами ввести в аппроксимации объективных диаграмм деформиро вания.
Например, в случае экспоненциальной зависимости будем иметь:
0i = „ > |
5[ l - e x p ( - - ^ - ) |
(2.3.39) |
„ = « Ц |
. - е х р ( - - ^ - ) |
(2.3.40) |
Для экспоненциальной зависимости с нелинейным упрочнением:
54 Основные положения теории наведенной неоднородности
( 2.3.41 )
(2.3.42)
Для параболической зависимости Ф.И.Герстнера:
(2.3.43)'
. Для кубической зависимости П.А.Лукаша:
(2.3.44)
Отметим, что возможны и другие варианты введения деградационных функций.
Анализ полученных зависимостей, аппроксимирующих объек тивные диаграммы деформирования, показывает, что при выборе подходящей аппроксимирующей функции возникает дилемма: чем сложнее функция, тем больше она содержит подлежащих определе нию свободных параметров, и чем. точнее она аппроксимирует ре альную кривую, тем большие трудности возникают при определении
еепараметров.
Всоотношениях (2.3.39)-(2.3.44) используется минимальное число таких параметров: введены две деградационные функции. По этому, в соответствии с терминологией работы /225/, полученные соотношения представляют собой главную часть для возможных более точных аппроксимаций реальных диаграмм деформирования.
Таким образом, построенные соотношения позволяют каж дой точке материала конструкции в каждый фиксированный момент
времени поставить в соответствие два числа Фр и Фс , характери зующие деградацию объективной прочности и объективную диа грамму деформирования материала.
Построение функций деградации |
55 |
Возвращаясь к вопросу организации алгоритма нахождения решения по шагам, рассмотрим, наряду с объективной поверхностью деформирования, поверхности деградации, например поверхность деградации щ , описывающую понижение объективной прочности материала (рис.62,63). Уровень деградации свойств в точке материа ла будет характеризоваться в любой момент времени положением изображающей точки "А" на поверхности деградации. Изменение уровня деградации в точке материала описывается траекторией пе ремещения изображающей точки по деградационной поверхности АА* (рис.63).
г
Рис. 62 |
Рис.63 |
При решении задачи в приращениях траектория представляет собой ломаную кривую, проходящую по деградационной поверхно сти, участки которой задаются чередованием шагов по т и о э .
В пределах шага по т участок ломаной линии задается как часть сече.ния деградационной поверхности плоскостью, перпенди кулярной к оси суэ , в пределах шага по оэплоскостью, перпендику лярной оси щ . Это позволяет получить рекурентное выражение па раметра v|/& на к-м шаге по времени:
(2.3.45)
Аналогичное выражение для \|/*к) будет:
56 Основные положения теории наведенной неоднородности
Ч«! |
(2,3.46) |
|
В качестве примера будем полагать, что зависимость предель ных деформаций Ер от времени разрушения тр возможно аппрок симировать гиперболической зависимостью вида Tp=N/(€p)n , а кри вую длительной прочности — зависимостью (2.2.2 ), тогда
(2.3.47)
Рекуррентные выражения (2.3.45) и (2.3.46) примут вид:
Здесь а э — эквивалентное напряжение на к-м шаге по време ни; Дтк — переменный шаг по времени. Расчетное время взаимо действия вычисляется как сумма шагов по т. т=£Дтк .
Напомним, что время взаимодействия x=t-T0 имеет для каждой точки объема материала свое начало отсчета т0 , связанное со скоро стью движения фронта деградации физико-механических свойств
Построение функций деградации |
57 |
материала. В частности, принимая, что глубина пораженного слоя материала .6 пропорциональна корню квадратному из времени t:
<? = hVл/t , |
(2.3.50) |
где h — толщина стенки конструкции; V — скорость процесса, по лучим условие начала отсчета времени взаимодействия т для точки объема материала, отстоящей от поверхности на некотором фикси рованном расстоянии 2ф : 8=гф . Отсюда получим, что x=t-z$2/(hV)2. Очевидно, что при t<2^2/(hV)2 деградации физико-механических свойств материала не происходит (Т в=Тс=0).
В общем случае время начала отсчета т0 может определяться на основе кинетической зависимости, оно может быть также связано с достижением в рассматриваемой точке тела определенного уровня концентрации среды,вызывающей изменение физико-механических свойств материала.
Таким образом, построенные на основе деформационной тео рии деградационные функции для учета наведенной неоднородности материала, позволяют на основе алгоритма последовательных вы числений строить траектории движения изображающих точек по деградационным поверхностям с помощью решения задачи в прираще ниях. Это дает возможность устранить основной недостаток соотно шений на основе деформационной теории - отрицание влияния ис тории деформирования. Положенная в основу рекуррентных фор мул для вычисления деградационных функций система кинетичес ких уравнений позволяет учесть историю деформирования и исто рию изменения физико-механических свойств материала.
58 |
Метод последовательных возмущений |
Глава 3. Метод последовательных возмущений параметров при решении нелинейных задач
сучетом наведенной неоднородности
3.1.Расчетные алгоритмы на основе линеаризации задач теории
пластичности и ползучести
Уравнения в приращениях, учитывающие историю деформи рования, имеют место при использовании теорий пластического те чения и ползучести, где предполагается справедливым "постулат суммирования" (de^defj+dEij+deg, где ds§ - delj. deg — деформа
ции упругости, пластичности и ползучести). Деформации пластично сти и ползучести описываются следующим образом:
— теория пластического течения /19,21/
|
|
. P_3de{ . . |
|
|
|
defi- ~— о» - |
|
|
|
2а; |
|
— |
теория течения/125/ |
|
|
|
|
3V |
* |
|
|
deij ~ |
Oijdt, |
|
|
2ai |
|
— |
теория упрочнения /241/ |
|
|
|
|
3V |
* |
|
|
dEij=- |
CTijdt. |
|
|
2oi |
|
|
.Здесь d б Г» |
— накопленная |
интенсивность пластической де |
формации; dE?* — |
накопленная интенсивность деформаций ползуче |
||
сти; V- скорость деформаций ползучести.
Соотношения "деформации-напряжения" для пластичности и ползучести обладают существенной нелинейностью.
При решении задач теории пластичности и ползучести оказа лись эффективными способы построения расчетных алгоритмов, ос нованные на линеаризации. К ним относятся широко известные: ме тод упругих решений А.А:Ильюшина /86/, метод переменных пара метров упругости и метод дополнительных деформаций И.А.Биргера /16-20/.
Расчетные алгоритмы |
59 |
Расчетные алгоритмы на основе этих методов позволяют учи тывать упругость, пластичность и ползучесть конструкционных ма териалов, а также неизотермическое деформирование. Сходимость этих итерационных процессов к решению задачи, как было показано в работах И.И.Воровича, Ю.П.Красовского /46/ и.Ю.М.Темиса /277/, обладает линейной скоростью. Скорость сходимости метода упругих решений и метода дополнительных деформаций может быть оценена параметром сжатия энергетической нормы невязки решения при переходе от шага к шагу (3=1- Е^/Е, где Е* — средний касательный модуль кривой деформирования, а Е - модуль упруго сти /46/. Скорость сходимости метода переменных параметров уп ругости может быть оценена /277/ параметром сжатия р=1- Ек/Ес, где Ес— максимальный секущий модуль кривой деформирования на шаге.
Более высокой скоростью сходимости обладают итерацион ные процедуры, основанные на методе Ньютона-Канторовича /122/. Близкий к нему по структуре метод предложен Б.Е.Победрей /234238/, названный им быстросходящимся методом решения нелиней ных задач пластичности и вязкоупругости. Метод основан на линеа ризации соотношений, связывающих напряжения и деформации, за мене их зависимостями в приращениях и построении линейного опе ратора, являющегося производной Фреше оператора задачи.
Численный метод решения задач пластичности, основанный на сведении задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений на разностной сетке, предложен В.Н.Кузнецовым /165/. Нелинейная алгебраическая система уравнений линеаризуется методом нелиней ной релаксации, эквивалентным методу Ньютона-Канторовича.
Алгоритм решения задач расчета пластин и оболочек, основан ный на линеаризации соотношений между деформациями и напря жениями для двухосного напряженного состояния с последующим применением метода Ньютона-Канторовича, предложен В.И.Мяченковым с соавторами /190/. Результаты численной реализации этого алгоритма при решении упругопластических задач расчета осесим метричных оболочечных конструкций приводятся Ю.А.Супоневым
иВ.Н.Юсовым в /272/.
Вработе Ю.М.Темиса /278/ предложен метод решения нели нейных задач деформационной теории пластичности, названный ме тодом последовательных нагружений с коррекцией погрешности,
60 Метод последовательных возмущений
который переходит при определенных условиях в метод НьютонаКанторовича.
Соотношения метода Ньютона-Канторовича в /274,278/ полу чены из принципа возможных перемещений Лагранжа.
Линеаризация нелинейного вариационного соотношения в окрестности точного решения задачи дает соотношения для линей ного оператора, являющегося производной Фреше нелинейного оператора задачи деформационной теории пластичности. В работе /275/ автором проведено доказательство сходимости метода Ньюто на-Канторовича в задачах деформационной теории пластичности, при этом показано, что модифицированный метод сходится к реше нию задачи с линейной скоростью, а основной метод НыотонаКанторовича обладает квадратичной скоростью сходимости.
В нелинейных задачах с учетом наведенной деградации свойств материала также возможно применение итерационной процедуры
решения, основанной |
на методе переменных параметров упруго |
сти И.А.Биргера /262/. |
В /262/ предложен итерационный алгоритм, |
являющийся одной из модификаций метода переменных параметров упругости. Замкнутая система соотношений, принятая в /262/ для расчета конструкций с наведенной деградацией свойств материала, содержит:
•уравнения равновесия конструкций с соответствующими граничными условиями;
•соотношения деформационной теории в форме метода пе ременных параметров упругости, содержащие систему деградационных функций для описания процесса развития наведенной деградации свойств материала;
•систему кинетических уравнений для функций деградации. Деградация свойств материала описывается кинетическими
уравнениями с правой частью, зависящей от напряженного состоя ния, для решения которых применяются шаговые процедуры типа Рунге-Кугга, позволяющие вычислить значения функций деграда ции в фиксированный момент времени через их значения на к-1 ша ге. Значения деградационных функций на k-м шаге по времени ис пользуются при вычислении переменных параметров упругости в итерационном процессе, организуемом на обобщенной диаграмме деформирования для данного фиксированного момента времени. Предложенная в /262/ модификация итерационного процесса не на кладывает дополнительных, по сравнению с классическим методом