книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

денной неоднородностью свойств материала доставляет функциона­ лу П * минимум на множестве допустимых полей приращений пере­ мещений. Функционал П * соответствует принципу возможных пе­ ремещений.

Вводя аналогию упругим задачам, следует отметить, что вариа­ ция П * для упругих задач представляет собой вариацию полной по­ тенциальной энергии и может быть записана как в полных функцияхдак и в приращениях, обе формы записи эквивалентны. После то­ го, как функционал П * построен и вариационный принцип доказан, можно применить процедуру построения приближенного решения задачи методом Ритца. Для этого нужно конкретизировать П * для заданной конструкции, системы нагрузок, геометрических и физиче­ ских соотношений.

7.4.Иллюстрация экстремальных свойствфункционала

Вкачестве примера рассмотрим цилиндрический изгиб шар­ нирно закрепленной прямоугольной в плане пластины под действи­ ем поперечной равномерно распределенной нагрузки q в геометри­ чески линейной постановке с учетом физической нелинейности ма­ териала с наведенной неоднородностью механических свойств.

Потенциальная функция ДП в этом случае в безразмерной форме

ДП = З13 ДПр 4Еоп

(ДПрразмерная функция, где 1 — размер пластины в плане, h — толщина пластины) имеет вид:

А П = /{| Т [е к Деп+2ДЕсецAenJdz-AqAwjdx . (7.4.1)

Здесь Ек — касательный модуль ’'объективной” диаграммы де­ формирования; ДЕс — приращение секущего модуля "объективной" диаграммы деформирования, обусловленное развитием процесса де­

152 Построение вариационного функционала

градации свойств материала; Aq — интенсивность поперечной на­ грузки.

В качестве аппроксимирующей зависимости для "объектив­ ной" диаграммы деформирования примем кубическую зависимость П.А.Лукаша:

где Бо — модуль упругости материала; ш — параметр диаграммы, изменяющийся в процессе деградации механических свойств мате­ риала.

Такое простейшее описание процесса деградации свойств ма­ териала с наведенной неоднородностью носит модельный характер, однако все дальнейшие рассуждения остаются справедливыми и для более сложных моделей развития наведенной неоднородности.

Выражения для касательного и секущего модулей и прираще­ ния секущего модуля "объективной" диаграммы деформирования в безразмерной форме имеют вид:

Ek=l~mken ; Ес=1“ тпсе?1 ; AEc=“ Amcen i

В соответствии с принятой аппроксимацией "объективной" диаграммы деформирования функционал принимает вид:

получим функционал АП в виде квадратичной функции от a * , ми­ нимизация которой, согласно процедуре Ритца-Тимошенко, приво­

154 Построение вариационного функционала

8 .4

B2=-JL ^ - J (I 62A?A3+6561AHA ?) <

1 бОЕо 1

Рассмотрим эту же пластину из. упругого материала с учетом геометрически нелинейного деформирования под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки q и сжимающей рас­ пределенной контурной силы Р.

Принцип виртуальной работы в безразмерной форме имеет в этом случае вид

5ДГн(дМ,М хп+ЛН,|{^ )+ Н 1*^8^j-Aq5Awjdx^P8AU(l)=0 ■

(7.4.10) Согласно условиям задачи, приращения перемещений удовле­

творяют граничным условиям:

ди(0 ) = 0 ; AW(0 ) = 0 ; AW(1 )= 0 ; dl AW(0 )=d2 AW(1)=Q ( 7 4 Ц) dx2 dx2

и.следовательно, этим же условиям удовлетворяют суммарные пе­ ремещения, полученные по шагам нагружения.

Из (7.4.10) и (7.4.11) легко следует, что

С учетом (7.4.12) для вариации АП справедливо:

5АП=/^ДМ1iSAx,1+A p5^~^^+p*^^6^~^j-Aq6Awjdx+p5AU(l)=0 •

(7.4.13) Отметим, что (7.4.13) имеет место для линейно- и нелинейнодеформируемого материала конструкции, так как связь между де­

формациями и напряжениями не конкретизировалась. В случае линейно упругого материала имеем

8An = } [ ^ S A Xlr A p 5 ( ^ - p * ^ 8 [ ~ ] - A q 5 A w j d x+p5AU(l)=°'

(7.4.14)

лентно выделению среди множества допустимых функций таких, ко­ торые приводят к стационарности отношения

f4X ndx

(7.4.17)

что позволяет определить критическую нагрузку Р кр.

При Aq*0 выражение АП, после преобразования приращения изгибной кривизны, имеет вид.

АП=^-1 H i2j2aiajsin(i Jtx)sin(j rcx)dx - г P I H«actjSin(i nx)sin(jxx)dxU 24H J =IO 2 Ц>ю J

сматриваться как потенциальная энергия "упругого эквивалента" на текущем шаге нагружения, которую в дальнейшем будем называть упругим эквивалентом потенциальной энергии. Действительно, подставив в (7.4.21) не истинное решение, то есть решение, соответ­ ствующее уровню приращения нагрузки Aq+ , получим (при АР = 0) для энергетического уровня

Минимум достигается только при Р*=Р*+.

Рассмотрим пример нелинейного деформирования и устойчи­ вости пластины при наличии упругого основания, при котором возможна потеря устойчивости как по симметричной, так и по косо

158 Построение вариационного функционала

симметричной форме. В этом случае принцип виртуальной работы будет иметь вид

где £ =r(W -AW )— реакция основания; г — коэффициент постели

согласно гипотезе Винклера. Рассмотрим интеграл, представляющий виртуальную работу реактивных сил основания:

формирования пластины по симметричной форме и задачу бифурка-

ционной потери устойчивости по несимметричной форме. Критиче­ ские нагрузки потери устойчивости при Aq=0 по симметричной

форме (р 4 ° ) и по несимметричной форме (р*£2)) -

При этом очевидно, что при к>я4/9 критическая нагрузка по­ тери устойчивости по несимметричной форме будет минимальной.

Вводя малую несимметрию в нагрузку Aqua^ =Aq+£,Sin2irxT где £— параметр несимметричного несовершенства, получаем попрежнему несвязную систему уравнений нелинейного деформирова­ ния пластины:

Рассмотрим пример физически и геометрически нелинейной постановки задачи. Заметим, что и в случае нелинейно деформируе­ мого материала с наведенной неоднородностью справедлив принцип виртуальной работы (7.4.10), который был получен для линейно де­ формируемого материала и геометрически нелинейной задачи, и справедливо соотношение (7.4.13). Используя данную эквивалент­ ную форму (7.4.13) вариационного принципа, получим выражение функционала ДП для рассматриваемой задачи. Учтем, что

ш,,1 Aa"zdz=(ji’mk(n+io))Ax‘rmk!TUAEirAm'(!TU+^) •

(7.4.35) Таким образом, в выражении для AM последнее слагаемое учи­

тывает влияние наведенной неоднородности.

Выразим Аеп через Ахи, используя дополнительные условия (7.4.12):