книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек
..pdfПодход к оценке поврежденности материала |
41 |
ными значениями параметров напряженно-деформированного со стояния в рассматриваемой точке объема тела, другое Vd — с дегра дацией физико-механических свойств материала:
|
V„ = Vr + Vd |
(2.2.9) |
|
В соответствии с этим запишем следующее кинетическое |
|||
уравнение: |
J_dRp |
|
|
V — |
( 2.2. 10) |
||
V" |
Ridt Rp dx |
|
|
при т= 0 Rp = R°p , |
при T = Tp |
R = Rp . |
|
Здесь R°p — |
показатель |
объективной прочности |
материала в |
исходном состоянии; тр — время разрушения.
Введенный критерий разрушения позволяет получить два экви валентных уравнения, одно из которых описывает закон изменения объективной прочности материала Rp. , другое является кинетиче
ским уравнением накопления повреждений |
га . |
|
Возьмем за основу кинетическое уравнение для Rp в виде |
||
dRP_ F(R(< 4Tp) |
(2.2. 10) |
|
|
|
|
"d t " |
(Rp)“ |
|
Функция F(R(<Tij),Tp) определяется из условий: |
||
при т= 0 Rp = R°p, |
при т = тр |
R(ay )= Rp . |
При этом получаем следующее выражение: |
||
F |
п+1 |
( 2.2. 11) |
|
|
|
Используя (2.2.10) и (2.2.11), получим
42 Основные положения теории наведенной неоднородности
|
|
|
|
|
|
|
(2.2. 11) |
Кинетическое уравнение накопления |
повреждений с учетом |
||||||
(2.2.10) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
do |
_ J_ dR(crij) _ J_ dRp |
|
( 2.2. 12) |
|||
|
"dx |
Rj |
dx |
Rj |
dx |
|
|
|
|
|
|||||
Разрешая (2.2.10) относительно о , получим: |
|||||||
|
|
|
|
1 | dRp dx |
. |
(2.2.13) |
|
|
|
|
|
R°P i dx |
|
|
|
В начальный момент времени при т=0 |
интеграл в (2.2.13) исче |
||||||
зает, при этом o=R(CTlJ) )/R°p . |
|
|
|
|
|
||
Подставляя в (2.2.12) выражение для Rp (2.2.11). получим: |
|||||||
(to _ |
1 dR(ctij) |
Г |
( R Y |
" ) f |
RgY‘ |
dT |
|
* |
RJJ |
dT |
^ |
U y |
JUpJ |
(2.2.14) |
|
(n + l)Tp' |
|||||||
В частном случае, когда R не зависит от времени, (2.2.11) и (2.2.13) представляются конечными соотношениями:
( Г |
- |
\П+Лjr_ |
(2.2.15) |
|
-]1- Ч |
I |
;J J |
||
1 |
R |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2.16) |
В полученные соотношения входит время разрушения тр , кото рое может быть аппроксимировано с помощью любой из зависимо стей (2.2.1)-(2.2.5).
Построение функций деградации |
43 |
2.3. Построение функций деградации физико механических свойств нагруженного материала
При описании деградации физико-механических свойств мате риала будем полагать, что свойства материала с наведенной неодно родностью в любой момент времени находятся в пределах приме
нимости теории |
малых упругопластйческих материалов. Тогда |
можно полагать: |
|
а) объемная деформация является упругой; |
|
б) |
тензоры-давиаторы напряжений и деформаций пропор |
циональны; |
|
воздействие внешних агрессивных сред, приводящее к развитию наведенной неоднородности материала, при сохранении условия пропорциональности девиаторов напряжений и деформаций, вызывает изменение коэффициента пропорциональности.
Здесь так же, как и в случае деформационной теории пластич ности, имеет место аналогия с моделями ползучести.
Условия пропорциональности девиаторов напряжений и де формаций в деформационной теории выражаются уравнениями Ген- ки-Илыошина:
3ei(cTi,T) .
(2.3.1)
08
Здесь а 'у , е'у — компоненты девиаторов напряжений и дефор маций; сту , е'у — интенсивность напряжений и деформаций; Т - температура.
Согласно теории старения, при ползучести пропорциональ ность суммарных деформаций составляющим девиатора напряже ний имеет место в любой фиксированный момент времени:•
• _ 3ej(gj,t,T ) . |
( 2 .3 .2 ) |
||
еу- |
- |
°У |
|
|
2aj |
|
|
Здесь ej(ai, t, Т) — интенсивность суммарной деформации |
|||
(упругости, пластичности |
и ползучести), определяемая |
интенсивно- |
|
44 Основные положения теории наведенной неоднородности
стью напряжений, временем t и температурой Т. В этом случае, по трактовке Ю.Н.Работнова, можно полагать, что ползучесть приво дит к уменьшению упруго-пластического сопротивления материала, то есть условные кривые деформирования, представляющие собой изохронные кривые ползучести для фиксированных моментов вре мени, понижаются.
Развитие процесса ползучести при любом уровне напряжений описывается поверхностью суммарных деформаций при ползуче сти (рис.52).
Принцип пропорциональности девиатора скоростей деформа ций ползучести и девиатора напряжений положен и в основу моде лей по теории течения /125/:
c _ 3 V (a i,t.T) . |
|
es |
(2 .3 .3) |
0ii |
|
и теории упрочнения /241/:
c _3V (Gi,e^,T) .
e»j---------- |
: ---------- |
<*ij >• |
(2 .3 .4) |
|
2 а |
|
|
где еСц — компоненты девиатора скоростей деформаций ползучести; V — скорость деформации ползучести в момент времени t.
Построение функций деградации |
45 |
При введении гипотезы в) на заданном интервале времени взаимодействия материала и агрессивной среды т будем иметь се мейство вложенных поверхностей деформирования, каждая из кото рых соответствует определенному уровню напряжений, при котором происходит развитие наведенной неоднородности материала (рис.53).
Для сложного напряженного состояния уровень напряжений, при котором происходит деградация физико-механических свойств материала, может описываться комбинацией компонент тензора на пряжений или эквивалентным напряжением а э .
Введение этой дополнительной экспериментальной информа ции можно, по аналогии с показателем объективной! прочности А.Р.Ржаницына, представить как учет "объективной" диаграммы де формирования, связывающей в рассматриваемый момент времени т интенсивность напряжений с интенсивностью деформаций.
Гипотеза о пропорциональности девиаторов деформаций и девиаторов напряжений, в деформационной теории и теории старения и пропорциональности девиаторов скоростей деформации ползуче сти и девиаторов напряжений в теориях течения и упрочнения, в
случае учета объективной |
диаграммы деформирования, |
будет вы |
ражаться уравнениями: |
|
|
деформационная теория - |
|
|
3ei(CTj,T,*.o ) . |
(2.3.5) |
|
е«=“ |
"Oij |
|
|
2oi |
|
теория старения - |
|
|
, 3 e i( a i,t ,T ,x ,c ) . |
(2.3.6) |
|
|
2a, |
|
|
|
|
теория течения - |
|
|
3V(qh t,T,T,G ) |
(2.3.7) |
|
|
"CTij |
|
2<Ji
46 Основные положения теории наведенной неоднородности
теория упрочнения -
3V(oi,efd,T,T,q ) |
(2.3.8) |
-оу |
|
2с\ |
|
Здесь — суммарные компоненты скоростей деформаций ползучести е‘ и деформаций, вызываемых деградацией физико механических свойств материала •
Подобные зависимости справедливы и в том случае, если сте пень деградации физико-механических свойств материала в рассмат риваемый момент времени характеризуется не временем взаимодей ствия материала с агрессивной средой, а достигнутой величиной деградации свойств материала за предыдующие моменты времени т .
Для этого введем, в общем случае, систему функций Фк (к=1,2,...,п), характеризующих деградацию физико-механических свойств материала и называемых в дальнейшем функциями деграда ции.
-Тогда будем иметь для деформационной теории:
. |
|
3ei(cjj Л\Ф>к’а ) |
.• |
еу - |
- |
оу |
|
теории старения: |
|
|
|
. |
|
Зе|(о,Л Т,Ф к,а |
) |
eU= |
2о. |
а» |
|
|
|||
теории течения: |
|
|
|
с |
_ |
3V(CTi,t,T,<pk,o |
) . |
еУ ” |
т |
CTii » |
|
теории упрочнения: |
|
2<Ti |
|
|
|
|
|
^ З У ( а ь е?,Т ,Ф к>а ) . |
|||
*• |
" |
2о, |
08 |
(2.3.9)
(2.3.10)
(2.3.11 )
(2.3.12)
Рассматривая процесс развития наведенной неоднородности материала под воздействием агрессивных сред как независимый, самостоятельно развивающийся процесс, при его дальнейшем ис следовании ограничимся описанием напряженно-деформированного состояния материала с наведенной неоднородностью во времени без учета процесса ползучести.
Построение функций деградации |
47 |
|
В этом случае приведенные соотношения будут представлять |
||
различные варианты модели наведенной неоднородности: |
|
|
модель на основе деформационной теории |
|
|
3ei(ai>T>O k,g |
) |
(2.3.13) |
2oi |
-Oij |
|
|
|
|
модель на основе теории течения |
|
|
ЗУ(дь Т,Фк>д ) |
(2.3.14) |
|
2<Ji |
-Oij • |
|
|
|
|
Для дальнейшего построения соотношений, учитывающих на |
||
веденную неоднородность материала, |
примем модель на основе де |
|
формационной теории. |
|
|
Построим на основе экспериментальной информации |
об объ |
|
ективных кривых деформирования материала в фиксированные мо менты времени т функции деградации Фк .
При этом будем полагать, что каждой точке материала в фик сированный момент времени т можно поставить в соответствие изо бражающую точку на поверхности деформирования (рис.48). Исто рия изменения физико-механических свойств материала в фиксиро ванной точке объема будет отражаться на траектории ее движения в пространстве координат о*, ei , т . Очевидно, что данная траекто рия должна обладать следующим свойством: при любых законах из менения поля напряжений по объему тела отражать рост деграда ции физико-механических свойств в рассматриваемой фиксирован ной точке объема материала, что соответствует принципу необрати мости изменения физико-механических свойств. Направление дви жения изображающей точки по поверхности деформирования в ка ждый момент времени определяется предшествующей данному мо менту историей деформирования и уровнем деградации физико механических свойств в точке материала. В связи с этим, естест венным представляется введение функций деградации по аналогии с функцией пластичности в деформационной теории. В частности, деградационные функции могут входить в качестве параметров в функцию пластичности.
48 Основные положения теории наведенной неоднородности
Запишем уравнения пластичности Генки-Ильюшина формально в виде уравнений упругости:
1 |
1+ Ц |
’ |
(2.3.15) |
еу = V - z - Щ |
|
||
Ео
где у — параметр пластичности (при \|/ =1 материал находится в упругом состоянии).
При введении деградационных функций полагаем:
J _______ |
(2.3.16) |
|
Ч'=:1-П(еиФ(т,о,Т)) |
||
|
где п — функция понижения объективных диаграмм деформирова ния, зависящая от напряженно-деформированного состояния мате риала и степени деградации его физико-механических свойств.
Тогда уравнения (2.3.15) можно записать в следующей форме:
° Г ^ ( '~ П ( е' ’Ф(1,<5’Т)})е'е . |
(2.3.17) |
. . Интенсивности напряжений и деформаций связаны следующей зависимостью:
Oi=Eo(•—£Хе,,Ф(т, о.Т)))е, . |
( 2.3.18) |
Согласно деформационной теории полагаем, что объективная диаграмма деформирования материала считается заданной в любой момент времени.
Сопоставляя последовательные состояния материала в момен ты времени т (т=т0+)Дт, j=l ,2,3,..., п), различающиеся степенью де градации свойств материала, положим, что изменение объективных диаграмм деформирования можно учесть, изменяя параметры их аппроксимации.
Рассмотрим известные способы аппроксимации зависимости
cTi(ei).
1. Идеально упруго-пластическое тело (рис.54):
Построение функций деградации |
49 |
(Jj 3G0 Cj , Cj ^ 6s |
|
= CTs > e. * e. |
(2.3.19) |
Рис.54
2. Упруго-пластическое тело с линейным упрочнением (рис.55):
<т, = 3G0 ej |
, |
< es |
( 2.3.20 ) |
CTi = a s + 3Gi(ej-es) |
, |
e,^e, • |
|
3. Экспоненциальный закон (рис.56): |
|
||
Oi=CTs [l - exp(-ei / es )]. |
(2.3.21 ) |
||
Рис.57
4. Экспоненциальный закон с нелинейным упрочнением (рис.57):
Oi = a s [1 - exp(-ei / es )] - G ,ei. |
(2.3.22) |
5.Зависимость Сен-Венана:
о*= а5[ 1 - (1 - е }/е $)п] |
(2.3.23) |
50Основные положения теории наведенной неоднородности
6.Диаграмма В.В.Соколовского (рис. 58):
(2.3.24)
Рис.58 |
Рис.59 |
7.Параболическая зависимость Ф.И.Герстнера:
<ji = E e i - — е? |
( 2 .3 .2 5 ) |
2а«
8. Кубическая зависимость П.А.Лукаша (рис. 59):
4 F 3 |
1 |
(2.3.26) |
Cj = Eei~— |
je? • |
|
27(0s) |
|
|
9. Закон Рамберга-Осгуда: |
|
|
Gi = Eej + Aej"1 |
|
(2.3.27) |
где для констант A,m П.А.Лукашом предложены выражения:
а = |
• т = 7 |
^ - ' |
(2.3.28) |
(es) |
Ees |
Os |
|
В литературе имеется еще ряд зависимостей crj(ej), основанных на аппроксимации диаграмм при помощи показательных, тригоно метрических, гиперболо-тригонометрических и других функций.